函数图像过定点得研究题1:求证:拋物线y＝（3－k)x2+(k－2）x+2k－１（ｋ≠3）过定点,并求出定点得坐标。
归纳:第一步:对含有变系数得项集中;第二步：然后将这部分项分解因式，使其成为一个只含系数与常数得因式与一个只含x与常数得因式之积得形式；第三步：令后一因式等于0，得到一个关于自变量ｘ得方程（这时系数如何变化，都“失效”了)；第四步：解此方程,得到x得值x0(定点得横坐标），将它代入原函数式(也可以就是其变式)，即得到一个y 得值y0(定点得纵坐标）,于就是，函数图象一定过定点(x０，y0）；第五步：反思回顾,查瞧关键点、易错点，完善解题步骤．题2：(２001年北京市西城区中考题)无论m为任何实数，二次函数得图像总过得点就是( ）A、 (1，3)B、（1,０）Ｃ、(－1，３)ﻩD、 (—1，0）巩固练习:1.无论m为何实数，二次函数y=x2﹣(2﹣m）x＋m得图象总就是过定点（）Ａ。
ﻩ（1,３）ﻩB．（１，0）ﻩC. (﹣1，3） D. (﹣1，0）2.对于关于ｘ得二次函数y=ax2﹣（2a﹣1）ｘ﹣１(a≠0),下列说法正确得有( ）①无论a取何值，此二次函数图象与x轴必有两个交点；②无论a取何值,图象必过两定点,且两定点之间得距离为；③当a〉0时,函数在ｘ〈1时，ｙ随x得增大而减小；④当a〈0时，函数图象截x轴所得得线段长度必大于2.A. 1个B．2个C。
３个D。
４个３、（２01２•鼓楼区一模)某数学兴趣小组研究二次函数y=mｘ２﹣2mx+3(ｍ≠０）得图象发现，随着m得变化，这个二次函数得图象形状与位置均发生变化，但这个二次函数得图象总经过两个定点，请您写出这两个定点得坐标：＿__＿_＿＿＿＿。
4。
某数学小组研究二次函救y=mx2﹣３mx+２(m≠0）得图象发现，随着m得变化，这个二次函数图象得形状与位置均发生变化，但这个二次函数得图象总经过两个定点。
请您写出这两个定点得坐标：__＿_____＿.5。
（2009•宜宾县一模)二次函数ｙ=x2+bx+c满足b﹣c＝2，则这个函数得图象一定经过某一个定点,这个定点就是 _＿_______ .６．无论ｍ为何实数，二次函数ｙ=ｘ2﹣(２﹣m）x+ｍ得图象总就是过定点＿_＿_＿___＿. ７．已知一个二次函数具有性质(１）图象不经过三、四象限；（２)点（2，1)在函数得图象上；（3)当x＞0时，函数值y随自变量x得增大而增大。
试写出一个满足以上性质得二次函数解析式： _＿__＿＿___ 。
8、证明无论m为何值，函数y＝mx-（４m—３）图像过定点,求出该定点坐标9、（南京201１年２４题７分)已知函数y＝ｍx２-6x+1(m就是常数)．⑴求证：不论m为何值，该函数得图象都经过y轴上得一个定点;⑵若该函数得图象与x轴只有一个交点，求ｍ得值．10.已知二次函数得顶点坐标为（﹣，﹣),与y轴得交点为（0，n﹣m），其顶点恰好在直线y=x+(1﹣ｍ)上（其中m、n为正数）。
（1）求证:此二次函数得图象与x轴有2个交点；(2）在x轴上就是否存在这样得定点:不论m、ｎ如何变化，二次函数得图象总通过此定点？若存在,求出所有这样得点；若不存在，请说明理由.ﻬ函数图像过定点得研究题1:求证拋物线ｙ=(3—k)x2＋(k－2）x+2k—1（ｋ≠3）过定点,并求出定点得坐标.审题视角有些函数得图象具有过定点得性质,这就是由函数式中得一些系数得取值特点所决定得,例如，直线y=kx＋b(k≠0），当b确定时,无论k取不等于0得任何值,它总过定点（０，ｂ)；物线线y=ax２＋bx＋ｃ(ａ≠0），当c确定时，无论ａ、ｂ取何值,它总过定点（o,c）．本题中可以把函数解析式整理变形，使含字母k得项组合于一组，赋值为零，可以求得自变量得值,而后代入函数解析式，再求得相对应得函数值，即得定点得坐标.解:整理抛物线得解析式，得y=（3－k)ｘ２+(k—２）x＋2ｋ—1=3x２－2x－1-ｋx2+kｘ＋2ｋ=3x2－２x－１-k(x2 -x-2）(k≠3）,上式中令x２－x-2＝０，得x１=－1，x2＝2、将它们分别代入ｙ=3ｘ２－2x－1－k(x2－ｘ－2)，解得y1＝４，y2＝7，把点(-1,4)、(2，7）分别代入y＝３ｘ２-２x－1—k（x２－x－2）,无论k取何值，等式总成立,即点(－1，4）、(2，７）总在抛物线ｙ=(3－k）x2+(ｋ－2)ｘ＋２k－1（k≠3）上,即拋物线y=（3－k)x2＋（k—2)ｘ＋2ｋ－1（k≠3)过定点（—1,4)、（2，7)。
