§2充分条件与必要条件2．1充分条件2．2必要条件2．3充要条件●三维目标1．知识与技能通过具体实例中条件之间关系的分析，理解充分条件、必要条件和充要条件的含义．2．过程与方法(1)通过判定定理、性质定理，帮助学生抓住充分条件、必要条件等概念的本质，更好地理解概念．(2)通过充分条件、必要条件的学习，培养学生进行简单推理的技能，发展学生的思维能力．3．情感、态度与价值观(1)在日常生活和学习中，养成说话准确、做事有条理的良好习惯．(2)在探求未知、认识客观世界的过程中，能运用数学语言合乎逻辑地进行讨论和质疑，提高思维的逻辑性．●重点难点重点：1.理解充分条件、必要条件的含义．2．充分条件、必要条件、充要条件的判断．难点：对必要条件的理解．在教学过程中，注重把教材内容与生活实际结合起来，加强数学教学的实践性，在教学方法上采用“合作—探索”的开放式教学模式，在合作中去领会充分条件、必要条件的含义；在探索中，体会充分条件、必要条件的判断方法．(教师用书独具)●教学建议教学必须遵循学生的认知规律，尽可能地让学生去经历知识的形成与发展过程，引导学生分析实例，让学生从实例中抽象出数学概念．在巩固练习时，选题内容尽量涉及几何、代数较广领域，但不可拔高要求，追求一步到位，而要在今后的教学中滚动式逐步深化，使之与学生的知识结构同步发展完善．●教学流程创设情境，激发兴趣引导归纳，给出定义深入探究，获得新知反馈练习，形成方法总结反馈，申拓展引已知直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2.(1)由k1＝k2能推出l1∥l2吗？【提示】当k1＝k2，b1＝b2时，l1与l2重合，故由k1＝k2不能推出l1∥l2.(2)由l1∥l2能推出k1＝k2吗？【提示】由l1∥l2能推出k1＝k2.1．推断符号“⇒”的含义“若p，则q”为真，是指由条件p经过推理可以得到结论q，记作p⇒q，读作“p推出q”．2．充分条件与必要条件一天，你与你的妈妈到她的同事家做客，你的妈妈向她的同事介绍：“这是我的女儿”，请问：你还需要介绍：“这是我的妈妈”吗？为什么？【提示】 不需要，因为由A 是B 的女儿，可推出B 是A 的妈妈，反之亦然．如果p ⇒q ，且q ⇒p ，那么称p 是q 的充分必要条件，简称充要条件，记作p ⇒q .(1)“b 2－4ac ＜0”是“一元二次不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解集为R ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件(2)对于数列{a n }，“a n ＋1＞|a n |(n ＝1,2，…)”是“{a n }为递增数列”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 【思路探究】着眼点分清条件p 与结论q 分别判断“若p ，则q ”与“若q ，则p ”的真假 【自主解答】 (1)当a ＝c ＝－1，b ＝0时，不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解集为∅. 反过来，由一元二次不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解集为R ，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0Δ＝b 2－4ac ＜0，因此，b 2－4ac ＜0是一元二次不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解集为R 的必要不充分条件． (2)由a n ＋1>|a n |≥a n ，得a n ＋1＞a n ， ∴{a n }是递增数列．反过来，由{a n }是递增数列，知a n ＋1＞a n ，但不一定有a n ＋1＞|a n |，如递增数列{－(12)n }中，a 1＝－12，a 2＝－14，a 2＞|a 1|不成立．因此，“a n ＋1＞|a n |(n ＝1,2，…)”是“{a n }为递增数列”的充分不必要条件． 【答案】 (1)B (2)A除了用定义判断充分条件与必要条件外，还可以利用集合间的关系判断：已知集合A ＝{x |p (x )}，B ＝{x |q (x )}，若A ⊆B ，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件．提醒：在判断充分条件与必要条件时，要注意分清条件和结论．