20.数列{}n
a ，{}n
b 的每一项都是正数，8
1
=a
，
16
1=b ，且n
a ，n
b ，1+n a 成等差数列，n b ，1+n a ，1
+n b 成等
比数列，1,2,3n =L 。

（1）求2a ，2b 的值；
（2）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （3）证明：对一切正整数n ，有
7
2
11111121<-++-+-n a a a Λ。

20.（1）24，36；（2）2)1(4+=n b n ，)1(4+=n n a n ；（3）见解析 【解析】（1）由题意得1122b a a =+，可得211224a b a =-=。

由2212
a b b =可得2
221
==36a b b ；（2）因为且n a ，n b ，1+n a 成等差数列，所以1
=n n n b a a ++①，因为n b ，1+n a ，1+n b 成等比数列，所以211=n n n a b b ++，因为{}n a ，{}n b 的每一项都是正数，所以11n n n a b b ++当2n ≥时，1=n n n a b b -将②③代入①式，可得112=n n n b b b -+{}n b 是首项为4，公差为2()1=122n b b n d n -=+，于是()2
=41n b n +。

由③式，可得当2n ≥时，()=41n a n n +，当=1n 时，1=8a ，满足上式，所以对一切正整数n ，都有()=41n a n n +；（3）由（2）可知，所证明的不
等式为
211112723474417
n n +++<+-L ，首先证明)111(7214412+-<-+n n n n ，即证n
n n n 77214412
2+<-+，即证022
>-+n n ，即证
)2)(1(>+-n n ，所以当
2
n …时，
7
2217271)]111()3121[(72711441471231712=⨯+<+-++-+<-+++++n n n n ΛΛ。

当
1n =时，
7
2
71<。

综上所述:对一切正整数n ，有7
2
11111121<-++-+-n a a a Λ。

解析中的1=n n n b a a ++改为21=n n n b a a ++
数学专业学科卷二
19.已知函数2())2sin ()()6
12
f x x x x R ππ
=-+-
∈．
(1)求函数f(x)的最小正周期；
(2)求使函数f(x)取得最大值的x 的集合。

19. （1）π（2）{x|x ＝kπ＋5π
12，k ∈Z}
【解析】(1)∵f(x)＝3sin2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12＋1－cos2⎝ ⎛⎭⎪⎫
x －π12
＝2⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥
⎤32sin2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12－12cos2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12＋1 ＝2sin ⎣⎢⎡⎦
⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12－π6＋1 ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪
⎫2x －π3＋1，∴T ＝2π2＝π。

(2)当f(x)取得最大值时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫
2x －π3＝1，
有2x －π3＝2kπ＋π
2，
即x ＝kπ＋5π
12 (k ∈Z)，
∴所求x 的集合为{x|x ＝kπ＋5π
12，k ∈Z}。

解析中的3，因印刷问题不太明显。