1 x2 x 2 x3 x x 3 6 x1 3 x 2 2 x 3 u
y x1 x2
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(4)
1 a11 x1 a12 x 2 b11u1 b12u2 x 2 a 21 x1 a 22 x 2 b21u1 b22u2 x y1 c11 x1 c12 x 2 y2 c21 x1 c22 x 2
现代控制理论
第一章：控制系统的 状态空间表达式
2007年度
主要内容：
状态的概念、状态方程的建立、由状态空 间表达式求传递函数(阵)、线性变换、离 散系统的状态空间表示等。
§ 1-1 状态变量及状态空间表达式
一、 状态
首先看一力学系统
一质量为m物体与弹簧、阻尼器相连。如图示：在u的作用下求物质运动 的过程？ 设y表示物体的位移,由牛顿定律：f =ma 有：
注意：时变：比例器变为时变 放大器 系统方框图表明了系统输入、状态、输出的关系，既表示了系统的 外部特性，也反映了系统的内部关系。 非线性：比例器－非线性函数发生器
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2．状态变量图：又模拟结构图 描述出了系统的详细结构，反映了系统各个变量之间的信息传递关 系，来源于模拟计算机的模拟结构图。 由积分器、加法器和比例器组成。 上面的串联电路系统的状态变量图：
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习题: 多输入多输出系统（MIMO） 如图25所示机械系统,质量m1，m2各受到f1，f2的 作用，其相对静平衡位置的位移分别为x1， x2。
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根据牛顿定律，分别对m1，m2进行受力分 析，我们有：
取x1、x2、v1、v2为系统四个状态变量 x1、x2、x3、x4，f1(t)、f2(t)为系统两个 控制 输入u1(t)、u2(t)，则有状态方程：
状态变量图中积分器的数目为状态变量数，每个积 分器输出表示相应某状态变量，输入表示该状态的 一阶导数，并用箭头线联起信号传递关系（如图）
。
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D‡0时系统有两个前向通道和一个状态反馈回路 组成，其中D通道表示控制输入U到系统输出Y的直接 转移。
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分别为A (n*n):系统矩阵;B (n*r) Nhomakorabea:输入矩阵;
C (m*n): 输出矩阵;
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D (m*r): 直接传递矩阵
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单输入时（r=1时）：B=[b1 b2 ……bn]T
为列向量
单输出时（m=1时）：C= [c1……cn] 为行向量 值得注意：微分方程的阶次与输入、输出的多少无关（只与 状态有关） 常见的系统D=0(即输入不直接影响输出)；若D≠0则只需单 独考虑，再行叠加即可。如不声明，假定D=0。 关于状态变量个数及状态空间的维数的确定很重要。 其取决于微分方程的阶次，而阶次的多少取决于系统中独立 储能元件的个数。 因此，状态变量的个数为独立储能元件的个数。
注：状态方程是一阶微分方程组,输出方程是代数方程
其中
中的x1、x2称为状态(变量)。
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二、 定义：
状态：已知未来输入情况下，对确定未来行为所必要且充分的 集合。（对平面而言，需要两个独立状态；对空间而言，n维 空间需要n个独立状态）粗略讲：状态是在空间中的"位置"， 是描述系统运动的基本坐标。 （描述系统时域行为的一个最 小变量组） 状态变量：确定系统状态的最小一组变量x1(t)，……，xn(t)。 事实上：对一个用n阶微分方程描述的系统，其运动状态的描 述需要n个独立的变量。可以取这n个独立变量作为状态变量。 可见：状态变量个数与微分方程的阶次相同。 注意：状态变量具有非唯一性；
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如果取x1、x2为系统的两个输出，即：
写成矢量形式，得系统的动态方程为：
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四．状态变量图(系统方块图) 在状态空间中，对状态变量之间的信息传递关系通 常用（包含积分器、加法器、比例器）的状态变量 图表示
(2)方块图有些环节中有零点的情况 u s z K s p s
y
1 sa
s z z p 1 s p s p
u
z p s p
K s
1 sa
y
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例 控制系统的结构图如下图，试写出它的状态空间表达式
u(s) e(s)
f ( s)
u



