(2) (1) (2) (2) 在 D U 2 D(a X ) D V2 D(b X ) 1
cov U1,U2 cov V1,V2 0 的条件下使得
达到最大。 （3）如此继续下去，直到两组变量之间的相关性被提取完毕 为止。
2 2
U V = (a(2)X(1) , b(2)X(2) )
mv ( v2 , x v2 , x v2 , x ) / p
i i 1 i 2 i p
y组原始变量被ui解释的方差比例
nu ( u2 , y u2 , y u2 , y ) / q
i i 1 i 2 i q
y组原始变量被vi解释的方差比例
i i 1 i 2 i q
1.00 0.49 0.53 0.49 0.51 1.00 0.57 1.00 0.46 0.48 1.00 0.53 0.57 0.57 1.00
^
M 11
^
M 22
1.00 0.43 0.27 0.24 0.34 0.37 0.40
8.8 某年级学生的期末考试中，有的课程闭卷考试，有的课 程开卷考试。44名学生的成绩如下表：
多元统计分析
闭卷 开卷 闭卷 开卷
理 学 院
力学
物理
代数
分析
统计
力学
物理
代数
分析
统计
X1
77 75 63 51 62 52 50 31 44 62 44 12 54 44 46 30 40
X2
82 73 63 67 60 64 50 55 69 46 61 58 49 56 52 69 27
X3
67 71 65 65 58 60 64 60 53 61 52 61 56 55 65 50 54
X4
67 66 70 65 62 63 55 57 53 57 62 63 47 61 50 52 61
X5
81 81 63 68 70 54 63 76 53 45 45 67 53 36 35 45 61
nv ( v2 , y v2 , y v2 , y ) / q
多元统计分析
理 学 院
8.3 试分析一组变量的典型变量与其主成分的联系与区别。
多元统计分析
理 学 院
8.4 简述典型相关分析中载荷分析的内容及作用。
答：作用：进行典型载荷分析有助于更好解释分析已提取的
p 对典型变量。所谓的典型载荷分析是指原始变量与典
0.03 0.24 0.59 1 0.03 1 0.06 0.07 R＝ 0.24 0.06 1 0.24 0.59 0.07 0.24 1
试对阅读本领与运算本领之间进行典型相关分析。
多元统计分析
理 学 院
8.7 邓讷姆（Dunham）在研究职业满意度与职业特性的相关 程度时，对从一大型零售公司各分公司挑出的784位行政人 员测量了5个职业特性变量：用户反馈、任务重要性、任务 多样性、任务特性及自主性，7个职业满意度变量：主管满 意度、事业前景满意度、财政满意度、工作强度满意度、公 司地位满意度、工种满意度及总体满意度。两组变量的样本 相关矩阵为：
多元统计分析
原始变量相关系数矩阵 X典型变量系数矩阵
R11 R R21 R12 R22
理 学 院
a11 a 21 A a1 a 2 ar pr a p1 Y典型变量系数矩阵 b11 b12 b b22 21 B b1 b 2 br qr b b q1 q 2k 1 Nhomakorabeaq
bkj x , y
i
k
( xi , v j ) bkj x , y / x x
k 1
i k
q
i i
多元统计分析
cov( yi , u j ) cov( yi , a1 j x1 a2 j x2 a pj x p )
理 学 院
cov( yi , a1 j x1 ) cov( yi , a2 j x2 ) cov( yi , a pj x p )
多元统计分析
8.2 什么是典型变量？它具有哪些性质？
理 学 院
答：在典型相关分析中，在一定条件下选取原始两组变量的系 列线性组合配对以反映两组变量之间的线性关系，被选出的线 性组合配对称为典型变量。具体来说，
(1) (1) (2) (2) X (1) ( X1(1) , X 2 ,, X p ) 、 X (2) ( X1(2) , X 2 ,, X q )
理 学 院