(1)“|x |＜1且|y |＜1”是“点P (x ，y )在圆x 2＋y 2＝1内”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件(2)设{a n }是等比数列，则“a 1＜a 2＜a 3”是“数列{a n }是递增数列”的( ) A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【解析】 (1)当x ＝y ＝32时，x 2＋y 2＝32＞1，所以点P (x ，y )不在圆内；反过来，当点P (x ，y )在圆内时，x 2＋y 2＜1，所以x 2＜1，y 2＜1，所以|x |＜1，|y |＜1.因此，“|x |＜1且|y |＜1”是“点P (x ，y )在圆x 2＋y 2＝1内”的必要不充分条件． (2){a n }是递增数列，可得a 1＜a 2＜a 3；反过来，由a 1＜a 2＜a 3， 得a 1＜a 1q ＜a 1q 2，当a 1＞0时，q ＞1；当a 1＜0时，0＜q ＜1. ∴a n ＋1－a n ＝a 1q n －1(q －1)＞0， ∴a n ＋1＞a n ， ∴{a n }是递增数列．因此，“a 1＜a 2＜a 3”是“数列{a n }是递增数列”的充要条件． 【答案】 (1)B (2)C已知p ：4x ＋k ≤0，q ：x 2－x －2＞0，且p 是q 的充分条件，求k 的取值范围．【思路探究】 求出p 、q 对应的集合A 、B ――→充分条件A ⊆B →k 满足的条件――→解不等式k 的取值范围【自主解答】 由4x ＋k ≤0，得x ≤－k 4.由x 2－x －2＞0，得x ＜－1或x ＞2. 设A ＝{x |x ≤－k4}，B ＝{x |x ＜－1或x ＞2}．由p 是q 的充分条件，得A ⊆B ． ∴－k4＜－1，∴k ＞4.即k 的取值范围为(4，＋∞)．1．涉及与充分、必要条件有关的求参数取值范围问题，常借助集合的观点来处理． 2．解决本题的关键是把p 、q 之间的关系转化为p 、q 所表示集合之间包含关系，然后，建立关于参数的不等式(组)求解．已知p ：4x ＋k ≤0，q ：x 2－x －2＜0，且p 是q 的必要条件，求k 的取值范围． 【解】 由4x ＋k ≤0，得x ≤－k4；由x 2－x －2＜0，得－1＜x ＜2. 设A ＝{x |x ≤－k4}，B ＝{x |－1＜x ＜2}，由p 是q 的必要条件，得A ⊇B ． ∴－k4≥2，∴k ≤－8.即k 的取值范围为(－∞，－8].已知数列{a n }的前n 项和为S n ，求证：“对任意n ∈N ＋，S n ＝(a 1＋a n )n2”是“数列{a n }是等差数列”的充要条件．【思路探究】 分清条件和结论，证明充分性即证“条件⇒结论”，证明必要性即证“结论⇒条件”．【自主解答】 必要性：由等差数列的前n 项和计算公式，得S n ＝(a 1＋a n )n 2.充分性：由S n ＝(a 1＋a n )n 2，得S n ＋1＝(a 1＋a n ＋1)(n ＋1)2.两式相减得，a n ＋1＝a 12＋(n ＋1)a n ＋12－na n2整理得(n －1)a n ＋1＝na n －a 1， na n ＋2＝(n ＋1)a n ＋1－a 1， 两式相减得，na n ＋2－(n －1)a n ＋1＝(n ＋1)a n ＋1－na n 整理得2na n ＋1＝na n ＋2＋na n∴2a n ＋1＝a n ＋2＋a n ，∴数列{a n }是等差数列．1．首先分清条件和结论．本例中条件是“对任意n ∈N ＋，S n ＝(a 1＋a n )n 2”，结论是“数列{a n }是等差数列”．2．分两步证明，既要证明充分性，又要证明必要性(证明先后顺序不作要求)． 3．证明充分性时，把条件当已知去推证结论的正确性；证明必要性时，结论当已知去推证条件的正确性．已知数列{a n }满足a n ＋a n ＋1＝2n ＋1(n ∈N ＋)，求证：数列{a n }为等差数列的充要条件是a 1＝1.【证明】 必要性：由a n ＋a n ＋1＝2n ＋1，得 a 2＝3－a 1，a 3＝5－a 2＝2＋a 1， 由数列{a n }是等差数列，得 2a 2＝a 3＋a 1，∴2(3－a 1)＝(2＋a 1)＋a 1， 解得a 1＝1.充分性：由a n ＋a n ＋1＝2n ＋1，得a n ＋1＋a n ＋2＝2(n ＋1)＋1＝2n ＋3， 两式相减得a n ＋2－a n ＝2，∴数列{a 2n －1}是首项为a 1＝1，公差为2的等差数列． ∴a 2n －1＝1＋2(n －1)＝2n －1，即当n 为奇数时，a n ＝n . 当n 为偶数时，n ＋1是奇数， ∴a n ＋1＝n ＋1，∴a n ＝(2n ＋1)－a n ＋1＝(2n ＋1)－(n ＋1)＝n . 综上得a n ＝n ，∴a n ＋1－a n ＝(n ＋1)－n ＝1. 因此，数列{a n }是等差数列.充分、必要条件颠倒致误已知p ：x 2－x －2＜0，q ：x ∈(－1，m )，且p 是q 的充分不必要条件，则( )A ．m ＞2B ．m ≥2C ．－1＜m ＜2D ．－1＜m ≤2【错解】 由x 2－x －2＜0，得x ∈(－1,2)． ∵p 是q 的充分不必要条件，∴(－1，m )(－1,2)．∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＞－1m ＜2即－1＜m ＜2，故选C. 【答案】 C【错因分析】 颠倒了充分条件和必要条件，把充分条件当成必要条件致误． 【防范措施】 在求解与充分条件、必要条件有关的问题时，要分清条件p 和结论q .只有分清条件和结论才能正确判断p 与q 的关系，才能利用p 与q 的关系解题．在由条件p 与结论q 之间的关系求字母的取值范围时，将p 与q 之间的关系转化为集合之间的关系，是求解这一类问题的常用方法．【正解】 由x 2－x －2＜0，得x ∈(－1,2)．∵p是q的充分不必要条件，∴(－1,2)(－1，m)，∴m＞2.故选A.【答案】 A1．判断p是q的什么条件，其实质是判断p⇒q与q⇒p两个命题的真假．2．当不易判断p⇒q与q⇒p的真假时，可从集合的角度入手．首先建立与p、q相应的集合，即p：A＝{x|p(x)}，q：B＝{x|q(x)}.若A⊆B，则p是q的充分条件，若A B，则p是q的充分不必要条件若B ⊆A ，则p 是q 的必要条件，若B A ，则p 是q 的必要不充分条件3.命题“若p ，则q ”为真、p ⇒q 、p 是q 的充分条件、q 是p 的必要条件，这四种形式表达的是同一逻辑关系，只是说法不同而已.1．“x ＝π4”是“函数y ＝sin 2x 取得最大值”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】 当x ＝π4时，y ＝sin 2x 取最大值1；但当y ＝sin 2x 取最大值1时，x 不一定等于π4，比如x ＝54π.因此“x ＝π4”是“函数y ＝sin 2x 取得最大值”的充分不必要条件． 【答案】 A2．(2013·福建高考)已知集合A ＝{1，a }，B ＝{1,2,3}，则“a ＝3”是“A ⊆B ”的( ) A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】 ∵A ＝{1，a }，B ＝{1,2,3}，A ⊆B ，∴a ∈B 且 a ≠1，∴a ＝2或3，∴“a ＝3”是“A⊆B”的充分而不必要条件．【答案】 A3．用符号“⇒”、“⇐”、“⇔”填空：(1)x＝0________x＜1；(2)整数a能被2整除________整数a是偶数；(3)M＞N________log2M＞log2N.【解析】利用这三种符号的意义求解．【答案】(1)⇒(2)⇔(3)⇐4．直线x＋y＋m＝0与圆(x－1)2＋(y－1)2＝2相切的充要条件是什么？【解】由直线x＋y＋m＝0与圆(x－1)2＋(y－1)2＝2相切，得|1＋1＋m|＝ 2.12＋12解得m＝0或－4.又当m＝0或－4时，直线x＋y＋m＝0与圆(x－1)2＋(y－1)2＝2相切．因此，直线x＋y ＋m＝0与圆(x－1)2＋(y－1)2＝2相切的充要条件是m＝0或－4.一、选择题1．设集合M＝{1,2}，N＝{a2}，则“a＝1”是“N⊆M”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解析】当a＝1时，N＝{1}⊆M；但当N⊆M时，推不出a＝1，比如a＝ 2.故选A.【答案】 A2．“sin A＞cos B”是△ABC为锐角三角形的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解析】 当A ＝120°，B ＝45°时，△ABC 为钝角三角形；当△ABC 是锐角三角形时，A ＋B ＞90°，A ＞90°－B ，又0°<A,90°－B <90°，则sin A ＞sin(90°－B )＝cos B ．【答案】 B3．已知p ：lg x ＜0，那么命题p 的一个必要不充分条件是( )A ．0＜x ＜1B ．－1＜x ＜1C.12＜x ＜23 D ．12＜x ＜2 【解析】 由x 2 lg x ＜0，得0＜x ＜1.设p 的一个必要不充分条件为q ，则p ⇒q ，但q ⇒/p .故选B ．【答案】 B4．(2012·天津高考)设x ∈R ，则“x ＞12”是“2x 2＋x －1＞0”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件【解析】 不等式2x 2＋x －1＞0的解集为x ＞12或x ＜－1，所以“x ＞12”是“2x 2＋x －1＞0”成立的充分不必要条件，选A.【答案】 A5．(2013·江浙高考)已知函数f (x )＝A cos(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，φ∈R )，则“f (x )是奇函数”是“φ＝π2”的( ) A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】 若f (x )是奇函数，则f (0)＝0，所以cos φ＝0，所以φ＝π2＋k π(k ∈Z )，故φ＝π2不成立；若φ＝π2，则f (x )＝A cos(ωx ＋π2)＝－A sin(ωx )，f (x )是奇函数．