高一数学创新题型探究贵州 洪其强一、建构数列型数列作为特殊的函数，在高考数学中占有相当重要的位置，主要涉及增长率、银行信贷等．解答这一类问题，要充分应用观察、归纳、猜想的手段，建立起等差、等比、或递推数列的模型来解题．例1 （2003年朝阳区高三统一练习（二））2002年底某县的绿化面积占全县总面积的40%，从2003年开始，计划每年将非绿化面积的8%绿化，由于修路和盖房等用地，原有绿化面积的2%被非绿化.（Ⅰ）设该县的总面积为1，2002年底绿化面积为1041=a ，经过n 年后绿化的面积 为,1+n a 试用n a 表示1+n a ；（Ⅱ）求数列}{n a 的第1+n 项1+n a ；解析：（Ⅰ）设现有非绿化面积为1b ，经过n 年后非绿化面积为.1+n b 于是.1,111=+=+n n b a b a 依题意：1+n a 是由两部分组成，一部分是原有的绿化面积n a 减去被非绿化部分n a 1002后剩余的面积n a 10098，另一部分是新绿化的面积.1008n b 于 是1+n a =n a 10098+.1008n b =n a 10098+.252109)1(1008+=-n n a a （Ⅱ）1+n a =,252109+n a 1+n a －54=－).54(109-n a , 数列}54{-n a 是公比为,109首项5254104541-=-=-a 的等比数列. n n a )109)(52(541-+=∴+二、信息迁移型信息迁移题指的是不便于直接运用所学数学知识解决问题，而需要从所给材料中获取信息，并用于新问题解决的一类问题．这一类问题，往往出现在一个较新的背景之下，题型新颖，形式多样，融综合性、应用性、开放性、创新性于一体．信息迁移型题可分为定义信息型、图表信息型、 图形图像信息型等. 1．定义信息型例2 （2001上海22）对任意函数f (x ), x ∈D ，可按图示构造一个数列发生器，其工作原理如下：①输入数据x 0∈D ，经数列发生器输出x 1=f (x 0)； ②若x 1∉D ，则数列发生器结束工作；若x 1∈D ，则将x 1反馈回输入端，再输出x 2=f (x 1)，并依此规律继续下去.现定义124)(+-=x x x f （1）若输入x 0=6549，则由数列发生器产生数列{x n }，请写出{x n }的所有项； （2）若要数列发生器产生一个无穷的常数列，试求输入的初始数据x 0的值；（3）若输入x 0时，产生的无穷数列{x n }，满足对任意正整数n 均有x n ＜x n +1；求x 0的取值范围.解析：（1）∵f (x )的定义域D =（–∞,–1)∪(–1,+∞)∴数列{x n }只有三项，1,51,1911321-===x x x （2）∵x x x x f =+-=124)(,即x 2–3x +2=0 ∴x =1或x =2，即x 0=1或2时 n n n n x x x x =+-=+1241 ，故当x 0=1时，x n =1，当x 0=2时，x n =2（n ∈N *）（3）解不等式124+-<x x x ，得x ＜–1或1＜x ＜2 要使x 1＜x 2，则x 2＜–1或1＜x 1＜2 对于函数164124)(+-=+-=x x x x f ，若x 1＜–1，则x 2=f (x 1)＞4，x 3=f (x 2)＜x 2； 若1＜x 1＜2时，x 2=f (x 1)＞x 1且1＜x 2＜2，依次类推可得数列{x n }的所有项均满足x n +1＞x n（n ∈N *）综上所述，x 1∈(1,2)，由x 1=f (x 0),得x 0∈(1,2). 2．图形、图像信息型例3 某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从2月1日起的300天内，西红柿市场售价与上市时间的关系如下图1所示的一条件线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系用如下图2所示的抛物线段表示.(1)写出如图1所示市场售价与时间的函数关系式P=f(t)；写出如下图2所示种植成本与时间的函数关系式Q=g(t).(2)认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿纯收益最大?(注：市场售价和种植成本的单位：元/102kg ，时间单位：天)图1图2解析：(1)f(t)=⎩⎨⎧≤<-≤≤-.300200,3002,2000,300t t t t ；g(t)=2001(t-150)2+100，0≤t ≤300.(2)设t 时刻的纯收益为h(t)，则由题意得h(t)=f(t)-g(t)，即h(t)=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤<-+-≤≤++-.300200,21025272001,2000,217521200122t t t t t t当0≤t ≤200时，配方整理得h(t)=-2001(t-50)2+100，所以，当t=50时,h(t)取得区间［0，200］上的最大值100；当200＜t ≤300时，配方整理得h(t)=- 2001(t-350)2+100所以，当t=300时，h(t)取得区间(200，300］上的最大值87.5综上，由100＞87.5可知，h(t)在区间［0，300］上可以取得最大值100，此时t=50，即从2月1日开始的第50天时，上市的西红柿纯收益最大.三、函 数 与 数列的综合型函 数 与 数列综 合 题 在 高 考 中 常 考 常 新 , 是 既 考 知 识 又 考 能 力 的 好 题型 , 在 高 考 备 考 中 有 较 高 的 训 练 价 值同时这类问题在高考中频频出现,是历年高考试题中不容忽视的一个考点。

