函数知识点总结(掌握函数的定义、性质和图像)平面直角坐标系1、定义：平面上互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，简称为直角坐标系2、各个象限内点的特征:第一象限：（+，+） 点P （x,y ），则x ＞0,y ＞0； 第二象限：（-，+） 点P （x,y ），则x ＜0,y ＞0； 第三象限：（-，-） 点P （x,y ），则x ＜0,y ＜0； 第四象限：（+，-） 点P （x,y ），则x ＞0,y ＜0； 3、点的对称特征：已知点P(m,n),关于x 轴的对称点坐标是(m,-n), 横坐标相同，纵坐标反号 关于y 轴的对称点坐标是(-m,n) 纵坐标相同，横坐标反号 关于原点的对称点坐标是(-m,-n) 横，纵坐标都反号 4、点P （x,y ）的几何意义：点P （x,y ）到x 轴的距离为 |y|， 点P （x,y ）到y 轴的距离为 |x|。

点P （x,y ）到坐标原点的距离为22y x +5、两点之间的距离：已知A ),(11y x 、B ),(22y x AB|=212212)()(y y x x -+-6、中点坐标公式：已知A ),(11y x 、B ),(22y x M 为AB 的中点,则：M=(212x x + , 212y y +) 7、点的平移特征： 在平面直角坐标系中，将点（x,y ）向右平移a 个单位长度，可以得到对应点（ x-a ，y ）； 将点（x,y ）向左平移a 个单位长度，可以得到对应点（x+a ，y ）； 将点（x,y ）向上平移b 个单位长度，可以得到对应点（x ，y ＋b ）； 将点（x,y ）向下平移b 个单位长度，可以得到对应点（x ，y －b ）。

注意：对一个图形进行平移，这个图形上所有点的坐标都要发生相应的变化；反过来，从图形上点的坐标的加减变化，我们也可以看出对这个图形进行了怎样的平移。

函数的基本知识：基本概念1、函数：一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量x 和y ，并且对于x 的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与其对应，那么我们就把x 称为自变量，把y 称为因变量，y 是x 的函数。

2、定义域和值域：定义域：一般的，一个函数的自变量允许取值的范围，叫做这个函数的定义域。

值域：一般的，一个函数的因变量所得的值的范围，叫做这个函数的值域。

3、函数的图像一般来说，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象．4、函数解析式：用含有表示自变量的字母的代数式表示因变量的式子叫做解析式。

5：增减性（单调性）：增减性又叫单调性，分两种情况：单调增、单调减单调增：y 随x 的增大而增大 单调减：y 随x 的增大而减小口诀：“同增异减”，注意：单调性只适用于单调区间，即有一个X 只有唯一确定的y 与之对应时。

8、描点法画函数图形的一般步骤第一步：列表（表中给出一些自变量的值及其对应的函数值）；第二步：描点（在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点）；第三步：连线（按照横坐标由小到大的顺序把所描出的各点用平滑曲线连接起来）。

一次函数图象和性质【知识梳理】一、一次函数的基础知识1、定义：一般地，形如y=kx ＋b(k,b 是常数，k ≠0)，那么y 叫做x 的一次函数当b=0时，y=kx ＋b 即y=kx ，称为正比倒函数，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数. 一次函数的一般形式： y=kx+b (k ≠0)说明： ① k 不为零 ②x 指数为1 ③ b 取任意实数2、解析式：y=kx+b(k 、b 是常数，k 0)3、图像：一次函数y=kx+b 的图象是经过（0，b ）和（-kb，0）两点的一条直线，我们称它为直线y=kx+b,4、增减性（单调性）： k>0，y 随x 的增大而增大（单调增）；k<0，y 随x 而增大而减小（单调减）5、必过点：（0，b ）和（-kb，0）：理由如下：y=kx+b 中， ⑴当x=o,时，y=所以，该函数经过（ ， ）点⑵当y=o,时，x=所以，该函数经过（ ， ）点所以，一次函数y kx b =+的图象是必经过（kb-，0）和（0，b ）两点的一条直线.，注：两点确定一条直线。

画图时，可通过这两点来确定直线。

7、增减性： k>0，y 随x 的增大而增大；k<0，y 随x 增大而减小.8、倾斜度(只与k 相关)：|k|越大，图象越接近于y 轴；|k|越小，图象越接近于x 轴.9、截点（与b 有关）：（直线与y 轴的交点，该点到原点的距离叫做截距） ①当b>0时直线与y 轴交于原点上方（即y 轴的正半轴）；②当b<0时，直线与y 轴交于原点的下方。

