四点共圆(圆内接四边形)的性质：（1）同弧所对的圆周角相等；（2）圆内接四边形的对角互补，外角等于其内对角；（3）圆幂定理；（4）托勒密定理Ptolemy；（5）弦切角定理。

四点共圆的判定：1把四个点连成共底边的两个三角形，且两三角形都在这底边的同侧，证明其顶角相等（同弧所对的圆周角相等）。

2把四点连成四边形，证明其对角互补或一个外角等于其内对角。

3把四点连成相交的两条线段，证明它们各自被交点分成的两线段之积相等；或把四点两两连结并延长相交的两线段，证明自交点至一线段两个端点所成的两线段之积等于自交点至另一线段两端点所成的两线段之积。

4根据托勒密定理的逆定理。

(性质和判定的前4条互为逆定理)5从四点中先选出三点作一圆，然后证另一点也在这个圆上。

(反证法)6证被证共圆的点到某一定点的距离都相等，从而确定它们共圆。

即连成的四边形三边中垂线有交点，即可肯定这四点共圆。

7同斜边的两个直角三角形的四个顶点共圆，其斜边为圆的直径。

直角三角形中线定理：直角三角形斜边的中线长等于斜边的一半。

(逆定理也成立)射影定理：RT△ABC中，CD是斜边上的高，则CD2=AD·DB；AC2=AD·AB；BC2=BD·BA。

三角形角平分线定理：三角形中角的平分线将对边所分成的两部分和两邻边成比例(反之也成立)。

三角形的外角平分线也有类似性质。

设AD、AE是∠A及外角的平分线，则有AB/AC=BD/DC=BE/EC。

弦切角定理：弦切角等于它所夹弧所对的圆周角；反之也成立(可用于证明切线)。

圆外切四边形定理：圆外切四边形两组对边的和相等；反之也成立。

斯特沃特定理(Stewart)：如下图，设BD=p ，DC=q ，则pq q p q c p b AD -++=222在△ABD 和△ABC 中，运用余弦定理cosB 相等可证。

该定理可得以下结论：（1） 当AD 是中线时，p=q=2a ，得中线长公式 2222221a c b AD -+=； （2） 当AD 是内角平分线时，)(2a s bcs c b AD -+=，其中2c b a s ++=； （3） 当AD 是高时，ABC S a c b a a c c b b a a AD ∆=---++=222221222222222， 其中 ))()((c s b s a s s S ABC ---=∆，即海伦公式。

梅涅劳斯定理（Menelaus ，简称梅氏定理）：设X 、Y 、Z 分别是△ABC 的边BC 、CA 、AB 或其延长线上的点(其中有奇数个点在边的延长线上)，则X 、Y 、Z 三点共线的充要条件是 (AZ/ZB)*(BX/XC)*(CY/YA)=1 。

(此线称为梅氏线．．．)塞瓦定理（Ceva ）：设X 、Y 、Z 分别是△ABC 的边BC 、CA 、AB 或其延长线上的点(其中有偶数个点在边的延长线上)，则AX 、BY 、CZ 三线共点的充要条件是(AZ/ZB)*(BX/XC)*(CY/YA)=1 。

(此点称为塞瓦点．．．，可用梅涅劳斯定理或面积方法证明) 塞瓦定理推论1.设E 是△ABD 内任意一点，AE 、BE 、DE 分别交对边于C 、G 、F ，则(BD/BC)·(CE/AE)·(GA/DG)=1。

2.塞瓦定理角元形式：AD 、BE 、CF 交于一点的充分必要条件是：(sin ∠BAD/sin ∠DAC)*(sin ∠ACF/sin ∠FCB)*(sin ∠CBE/sin ∠EBA)=1。

3.对于圆周上顺次6点A、B、C、D、E、F，直线AD、BE、CF交于一点的充分必要条件是：(AB/BC)*(CD/DE)*(EF/FA)=1。

托勒密定理(Ptolemy)：圆的内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积。

托勒密定理的逆定理同样成立：若凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积，则该四边形内接于圆。

广义托勒密定理：设四边形ABCD四边长分别为a,b,c,d,两条对角线长分别为m,n，则有：m2*n2=a2*c2+b2*d2-2abcd*cos(A+C)欧拉定理：在一条线段上AD上，顺次标有B、C两点，则AD·BC+AB·CD=AC·BD。

西姆松定理(Simson)：过△ABC外异于顶点的任意一点P作三边的垂线，则三垂足X、Y、Z 共线的充要条件是四边形PABC内接于圆。

(此线称为三角形关于P点的西姆松线．．．．)相关的结果:（1）设三角形的垂心为H，则西姆松线和PH的交点为线段PH的中点，且这点在九点圆上；（2）两点的西姆松线的交角等于该两点的圆周角；（3）若两个三角形的外接圆相同，这外接圆上的一点P对应两者的西姆松线的交角，跟P的位置无关。

欧拉定理(Euler)：设△ABC的外心、重心、垂心分别为O、G、H，则该三点共线且OG=GH/2(重心分垂心和外心的连线段为2：1)。

这条直线叫三角形的欧拉线．．．，且九点圆圆心也在该线上，即四点共线，九点圆圆心到垂心和外心的距离相等。

+，向量利用向量证明，设D为BC边上的中点，则=++++=+==2；OH+++=OBOCCDOAOCBDOBAHOAODOAOA(21AC +=+=+=，∴)(3132+==， )())()((3131++=++++=+=； ∴31=， ∴O 、G 、H 三点共线且3OH OG =。