所以f (x )是奇函数是φ＝π2的必要不充分条件．【答案】 B二、填空题6．关于x 的不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解集为R 的充要条件是________________．【解析】 对a 分a ＝0和a ≠0两种情况讨论．【答案】 ⎩⎪⎨⎪⎧ a ＞0b 2－4ac ＜0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝b ＝0c ＞0 7．在“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”中选出一种填空：(1)“a ＝0”是“函数f (x )＝x 2＋ax (x ∈R )为偶函数”的________；(2)“sin α＞sin β”是“α＞β”的________；(3)“x ∈M ∩N ”是“x ∈M ∪N ”的________；(4)对于实数a ，b ，c ，“a ＞b ”是“ac 2＞bc 2”的________．【解析】 利用定义求解．【答案】 (1)充要条件(2)既不充分也不必要(3)充分不必要(4)必要不充分8．若命题“若p ，则q ”为真，则下列说法正确的是________．①p 是q 的充分条件；②p 是q 的必要条件；③q 是p 的充分条件；④q 是p 的必要条件．【解析】 由充分条件与必要条件的定义知，①④正确．【答案】 ①④三、解答题9．已知：p ：x ＞1，q ：1x＜1，试判断p 是q 的什么条件？ 【解】 由1x ＜1，得1－x x＜0， ∴x (x －1)＞0，∴x ＞1或x ＜0.∴{x |x ＞1}{x |1x＜1}， ∴p 是q 的充分不必要条件．10．已知p 、q 都是r 的必要条件，s 是r 的充分条件，q 是s 的充分条件，试问：(1)s 是q 的什么条件；(2)r 是q 的什么条件；(3)p 是q 的什么条件．【解】 p 、q 、r 、s 的关系可以用右图表示：(1)∵s ⇒r ，r ⇒q ，∴s ⇒q ，又q ⇒s ，∴s 是q 的充要条件．(2)∵q ⇒s ，s ⇒r ，∴q ⇒r ，又r ⇒q ，∴r 是q 的充要条件．(3)∵q ⇒s ，s ⇒r ，r ⇒p∴q ⇒p ，∴p 是q 的必要条件．11．已知p ：x －2x －(3a ＋1)＜0，q ：x －a 2－2x －a＜0，若q 是p 的必要条件，求实数a 的取值范围．【解】 由q 是p 的必要条件，可知{x |x －2x －(3a ＋1)＜0}⊆{x |x －a 2－2x －a ＜0}．由a 2＋2＞a ，得{x |x －a 2－2x －a＜0}＝{x |a ＜x ＜a 2＋2}， 当3a ＋1＞2，即a ＞13时，{x |x －2x －(3a ＋1)＜0}＝{x |2＜x ＜3a ＋1}， ∴⎩⎨⎧a ≤2a 2＋c ≥3a ＋1， 解得13＜a ≤3－52； 当3a ＋1＝2，即a ＝13时，{x |x －2x －(3a ＋1)＜0}＝∅，符合题意； 当3a ＋1＜2，即a ＜13时，{x |x －2x －(3a ＋1)＜0}＝{x |3a ＋1＜x ＜2}， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a ≤3a ＋1a 2＋2≥2，解得－12≤a ＜13. 综上得，a ∈[－12，3－52].(教师用书独具)设n ∈N ＋，一元二次方程x 2－4x ＋n ＝0有整数根的充要条件是n ＝________.【思路探究】 先由必要性求出n 值，再验证所求得的n 值满足充分性．【自主解答】 ∵x 2－4x ＋n ＝0有整数根，∴x ＝4±16－4n 2＝2±4－n ，∴4－n 为某个整数的平方且4－n ≥0，∴n ＝3或n ＝4.当n ＝3时，x 2－4x ＋3＝0，得x ＝1或x ＝3；当n ＝4时，x 2－4x ＋4＝0，得x ＝2.∴n ＝3或n ＝4.【答案】 3或4在一些充要条件的命题中往往是“A 的充要条件是B ”，这种情况下的条件实际是B ，结论是A ，因此其充分性是B ⇒A ，必要性是A ⇒B ．在寻求A 成立的充要条件时，可先由A ⇒B ，再验证B ⇒A .函数f (x )＝cos 2ax －sin 2ax 的最小正周期是π的充要条件是a ＝________.【解析】 f (x )＝cos 2ax ，由f (x )的最小正周期是π，得2π|2a |＝π，∴a ＝±1. 当a ＝1时，f (x )＝cos 2x ；当a ＝－1时，f (x )＝cos(－2x )＝cos 2x .∴当a ＝±1时，f (x )的最小正周期都是2π2＝π. ∴a ＝±1.【答案】 ±1。