双曲线的弦长公式与中点弦问题1.两条渐近线为02=+y x 和02=-y x 且被直线03=--y x 截得弦长为338的双曲线方程是.2.斜率为2的直线被双曲线22132x y -=截得的弦长为4，求直线的方程．3.已知倾斜角为4π的直线l 被双曲线60422=-y x 截得的弦长28=AB ，求直线l 的方程．秒杀秘籍：双曲线的弦长公式与面积（不过焦点的弦）双曲线()222210,0x y a b a b-=>>与直线l ：y kx m =+相交于AB 两点，求AB 的弦长。

设：()()1122,,,A x y B x y 则()22121214AB kx x x x =++-将y kx m =+代入22221x ya b-=得：()22222222220b k a x a km x a m a b ----=()221222222212222a km x xb k a a m b x x b k a ⎧⎪+=⎪⎪-⎨⎪--⎪⋅=⎪-⎩∴()222222212122222141ab b k a m AB kx x x x kb k a -+∴=++-=+-例1：已知直线1+=x y 与双曲线14:22=-y x C 交于A 、B 两点，求AB 的弦长解：设：()()1122,,,A x y B x y 则()()()22222121121214AB x x y y k x x x x =-+-=++-将1y x =+代入2214yx -=得：23250x x --=21235123x x x x +=⋅=-⎧∴⎨⎩22218213AB k x x ∴=+-=双曲线与直线交点的判别式：()2222224a b b k a m ∆=-+用来判断是否有两个交点问题。

面积问题：双曲线与直线m kx y l +=:相交与两点，()00,y x C 为AB 外任意一点，求ABC S ∆。

设C 到l 的距离为d ，则22220000222211221ABCkx y m kx y m ab b k a m S AB d AB b k a k ∆-+-+⋅-+===-+例2：动点P 到A(-1,0)及B(1,0)连线的斜率之积为m (m >0)且P 的轨迹E 的离心率为2m ｡⑴求E 的方程;⑵设直线L:23=+y x 交曲线E 于M 、N,求ΔAMN 的面积｡解：(1)设点()()2200,011y y P x y m mx y m m x x --⋅=⇒-=>+-；故动点轨迹为双曲线，且离心率为2m ，即2222211211y c m x m m m a +-===⇒=；E 的方程为()2211x y x -=≠±(2)12AMN S MN d ∆=，设()()1122,,,M x y N x y 则()22121214MN k x x x x =++-；将32y x =-+代入221x y -=得：()2314350x x -++-=12122352x x x x ⎧+=⎪∴⎨⋅=⎪⎩；23232131A A x y d k+---==++；32134164222AMNS MN d ∆--⋅-++===。

4.已知两定点()()122,0,2,0F F -，满足条件212PF PF -=的点P 的轨迹是曲线E ，直线1y kx =-与曲线E 交于,A B 两点，如果63AB =，（1）求点P 的轨迹；（2）求k 的值。

5.已知双曲线22221(00)x y C a b a b-=>>：，的两个焦点为1(20)F -，，2(20)F ，，点(37)P ，在双曲线C 上．⑴求双曲线C 的方程；⑵记O 为坐标原点，过点(02)Q ，的直线l 与双曲线C 相交于不同的两点E F ，，若OEF =△S 22，求l 方程．秒杀秘籍：直线与双曲线交点问题：(1)直线m kx y +=与双曲线22221(00)x y a b a b-=>>，有两个交点时，()22222240a b b k a m ∆=-+>；()22222240a b b k a m ∆=-+=，有仅有一个交点；()22222240a b b k a m ∆=-+<，没有交点；(2)过点()00,y x P 的直线与双曲线有一个交点情况需要分类讨论：①当ab x y ±=00时，点P 在渐近线上，当a x ±=0时，有两条直线（一条切线，一条与另一条渐近线平行的直线）；当a x ±≠0时，有三条直线（两条切线，一条与另一条渐近线平行的直线）；例3：经过点⎪⎭⎫⎝⎛2,21P 且与双曲线1422=-y x 仅有一个公共点的直线有（）(A)4条(B)3条(C)2条(D)1条解：②当a bx y ±≠00时，点P 不在渐近线上，当a x ±=0时，有三条（两条渐近线的平行线，一条切线a x ±=）；当a x ±≠0时，有四条（两条渐近线的平行线，两条切线a x ±=）。

例4：过点P (4,4)且与双曲线x 216－y 29＝1只有一个交点的直线有()A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条解：如图所示，满足条件的直线共有3条．(3)当2200221(00)x y a b a b->>>，时（点P 在双曲线内部），一定有交点，当直线斜率ab k ±=时，有一交点，当直线斜率a bk ±≠时，有两个交点。