欧拉公式：设三角形的外接圆和内切圆半径分别为R 和r ，则外心与内心的距离为：)2(22r R R Rr R d -=-=. (用p.9内心性质②可证)九点圆三角形三边的中点、三高的垂足和三个欧拉点(连结三角形各顶点与垂心所得三线段的中点)九点共圆，称这个圆为九点圆，或欧拉圆、费尔巴哈圆。

九点圆是一个更一般的定理：垂心四面体12点共球(各棱的中点，各棱相对于对棱的垂心)的一个特例。

当一个顶点被压入所对面的时候，12点的共球就退化为9点共圆。

证明如图所示，△ABC 的BC 边垂足为D ，BC 边中点为L 。

证法为以垂心H 为位似中心，1/2为位似比作位似变换。

连结HL 并延长至L'，使LL'=HL ；做H 关于BC 的对称点D'。

显然，∠BHC=∠FHE=180°-∠A ，所以∠BD'C=∠BHC=180°-∠A ，从而A ，B ，D'，C 四点共圆。

又因为BC 和HL'互相平分于L ，所以四边形BL'CH 为平行四边形。

故∠BL'C=∠BHC=180°-∠A ，从而A ，B ，L'，C 四点共圆。

综上，A ，B ，C ，D'，L'五点共圆。

显然，对于另外两边AB ，AC 边上的F ，N ，E ，M 也有同样的结论成立，故A ，B ，C ，D'，L'，F'，N'，E'，M'九点共圆。

此圆即△ABC的外接圆⊙O。

接下来做位似变换，做法是所有的点（⊙O上的九个点和点O本身）都以H为位似中心进行位似比为1/2的位似变换。

那么，L'变到了L（因为HL'=2HL），D'变到了D （因为D'是H关于BC的对称点），B变到了Q，C变到了R（即垂心与顶点连线的中点）。

其它各点也类似变换。

O点变成了OH中点V。

位似变换将圆仍映射为圆（容易用向量证明），因此原来在⊙O上的九个点变成了在⊙V上的九个点，且⊙V的半径是⊙O的一半。

这就证明了三角形三边的中点，三高的垂足和三个欧拉点都在一个圆上。

性质1. 三角形的九点圆的半径是三角形的外接圆半径之半；2. 九点圆的圆心在欧拉线上，且恰为垂心与外心连线的中点；3. 三角形的九点圆与三角形的内切圆，三个旁切圆均相切（费尔巴哈定理）；4. 九点圆是一个垂心组(即一个三角形三个顶点和它的垂心，共四个点，每个点都是其它三点组成的三角形的垂心，共4个三角形)共有的九点圆，所以九点圆共与四个内切圆、十二个旁切圆相切；5. 九点圆心(V)，重心(G)，垂心(H)，外心(O)四点共线，且HG=2OG，OG=2VG，OH=2OV。

圆幂与根轴圆幂：设平面上有一点P，有一圆O，其半径为R，则OP2-R2即为P点到圆O的幂。

可见圆外的点对圆的幂为正，圆内为负，圆上为0；根轴：在平面上任给两不同心的圆，对两圆圆幂相等的点的集合是一条直线，这条线称为这两个圆的根轴；也可以称到两不同心圆所引切线长恒相等的点的轨迹为根轴。

相关定理1，平面上任意两圆的根轴垂直于它们的连心线；2，若两圆相交，则两圆的根轴为公共弦所在的直线；3，若两圆相切，则两圆的根轴为它们的公切线；4，蒙日定理（根心定理）：平面上任意三个圆，若这三个圆圆心不共线，则三条根轴相交于一点，这个点叫它们的根心；若三圆圆心共线，则三条根轴互相平行。

根轴方程设两圆O1,O2的方程分别为：(x-a1)2+(y-b1)2-(r1)2=0 和(x-a2)2+(y-b2)2-(r2)2=0由于根轴上任意点对两圆的圆幂相等，所以根轴上任一点(x,y)有(x-a1)2+(y-b1)2-(r1)2=圆幂=(x-a2)2+(y-b2)2-(r2)2，得根轴的方程为：2(a2-a1)x+2(b2-b1)y+f1-f2=0 其中f1=(a1)2+(b1)2-(r1)2，f2类似。

解的不同可能两圆方程连立的解，是两圆的公共点M(x1,y1)、N(x2,y2)①如果是两组不等实数解，M、N不重合且两圆相交，根轴是两圆的公共弦。

②如果是相等实数解，M、N重合，两圆相切，方程表示两圆的公切线。

③如果是共轭虚数解，两圆相离，只有代数规律发挥作用，在坐标系内没有实质。

称M、N是共轭虚点。

费马点(Fermat)：在一个三角形中，到3个顶点距离之和最小的点叫做这个三角形的费马点。

（1）对于任意△ABC，若三角形内或三角形上某一点E,使EA+EB+EC有最小值,则取到最小值时E为费马点。

（2）如果三角形有一个内角大于或等于120°，这个内角的顶点就是费马点。

（3）如果三个内角均小于120°，则在三角形内部对三边张角均为120°的点，就是费马点；分别以AB,BC,CA为边，向三角形外侧做正三角形ABC1,ACB1,BCA1，然后连接AA1,BB1,CC1，则三线交于一点P，则点P就是所求的费马点。

(4)当△ABC为等边三角形时，费马点与外心重合。

平面四边形中费马点：（1）在凸四边形ABCD中，费马点为两对角线AC、BD交点P。

（2）在凹四边形ABCD中，费马点为凹顶点（P）。

三角形重心的性质：1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。