（即y 轴的负半轴） 10、图像的上下平移（只与b 相关）：直线y=kx+b,它可以看作由直线y=kx 平移|b|个单位长度得到.当b>0时，将直线y=kx 的图象向上平移b 个单位；口诀“正上” 当b<0时，将直线y=kx 的图象向下平移b 个单位. 口诀“负下” 例如：y=2x+3, 将直线 y=2x 的图象向 上 平移 3 个单位 y=2x-3, 将直线 y=2x 的图象向 下 平移 3 个单位 练习：y=5x-6,将直线 y=5x 的图象向 下 平移 6 个单位注：一次函数y=kx+b 图像的平移，只与b 有关，将y=kx 的图像平移，平移方向： b 正上移，b 负下移 11、一次函数y kx b =+的图象与性质b>0b<0b=0（正比例函数）k>0经过：第一、二、三象限 不经过：第四象限经过：第一、三、四象限不经过：第二象限经过：第一、三象限 不经过：第二、四象限（3当时，；当时，与交于，点。

k k l l b b b l l b 121212120===//()②相交：将两直线方程联立成一个方程组，1122{y k b y k b =+=+ ，解得结果，即为交点。

13、二元一次方程组与一次函数的关系：两元一次函数图象的交点的坐标即为所对应方程组的解。

反比例函数图象和性质【知识梳理】一、反比例函数的基础知识 1、定义：一般地，形如xky =（k 为常数，o k ≠）的函数称为反比例函数。

xky =还可以写成kx y =1- 2、解析式：xky =（k 为常数，） 注：反比例函数解析式的特征：①等号左边是函数y ，等号右边是一个分式。

分子是不为零的常数k （也叫做比例系数k ），分母中含有自变量x ，且指数为1. ②比例系数0≠k③自变量x 的取值为一切非零实数。

（反比例函数有意义的条件：分母≠0） ④函数y 的取值是一切非零实数。

3、增减性（单调性）： k>0，y 随x 的增大而减小（单调减）；k<0，y 随x 增大而增大（单调增）4、反比例函数的图象：双曲线（1）图像的画法：描点法① 列表（应以O 为中心，沿O 的两边分别取三对或以上互为相反的数） ② 描点（有小到大的顺序） ③ 连线（从左到右光滑的曲线）（）对称性：是中心对称图形，对称中心是原点是轴对称图形，对称轴是直线和212()()y x y x==-⎧⎨⎪⎩⎪（3）反比例函数xky =（k 为常数，0≠k ）中自变量0≠x ，函数值0≠y ，所以双曲线是不经过原点，断开的两个分支（称为左、右支），延伸部分逐渐靠近坐标轴，但是永远不与坐标轴相交。

）时两支曲线分别位于一、三象限且每一象限内随的增大而减小时两支曲线分别位于二、四象限且每一象限内随的增大而增大300k y x k y x ><⎧⎨⎪⎩⎪（4）比例系数k 的几何含义（右图）：反比例函数y ＝kx(k ≠0)中比例系数k 的 几何意义，即过双曲线y ＝kx(k ≠0)上任意一点P 作x 轴、y 轴垂线，设垂足分 别为A 、B ，则所得矩形OAPB 的面积(阴影面积)为 k . （由y ＝kx变形可得：k=xy 因为面积为正数，所以k 取绝对值。

） 5、反比例函数性质如下表：k 的符号k ＞0k ＜0图像的大致位置经过象限 第 象限 第 象限增减性（单调性：单调区间内讨论） 在每一象限内，从左到右看，y 随x 的增大而减小 ； （-∞，0）U （0，+∞）区间在每一象限内,从左到右看 y 随x 的增大而增大 （-∞，0）U （0，+∞）区间oyxyxo二次函数图象和性质【知识梳理】一、二次函数的基础知识：1．定义：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。

这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域（x 的取值范围）：全体实数，R ．2. 解析式（表达式）：一般式：2y ax bx c =++（0a ≠，a b c ，，是常数）： 说明：⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2．⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项．222244,-2424b ac b b ac b y ax bx c a a a a--=+++对于二次函数，经过配方变形为顶点式：y=a(x+)其顶点坐标为（，）补充：⑴二次函数解析式的表示方法（三种）①一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）；②顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）；[抛物线的顶点P （h ，k ）]222244,-2424b ac b b ac b y ax bx c a a a a--=+++对于二次函数，经过配方变形顶点式：y=a(x+)其顶点坐标为（，）③两根式（交点式）：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）.其中12x x == (即一元二次方程求根公式)3、二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3. 已知抛物线与x 轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．4、二次函数2y ax bx c =++图象的画法五点绘图法：① 利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标;② ②然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点. 3、二次函数的图像：抛物线（1）对称性：抛物线是轴对称图形。