例5：过双曲线22491x y -=的右焦点F 且斜率是23的直线与双曲线的交点个数是（）A ．0B ．1C ．2D ．3解：由于焦点位于双曲线内部，且ab k =，则直线与双曲线渐近线平行，故有仅有一个交点。

6.直线与双曲线相交一定有两个交点吗？直线与双曲线只有一个交点一定相切吗？7.直线l 过点2,0)且与双曲线222x y -=仅有一个公共点，这样的直线有A.1条 B.2条 C.3条 D.4条8.直线y =kx 与双曲线16422=-y x 不可能（）A.相交 B.只有一个交点 C.相离 D.有两个公共点9.若一直线l 平行于双曲线的一条渐近线，则l 与双曲线的公共点个数为．10.如果直线1-=kx y 与双曲线422=-y x 没有公共点，求k 的取值范围．有两个公共点呢？11若不论k 为何值，直线y =k (x -2)+b 与双曲线122=-y x 总有公共点，则b 的取值范围是（）A ()3,3-B 33[-C()2,2-D []2,2-12.过双曲线1222=-y x 的右焦点F 作直线l 交双曲线于A 、B 两点，若|AB|=4，则这样的直线l 有（）A.1条B.2条C.3条D.4条13.直线l 过点(1,0)且与双曲线222x y -=仅有一个公共点，这样的直线有条。

14.直线3b ay x =+且与双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的交点个数是。

15.直线43y x m=+且与双曲线221916x y-=的交点个数是（）A.0 B.1 C.2 D.视m 情况而定16.过点7,5)P 与双曲线221725x y-=有且只有一个公共点的直线有几条，分别求出它们的方程。

秒杀秘籍：双曲线中点弦问题（弦中点坐标()00,C x y 与k 值存在着一一对应的关系）设双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的弦AB 的中点为()00,C x y ，则2020x b k y a =证：设()()()112200,,,,,A x y B x y C x y ，则()()()()()2211222222221201202121111232425x y a b x y a b x x x y y y y y k x x ⎧-=⎪⎪⎪-=⎪⎪⎪+⎨=⎪+⎪=⎪⎪-=⎪-⎪⎩(1)-(2),得并将（3）（4）（5）代入得：2020x b k y a=（口诀：以00x y 为底，原对应不变）例6：已知双曲线方程为3322=-y x ，求以定点A(2,1)为中点的弦所在的直线方程．解：设过点(2,1)A 的直线与双曲线交于1122(,),(,)P x y Q x y 则{221122223333x y x y -=-=两式相减得121212123()()()()0x x x x y y y y -+--+=又12124,2x x y y +=+=代入，12126yy x x --=即6PQ k =故所求直线方程为6110x y --=例7：双曲线方程为3322=-y x .问：以定点B(1,1)为中点的弦存在吗？若存在，求出其所在直线的方程；解：设过点(1,1)B 的直线与双曲线交于1122(,),(,)P x y Q x y 则{221122223333x y x y -=-=两式相减得121212123()()()()0x x x x y y y y -+--+=又12122,2x x y y +=+=代入，12123y y x x --=即3PQ k =故所求直线方程为32y x =-，将32y x =-代入2233x y -=得，发现261270,0x x -+=∆<，故以定点B(1,1)为中点的弦不存在。

17.过A (4,1)作直线PQ 交曲线M 于点P 、Q ，A 恰为PQ 的中点，求PQ 的直线方程。

（1）M ：2212516x y+=（2）M ：2213y x -=18.过点(3,0)P -的直线l 与双曲线221169x y -=交于点,A B ,设直线l 的斜率为11(0)k k ≠,弦AB 的中点为M ,OM 的斜率为2k (O 为坐标原点),则12k k ⋅=19.设直线13:-=x y l 与双曲线于()0,012222>>=-b a by a x 相交于A 、B 两点，且弦AB 中点的横坐标为21．(1)求22b a 的值；(2)求双曲线离心率．20.已知双曲线1222=-y x ，经过点)1,1(M 能否作一条直线l ，使l 与双曲线交于A 、B ，且点M 是线段AB 的中点。

若存在这样的直线l ，求出它的方程，若不存在，说明理由。

21.双曲线C ：12222=-by a x )0,0(>>b a 的两条准线间距离为3，右焦点到直线01=-+y x 的距离为22，（1）求双曲线C 的方程；（2）双曲线C 中是否存在以21,1(P 为中点的弦？。