b
x3
K a0

a0

x2


a1
x1
1

x4

c

d c
g3 (s)
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练习题:
求如图2－7（a）所示系统的动态方程。
图 2－7（a）系统方块图
二阶振荡环节
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g1 (s)
1 u1 (s) k g 2 ( s) 2 s b s a1s a0
sd g s ( s) sc
y ( s)
写出系统的状态空间表达式为：
1 a1 x x 2 a0 x 3 1 4 d c x 0 x1 0 x 0 K 0 2 0 u 0 b 1 x3 1 0 0 c x4 0 x1 x 2 y 1 0 0 0 x3 x4 1 0
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（4）二阶环节:
u
u ( s)
K s2 a1s a0
y ( s)
K a0

a0

1

a1
y
a0 ( s 2 a1s) y( s) k k k g ( s) u ( s) s 2 a1s a0 a0 s 2 a1s a0 a0 1 a0 ( s 2 a1s)
1 n 1 n
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例:
求图示电路的状态方程
R
u
C
uC
L
以u作为系统的控制输入 ，uC作为系统输出。 建立系统的动态方程。
教材P9:系统矩阵A错。
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三、 一般系统的状态空间表达式
或 对线性系统,这组方程可表示为:
如果系统是定常的,则系数矩阵为常数,方程组表示为:
1 L 1 C
R x 1 L x 2 1 C 1 1 L x1 L u x 0 2 0
u
1 L



R L
x1

x2
y
x y (t ) 0 1 1 x2
AX BU X Y CX
有几个状态变量就有几个积分器
对于多输入多输出系统多以矢量结构的形式表示
----------- 方程用矩阵的形式表示
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三、系统状态空间描述的图示形式 传递函数可用方框图表示
1. 系统结构图：直观、清晰便于分析综合 用状态方程和输出方程能够完整地描述系统的动态特性及任务，合 在一起称为系统的动态方程。下图是系统的结构图表示形式。
三种途径：从系统的运行机理出发建立状态空间表达式 由系统方块图写出状态空间表达式 由传递函数或高阶微分方程出发建立状态空间表达式 一、从系统机理出发建立状态空间表达式（机理分析法） 根据其物理规律,如基尔霍夫定律,能量守恒定律,热力学定律等, 即可建立系统的状态方程.当指定系统的输出时,也很容易写出系统 的输出方程. 步骤 １.确定系统的输入变量、输出变量和状态变量 ２.列出描述系统动态特性或运动规律的微分方程（物理化学定律） ３.消去中间变量，得出状态变量的一阶导数与各状态变量、输入 变量的关系式，及输出变量与X,U的关系式。 4、将方程整理成状态方程和输出方程的标准形式。
a0
a0 后一部分是前向通道为 s( s a ) 的单位负反馈系统 1
1 而前向通道又可分解为比例器 a0 、积分器和一阶惯性环节 s a 三部分 1
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(1)
K1 T1 s 1 K2 T2 s 1
K3 T3 s
u
y
K4
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0 0
现取变量x1、x2分别为
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分别代入 方程,
有:（将n次方程化为一次方程组）
用阵表示：
则
称这种矩阵形式的方程为状态方程
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现关心系统的位移y 且y=x1，写为矩阵形式 y= [1 0] x （为输出方程） 合并： 称为状态空间表达式。
说明：同一系统可用各种不同的变量图表示，可给择优选取提 供条件
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步骤： １.适当地方画出积分器，数目等于变量个数； ２.在积分器输出位置标上相应变量的编号 ３.根据状态描述方程画加法器和比例器 ４.按信号传递关系有箭头连接
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§2、 状态空间表达式的建立
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