例4 已知函数f (x )=aa a xx +（ａ＞０，ａ≠１）．(1) 证明函数f (x )的图象关于点P (21,21)对称． (2) 令a n ＝)1()(n f n f a -，对一切自然数n ，猜想使a n ＞ｎ２成立的最小自然数a 。

解析: (1)关于函数的图象关于定点P 对称, 可采用解几中的坐标证法. 设M (x ,y )是f (x )图象上任一点，则M 关于P (21,21)的对称点为M ’（１－ｘ，１－ｙ），yx f aa aaa ay a a a a a a a aa a xxxxxx x -=-∴+=+-=-+=⋅+=+--1)1(1111∴Ｍ′(1-x ,1-y )亦在f (x )的图象上， 故函数f (x )的图象关于点P (21,21)对称. (2)将f (n )、f (1-n )的表达式代入a n 的表达式，化简可得a n ＝ａｎ猜a =3, 即3ｎ＞ｎ２．四、环境保护型例5 有一个受到污染的湖泊，其湖水的容积为V 立方米，每天流出湖泊的水量都是r 立方米，现假设下雨和蒸发正好平衡，且污染物质与湖水能很好地混合，用g (t )表示某一时刻t 每立方米湖水所含污染物质的克数，我们称为在时刻t 时的湖水污染质量分数，已知目前污染源以每天p 克的污染物质污染湖水，湖水污染质量分数满足关系式g (t )=rp +［g (0)- rp ］·e t v r-(p ≥0),其中，g (0)是湖水污染的初始质量分数.（1）当湖水污染质量分数为常数时，求湖水污染的初始质量分数；（2）求证：当g (0)<rp时，湖泊的污染程度将越来越严重； （3）如果政府加大治污力度，使得湖泊的所有污染停止，那么需要经过多少天才能使湖水的污染水平下降到开始时污染水平的5%？解析 （1）∵g (t )为常数, 有g (0)-r p =0, ∴g (0)= rp.(2) 我们易证得0<t 1<t 2, 则g (t 1)-g (t 2)=［g (0)- r p ］e 1t v r --［g (0)- r p ］e 21t v r-=［g (0)- rp ］［e 1t vr --e 21t v r-］=［g (0)-rp ］)(2112)(t t vrt vr t vr ee e+-,∵g (0)·rp <0,t 1<t 2,e 21t v r >e 1t v r,∴g (t 1)<g (t 2).故湖水污染质量分数随时间变化而增加，污染越来越严重.(3)污染停止即P =0，g (t )=g (0)·et vr -,设经过t 天能使湖水污染下降到初始污染水平5%即g (t )=5% g(0) ∴201=e t v r-，∴t =rvln20，故需要rvln20天才能使湖水的污染水平下降到开始时污染水平的5%.五、估测计算型例6 为促进个人住房商品化的进程，我国1999年元月公布了个人住房公积金贷款利率和商业性贷款利率如下：张先生家要购买一套商品房，计划贷款25万元，其中公积金贷款10万元，分十二年还清；商业贷款15万元，分十五年还清．每种贷款分别按月等额还款，问： (1)张先生家每月应还款多少元?(2)在第十二年底汪先生家还清了公积金贷款，如果他想把余下的商业贷款也一次性还清；那么他家在这个月的还款总数是多少?(参考数据：1.004455144＝1.8966，1.005025144＝2.0581，1.005025180＝2.4651) 解析 设月利率为r ，每月还款数为a 元，总贷款数为A 元，还款期限为n 月 第1月末欠款数 A (1＋r )－a第2月末欠款数 [A (1＋r )－a ](1＋r )－a ＝ A (1＋r )2－a (1＋r )－a第3月末欠款数 [A (1＋r )2－a (1＋r )－a ](1＋r )－a ＝A (1＋r )3－a (1＋r )2－a (1＋r )－a ……第n 月末欠款数 0)1()1()1()1(21=-+--+-+-+--a r a r a r a r A n n n得：1)1()1(-+⨯+=n n r rr A a对于12年期的10万元贷款，n ＝144，r ＝4.455‰∴37.9421004455.1004455.0004455.1100000144144=-⨯⨯=a对于15年期的15万元贷款，n ＝180，r ＝5.025‰∴22.12681005025.1005025.0005025.1150000180180=-⨯⨯=a 由此可知，汪先生家前12年每月还款942.37＋1268.22＝2210.59元，后3年每月还款1268.22元．(2)至12年末，汪先生家按计划还款以后还欠商业贷款a r a r a r a r A X -+--+-+-+=)1()1()1()1(142143144其中A ＝150000，a ＝1268.22，r ＝5.025‰ ∴X ＝41669.53 再加上当月的计划还款数2210.59元，当月共还款43880.12元．六、类比归纳型给出一个数学情景或一个数学命题，要求我们发散思维去联想、类比、推广、转化，找出类似的命题，或者根据一些特殊的数据，特殊的情况去归纳出一般的规律。