答： 典型相关分析是研究两组变量之间相关关系的一种多元 统计方法。用于揭示两组变量之间的内在联系。典型相关分 析的目的是识别并量化两组变量之间的联系。将两组变量相 关关系的分析转化为一组变量的线性组合与另一组变量线性 组合之间的相关关系。 基本思想： （1）在每组变量中找出变量的线性组合，使得两组的线性组 合之间具有最大的相关系数。即： (1) (2) (2) ) 、 X(2) ( X1(2) , X 2 ,, X q ) 若设 X(1) ( X1(1) , X 2(1) ,, X p
(1) (1) (1) (2) ( a X , b X ) 的条件下，使得
达到最大，则称 a(1)X(1) 、b(1) X(2) 是
X (1) 、 X(2)
的第一对典型相关变量。
多元统计分析
理 学 院
典型相关量化了两组变量之间的联系，反映了两组变量 的相关程度，具有下列性质： 性质1 典型变量的方差为1，且同一组变量的典型变量之间 互不相关。即
51
32 33 44 34
56
45 40 48 46
40
42 63 48 52
56
55 53 49 53
54
56 54 51 41
5
40 25 37 40
多元统计分析
试对闭卷 X1，X 2 和开卷 相关分析。
3 4 5
理 学 院
X ，X ，X 两组变量进行典型
多元统计分析
8.1 什么是典型相关分析？简述其基本思想。
X4
70 70 64 62 62 62 56 54 55 63 49 62 59 57 57 59 54
X5
81 68 73 56 45 44 37 40 45 62 64 47 44 81 64 37 68
36
46 42 23 41
59
56 60 55 63
51
57 54 59 49
45
49 49 53 46
在 D(a(1)X(1) ) D(b(1)X(2) ) 1 的条件下，使得
(a(1)X(1) , b(1)X(2) )
多元统计分析
(2) (1) (2) (1) U2 a1(2) X1(1) a2 X2 aP XP a(2) X(1)
理 学 院
(2) (2) (2) (2) V2 b1(2) X1(2) b2 X2 bq Xq b(2) X(2)
1.00 0.33 1.00 0.26 0.25 1.00 0.54 0.46 0.28 0.32 0.29 0.58 0.45 0.30 0.27
1.00 0.35 1.00 0.59 0.31 1.00
多元统计分析
0.33 0.30 ^ M 21 0.31 0.24 0.38 0.32 0.20 0.21 0.16 0.23 0.14 0.22 0.12 0.32 0.17
Ui a X
(i ) 1
(1) 1
a X
(i ) 2
(1) 2
a X
(i ) P
(1) P
a X(1)
(i )
(i ) (2) (i ) (2) Vi b1(i ) X1(2) b2 X2 bq Xq b(i) X(2)
在
D(a(1)X(1) ) D(b(1)X(2) ) 1
( yi , v j ) bkj y , y / y y
k 1
i k
k 1
q
i
k
i i
多元统计分析
X组原始变量被ui解释的方差比例
理 学 院
mu ( u2 , x u2 , x u2 , x ) / p
i i 1 i 2 i p
X组原始变量被vi解释的方差比例
是两组相互关联的随机变量，分别在两组变量中选取若干有代 表性的综合变量Ui、Vi是原变量的线性组合。
多元统计分析
(i ) (i ) (1) (i ) (1) Ui a1 X1(1) a2 X2 aP XP a(i ) X(1)
理 学 院
(i ) (2) (i ) (2) Vi b1(i ) X1(2) b2 X2 bq Xq b(i) X(2)
cov(xi , a1 j x1 ) cov(xi , a2 j x2 ) cov(xi , a pj x p )

k 1

p
akj x , x
i
k
( xi , u j ) akj x , x / x x
k 1
i k
p
i i
cov(xi , v j ) cov(xi , b1 j y1 b2 j y2 bpj yq ) cov(xi , b1 j y1 ) cov(xi , b2 j y2 ) cov(xi , bpj y p )
D(Uk ) 1, D(Vk ) 1
(k 1, 2,, r)
Cov(Ui ,U j ) 0,