或写成矩阵形式：
( 0 , 0 ) ( 0 , 1 ) (1 , 0 ) (1 , 1 ) … (n , 0 ) (n , 1 )
(0 , n ) a0 (f, 0 ) … (1 , n ) a1 (f, 1 ) … … … (n , n ) an (f, n ) …
内积的定义： 设f(x), g(x) C[a, b], ρ(x)为[a, b]
上的权函数, 则可定义内积：
(f, g)
b
ρ(x)f(x)g(x)dx
a
当ρ 1, (f, g)

b
b
a
f(x)g(x)dx
由内积可以定义范数(度量)：
|| f(x) ||2 (f, f)
1 2
2 ρ(x)f (x)dx a
ρ (x)为权函数，若 存 在s * (x) Φ ，满足

b
a
ρ (x)[f(x) s * (x)] dx min ρ (x)[f(x) s(x)] dx
2 2 s(x)Φ a
b
则称s * (x)为f(x)在 Φ 上的最佳平方逼近函数 。
2
n … 【注】 若取 0 1, 1 x, 2 x , , n x 2 … n … 则 Φ span{0 , , n } span{1, x, x , , x }
应该是f(x)的最佳平方逼近函数。
结论:
1)
s * ( x ) 是f(x)在集合 Φ
证明（略）
上的最佳平方逼近函数。
2) 逼近误差公式（证明推导，见下页）：
|| δ (x) || || f(x) - s (x) ||

2 2
(f(x), f(x)) - (S (x)，f(x))
* || f(x) ||2 a k (f, k ) (4.5) 2 k 0 n
* 1
2 2
10 x dx ( 27 1
4
1
7 12

31 80

88 135
)
10 88 p (x) x. 27 135
f(x) x
平方误差 : || δ(x) || 0.0001082.
2 2
0.37
1/4
1
1 观察：在[ , 1]上，f(x) 4
x 和一个线性函数差不多 。
解： || f(x) - s(x) || max | 1 - x | 1
0 x 1
1 || f(x) - s(x) || (1 x) dx 3 0
2 2 2
1
3 || f(x) - s(x) ||2 0.578 3
权函数的定义
定义4 (1)
b
权函数ρ (x)和基 函数乘法的积分
计算方法 (Numerical Analysis)
第5次 最佳平方逼近与曲线拟合的最小二乘法
主要内容
• 最佳平方逼近 • 曲线拟合的最小二乘法
最佳平方逼近
函数逼近的类型
• 最佳一致逼近：使用多项式对连续函数进行一致 逼近。逼近误差使用范数
|| f(x) - s (x) || max | f(x) - s (x) |
推导在最后一页PPT
(f, 0 )

1
1
0
1 2 1 x dx ln(1 2 ) 1.147 2 2
2 2 3 2 2
1 2 2 1 1 (f, 1 ) x 1 x dx (1 x ) |0 0.609 0 3 3
1 1 2
1 2 a0 1.147 1 0.609 a1 3
a0 0.934，a 1 0.426
得最佳平方逼近多项式为：
S1 (x) 0.934 0.426x
1
2
y
1
1 x
2
S (x) 0.934 0.426x红色
即为全体n次多项式的 集合。
问题归结为求s * (x)
* * a , 即求系数a j j j , 使得 j0
n
I(a0 , … , an )

