m ——经向应力,MPa ——环向应力，MPa p ——工作压力.MPa R1 ——第一曲率半径，mm
R2 ——第二曲率半径,mm ——壁厚，mm
1、截取微元体
截面1 截面2 截面3
壳体的内外表面
两个相邻的，通过壳 体轴线的 经线平面
两个相邻的，与壳体 正交的园锥法截面
确定环向应力微元体的取法
d 1
2
-
2 Sdl1
s in
d 2
2
=0
（3- 8）
因为微体的夹角 d 1 与 d 2 很小，因此取
s in d 1 d 1 = d l1
2
2
2 R1
s in d 2 d 2 = dl 2
2
2
2 R2
代入式（3- 8） ，并对各项均除以 Sdl1 dl 2 ，整理得
Fmn
Fn = 0
（式1）
显然，过N点的平行圆也
就是过N点的纬线。如
图3-3 回转壳体的几何特性
CND圆。
第一曲率半径R1
中间面上任一点M 处经线的曲
率半径为该点的“第一曲率半径”
R1 MK1 R2 MK2
31 y2 2 R1 Fra biblioteky第二曲率半径R2
通过经线上一点M 的法线作垂直于经线的平面与中 间面相割形成的曲线MEF，此曲线在M 点处的曲率 半径称为该点的第二曲率半径R2 ，第二曲率半径的 中心落在回转轴上，其长度等于法线段MK2 。
由于弯曲应力一般很小，如略去不计，其误差仍 在工程计算的允许范围内，而计算方法大大简 化，所以工程计算中常采用无矩理论。
第一节 回转壳体的几何特性
一、回转薄壳的形成及几何特征
1、形成：任何平面曲线绕同平面内的某一已知直线旋 转而成的曲面称为回转曲面，其中已知直线称回转曲 面的轴，绕轴旋转的平面曲线称为回转曲面的母线。
微元体的夹角
d
和
1
d很 2 小，可取
即pd1ld2l-2mSd2lsind21 -2Sd1lsind22 =0 （3-8） 因为微体的夹角d1与d2 很小，因此取
sind1d1 =d1l
2 2 2R1
sind2 d2 =d2l
2 2 2R2 代入式（3-8） ，并对各项均除以Sd1ld2l，整理得
⒈Z轴上的合力为Pz
Pz
4
D2 p
⒉作用在截面上应力的合力 在Z轴上的投影为Nz
⒊在Z 方向的平衡方程
4
D2 p
mD
sin
0
D
R2 2 sin
D 2 R2 sin
回转壳体上的径向应力分析
N z m D sin
Pz Nz 0
m
pR2
2
二、环向应力计算公式——微体平衡方程式
m p R1 R2
直法线假设 不挤压假设
壳体在变形前垂直于中间面的直线段，在变 形后仍保持为直线段，并且垂直于变形后的
中间面，且直线段长度保持不变。由此假 设，沿厚度各点的法向位移均相同， 变形前后壳体厚度不变。
壳体各层纤维变形前后均互不挤压。由此假设，
壳壁的法向应力 与壳壁其他应力分量相比是
可以忽略的小量。
第二节 回转壳体薄膜应力分析
第8章 内压薄壁容器设计基础
薄膜理论与有矩理论概念： 计算壳壁应力有如下理论：
（1）无矩理论，即薄膜理论。
假定壳壁如同薄膜一样，只 承受拉应力和压应力，完全不 能承受弯矩和弯曲应力。壳壁 内的应力即为薄膜应力。
（2）有矩理论。壳壁内存在除拉应力或压应力 外，还存在弯曲应力。
在工程实际中，理想的薄壁壳体是不存在的， 因为即使壳壁很薄，壳体中还会或多或少地存 在一些弯曲应力，所以无矩理论有其近似性和 局限性。
一、经向应力计算公式——区域平衡方程式
m
pR2
2
1、截面法
——经向应力，MPa
m
p ——工作压力，MPa
R2 ——第二曲率半径，mm
——壁厚，mm
用假想截面将壳体沿经线的法线方向切
开，即平行圆直径D 处有垂直于经线
的法向圆锥面截开，取下部作脱离体， 建立静力平衡方程式。
2、回转壳体的经向应力分析
在bc与ad截面上经向应力 m 的合 力在法线n上的投影为Fmn
在ab与cd截面上环向应力 的合力
在法线n 上的投影为 F n
Fn pd1ld2l
Fmn2mSd2sl in d2 1
Fn2Sd1lsind2 2
根据法线n方向上力的平衡条
件，得到
Fn
即
即
pdl1
dl2 - 2 m Sdl2
s in
例题1
求图示壳体a点的第一曲率半径 和第二曲率半径。
解：由图知a点的R1 , R2
R1=R
D
R2
2
sin
R
例题2.
求图示壳体的主曲率半径 解： R1=∞ R2=xtgα=r/cosα
2、无力矩理论基本假设
假定材料具有连续性、均匀性和 各向同性，即壳体是完全弹性的
壳体受力后，壳体中各点的位移远小于壁 小位移假设 厚 ，利用变形前尺寸代替变形后尺寸
母线
回转壳体的几何特性
形成回转壳体中间面的 那条直线或平面曲线。
如图所示的回转壳体即
由平面曲线AB绕OA轴
旋转一周形成，平面曲
线AB为该回转体的母 线。
注意：母线形状不同或 与回转轴的相对位置不 同时，所形成的回转壳 体形状不同。
经线
通过回转轴作一纵截面与 壳体曲面相交所得的交线，
如AB’、AB’’。
经线与母线形状完全相同
法线
通过经线上一点M垂直于 中间面的直线，称为中间 面在该点的法线。 （法线的延长线必与回转 轴相交）
纬线
以过N点的法线NK为母
线绕回转轴OA回转一周
所形成的圆锥法截面与
壳体中间面正交，得到
的交线叫做过N点的“纬
线”。
K
过N点做垂直于回转轴的
平面与中间面相交形成
的圆称为过N点的平行圆，
微元体abcd 的受力
✓ bc和ad上作用有经向应力σm ✓ ab和cd上作用有环向应力σθ ✓ 内表面作用有内压力p
✓ 外表面不受力
✓ 由于所取微体足够小，认为应
力在截面上分布均匀 ✓ σm可由区域平衡方程求得
微小单元体的应力及几何参数
2、回转壳体的经向环向应力分析
回转壳体的环向应力分析
内压力p在微体abcd上所产生的外力 的合力在法线n上的投影为Fn
轴线
回转曲面
母线
圆柱壳
球壳
圆锥壳 一般回转壳
第一节 回转壳体的几何特性
中间面
平分壳体厚度的曲面称为壳体的中间 面。中间面与壳体内外表面等距离， 它代表了壳体的几何特性。
回转曲面
由平面直线或平面曲线绕其同平面内 的回转轴回转一周所形成的曲面。
回转壳体 由回转曲面作中间面形成的壳体。
轴对称 ✓壳体的几何形状、约束条件和所受的外力 都对称于回转轴 ✓化工容器就其整体而言，通常都属于轴对 称问题