这是基本求导公式，只能根据导数的定义来求。

导数的定义就是给X一个增Δx，求出ΔY,然后求ΔY/Δx的极限（当Δx→0时）。

函数是Y=X^n ΔY=(X+Δx)^n-X^n 把(X+Δx)^n展开（按n为正整数），展开式写起来很麻烦，我给你叙述一下，你应能理解。

展开式中，第一项是X^n，最末项是（Δx)^n，中间的项中，X是降幂，Δx是升幂，系数是前后对称，如n=2，系数是1，2，1；n=3，系数是1，3，3，1；等等。

注意，n是几，第二项的系数就是几。

只需考虑展开式中的前两项。

第一项是X^n，它将会与ΔY=(X+Δx)^n-X^n中的-X^n项抵消。

第二项是[n X^(n-1)]*Δx,其后的项中，Δx的方次都比1大。

现在来考虑比值ΔY/Δx，前边说过，第一项已消失，第二项除以Δx后为[nX^(n-1)]，其后各项除以Δx后都还剩有Δx因子。

因此，当Δx→0取极限时，就只剩下[nX^(n-1)]，其后的项都成为0了。

这就是你要证的求导公式。

（顺便说一下，上述是以n为正整数来证明的，n为任意实数时也是成立的。

）
(X+Δx)^n的展开式在纸上写起来也并不太麻烦，只是在这里写起来，为避免误会，需加的括号太多，就显得麻烦了。

第一项系数是1，第二项系数是n, 第三项系数是[n(n-1)]/(1*2) 10～12是利用函数的商的求导法则。

如(secx)'＝secx*tanx。

(secx)'＝(1/cosx)'＝－(cosx)'/(cosx)^2＝sinx/(cosx)^2＝secx*tanx
13～16是利用反函数的求导法则：y＝f(x)的反函数是x＝g(y)，则dx/dy＝1/(dy/dx)。

如(arcsinx)'＝1/√(1－x^2)。

y ＝arcsinx 的反函数是x ＝siny 。

已知dx/dy ＝(siny)'＝cosy ＝√(1－x^2)。

所以dy/dx ＝1/(dx/dy)＝1/√(1－x^2)。

即(arcsinx)'＝1/√(1－x^2)
f(x)=c, 则f '(x)=0
f(x)=x^n,则f '(x)=nx^n-1 f(x)=sinx,则f '(x)=cosx f(x)=cosx,则f '(x)=-sinx
f(x)=a^x,则f '(x)=a^xlna(a>0) f(x)=e^x,则f '(x)=e^x
f(x)=logax,则f '(x)=1/xlna(a>0且a 不等于1)
f(x)=lnx,则f '(x)=1/x
四、基本求导法则与导数公式
１. 基本初等函数的导数公式和求导法则
基本初等函数的求导公式和上述求导法则，在初等函数的基本运算中起着重要的作用，我们必须熟练的掌握它，为了便于查阅，我们把这些导数公式和求导法则归纳如下：
基本初等函数求导公式
(1) 0)(='C (2) 1
)(-='μμμx x
(3) x x cos )(sin ='
(4) x x sin )(cos -='
(5)
x x 2
sec )(tan =' (6)
x x 2csc )(cot -=' (7) x x x tan sec )(sec ='
(8) x x x cot csc )(csc -='
(9)
a a a x
x ln )(=' (10) (e )e x
x '=
(11)
(12)
x x 1)(ln =
'，
(13)
211)(arcsin x x -=
'
(14)
211)(arccos x x --
='
(15)
21(arctan )1x x '=
+
(16)
21(arccot )1x x '=-
+
函数的和、差、积、商的求导法则 设)(x u u =，)(x v v =都可导，则
（1） v u v u '±'='±)( （2） u C Cu '=')(（C 是常数）
（3） v u v u uv '+'=')(
（4）
反函数求导法则
若函数)(y x ϕ=在某区间y I 内可导、单调且0)(≠'y ϕ，则它的反函数)
(x f y =在对应区间
x
I 内也可导，且
)(1)(y x f ϕ'=
' 或 dy dx dx dy 1
=
复合函数求导法则
设)(u f y =，而)(x u ϕ=且)(u f 及)(x ϕ都可导，则复合函数)]([x f y ϕ=的导数为
dy dy du dx du dx =
或()()y f u x ϕ'''=
上述表中所列公式与法则是求导运算的依据，请读者熟记．
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