b
a
ρ(x)[f(x)
2 a ] j j dx j0
n
取得极小值。上式两端 对ak 求导，得： 为了求极值，设
b I (a0 , … , an ) 2 ρ(x)[f(x) a ak n b
3 4 15 32
10 88 p (x) x 27 135
* 1
15 32 21 64
7 a0 12 a0 31 a1 a1 80
10 27 88 135
平方误差 :|| δ (x) ||
1.02 1
0 1 n
作为基函数。
由此生成的线性空间
… , n } Φ span{0 ,
{a00 a11 ann }
中的函数对已知的连续函数f(x)进行逼近。
连续函数的在线性空间最佳平方逼近 … , n } C[a, b]， 设f(x) C[a, b], Φ span{0 ,
( akk (x), a j j (x)) ( akk (x), f(x))
n n n k 0 j0 k 0 n
整理上式，得
k 0
a [ a (
k j0 j
n
n
k
(x), j (x))]
k 0
a
k
(k (x), f(x))
根据之前S*(x)存在性证明过程中得到的(3.3)式，即：
(
证明完毕。
j0
n
k
, j )a j (f, k ), k 0,1,..., n
例6 求f(x)
1 x 2 在[0,1]上的一次 最佳平方
* 1
逼近多项式。取 ρ (x ) 1。
解： 已知0 1, 1 x, 设所求S (x) a0 a1 x, 得法方程
权函数的意义：强化或弱化某部分积分函数值的影响。
例如：在[0, 5]上，取
5 3 0
ρ(x) x
3
则积分
x g(x)dx
起到了弱化g(x)在区间[0, 1]的函数值，强化g(x)在 区间[1, 5]的函数值的作用。 离散权函数：在学生成绩系统中 总分=a*平时分+b*实验分+c*作业分+d*期末分 例如，老师录入系数：a=0.1，b=0.2, c=0.1, d=0.6 ，则{a, b, c, d}即为离散的权函数。
(0 , 0 ) (0 , 1 ) (1, 0 ) (1, 1 ) … … (n , 0 ) (n , 1 )
( f,0 ) (1, n ) a1 ( f,1 ) … … … … … … (n , n ) a n ( f,n )
n
满足

b
a
ρ(x)[f(x) s * (x)] dx min
2
s(x)Hn

b
a
ρ(x)[f(x) s(x)]2dx
则称s * (x)为f(x)在[a, b]上的n次最佳平方 逼近多项式.
讨论：
• 最佳平方多项式逼近：采用{1, x, x2 ,…,xn }作为 基函数，由此生成的多项式对f(x)进行平方逼近. • 一般情况下：采用线性无关的连续函数 … , (x)} { ( x ) , (x),
设 ρ (x)是区间[a, b]上的非负函数, 若 x kρ (x)dx存在, k 0, 1, 2, … ;

a
(2) 对于[a, b]上的非负连续函数 g(x), 若
b a
g(x)ρ (x)dx 0, 则必有 g(x) 0， x [a, b]；
权函数的 非0性质
就称 ρ (x)为[a, b]上的权函数。
a ] dx
j0 j j k
n
0
a
j0 j
a
ρ(x) j (x)k (x)dx

b
a
ρ(x)f(x)k (x)dx
(
j0
n
k
, j )a j (f, k ), k 0,1,..., n (3.3)
展开成方程组形式：
(0 , 0 )a0 (0 , 1 )a1 (0 , n )an (f, 0 ) (1 , 0 )a0 (1 , 1 )a1 (1 , n )an (f, 1 ) (n , 0 )a0 (n , 1 )a1 (n , n )an (f, n )
逼近误差公式证明
|| δ (x) ||2 || f(x) s (x) || (f(x) s (x), f(x) s (x)) 2
(f(x), f(x)) (f(x), s (x)) - (s (x), f(x)) (s (x), s (x))
只需证明 (s(x), s(x)) (s(x), f(x)) 即：
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曲线拟合的最小二乘法
3.4. 曲线拟合的最小二乘法
若已知f(x)在点xi(i=1,2,…,n)处的值yi,便可根据插值
原理来建立插值多项式作为f(x)的近似。
但在科学实验和生产实践中，往往会遇到下述情况： 1) 节点上的函数值是由实验或观测得到的数据，带有 测量误差，若要求近似函数曲线通过所有的点 (xi,yi)，就会使曲线保留着一切测试误差； 2) 当个别数据的误差较大时，插值效果可能不理想；
(0 , 0 ) (0 , 1 ) a0 (f, 0 ) (f, 1 ) (1 , 0 ) (1 , 1 ) a1 1 1 2 a0 (f, 0 ) 1 1 (f, 1 ) a1 2 3