归纳：第一步：对含有变系数得项集中；第二步：然后将这部分项分解因式，使其成为一个只含系数与常数得因式与一个只含x与常数得因式之积得形式；第三步：令后一因式等于0，得到一个关于自变量x得方程（这时系数如何变化，都“失效"了）；第四步：解此方程，得到x得值x０（定点得横坐标），将它代入原函数式(也可以就是其变式），即得到一个y得值y0（定点得纵坐标），于就是，函数图象一定过定点（x０,y０）；第五步：反思回顾，查瞧关键点、易错点，完善解题步骤。
题２：（2001年北京市西城区中考题）无论m为任何实数,二次函数得图像总过得点就是（ )A、（1，３）ﻩﻩＢ、 (１，0）C、 (－1，3）ﻩﻩD、（—1，0)解法一、特殊值法依据:二次函数得图像随着ｍ得取值不同，它得位置也随之变化，可见这就是一个抛物线群。
如果这个抛物线群恒过某定点，则该抛物线群中得某两条特殊得抛物线也必过这一定点.解：任意给m赋予两个特殊值，不妨设ｍ=0与ｍ=2.则函数解析式变为：.联立方程组解得把中,无论m为何值,等式总成立。
所以，抛物线群中所有得抛物线恒经过定点（1，3）。
故应选A。
解法二、变换主元法依据：一元一次方程得解有三种情形:(1）当a≠０时，方程有惟一解:；（2)当a=ｂ＝0时,方程得解为全体实数；（3）当ａ=0,b≠0时,方程无解.这里所求定点坐标与m得值无关，相当于关于m得一元一次方程am＝b（ａ、b为含ｘ、y得代数式）中,a＝b＝0时得情形。
解:将其二次函数整理变形为:①令所以，无论m为何值时,(1，3)恒满足①式，故该二次函数得图像恒过定点（1,3）.故应选A.巩固练习:1。
无论ｍ为何实数,二次函数y＝x2﹣（２﹣ｍ）x+m得图象总就是过定点( )A．ﻩ（1，3）ﻩＢ.ﻩ(１,0)ﻩC。
（﹣1，3）Ｄ. （﹣１,0)2．对于关于ｘ得二次函数y=ax2﹣(２ａ﹣1)ｘ﹣１（ａ≠0），下列说法正确得有（ )①无论a取何值,此二次函数图象与x轴必有两个交点; ②无论a取何值,图象必过两定点,且两定点之间得距离为;③当a>０时,函数在x＜1时,ｙ随x得增大而减小；④当a＜0时，函数图象截ｘ轴所得得线段长度必大于2.A．1个B。
2个C。
3个D。
4个3、（２0１2•鼓楼区一模)某数学兴趣小组研究二次函数y=mx2﹣2mｘ+3（ｍ≠0）得图象发现，随着m得变化，这个二次函数得图象形状与位置均发生变化,但这个二次函数得图象总经过两个定点，请您写出这两个定点得坐标：_________ ．４.某数学小组研究二次函救y=mx2﹣3mx＋２(m≠0）得图象发现，随着m得变化，这个二次函数图象得形状与位置均发生变化，但这个二次函数得图象总经过两个定点。
请您写出这两个定点得坐标: _＿_______ ．５．（2０09•宜宾县一模)二次函数y=x2+ｂx+c满足b﹣c=2，则这个函数得图象一定经过某一个定点,这个定点就是＿__＿＿____ ．6。
无论m为何实数，二次函数y=x2﹣(2﹣m）ｘ+m得图象总就是过定点_＿___＿___ ．７。
已知一个二次函数具有性质(1）图象不经过三、四象限；（2）点（２，1）在函数得图象上;(３）当x>0时，函数值ｙ随自变量ｘ得增大而增大。
试写出一个满足以上性质得二次函数解析式： _______＿_ ．8、证明无论m为何值，函数y=mx—(4m—3）图像过定点,求出该定点坐标9、已知函数ｙ=mx2－6x+１（m就是常数)．⑴求证:不论ｍ为何值，该函数得图象都经过y轴上得一个定点；⑵若该函数得图象与x轴只有一个交点，求m得值．解:⑴当x=0时，.所以不论为何值，函数得图象经过轴上得一个定点(0,１)。
⑵①当时,函数得图象与轴只有一个交点；②当时，若函数得图象与轴只有一个交点,则方程有两个相等得实数根，所以,.综上，若函数得图象与轴只有一个交点,则得值为０或9。
1１.已知二次函数得10、顶点坐标为(﹣,﹣),与y轴得交点为（0,ｎ﹣ｍ),其顶点恰好在直线ｙ＝x+(1﹣ｍ）上（其中m、n为正数）．（1)求证：此二次函数得图象与x轴有2个交点;(2）在x轴上就是否存在这样得定点:不论ｍ、n如何变化,二次函数得图象总通过此定点？若存在,求出所有这样得点;若不存在,请说明理由。
分析:(1)把二次函数顶点坐标代入代入y=x＋(１﹣m）得﹣+（1﹣m)=﹣，整理后利用因式分解得到（ｍ﹣n）(m+1)＝0，则m=ｎ或m=﹣1（舍去)，于就是二次函数得顶点坐标为(﹣,﹣），与y轴得交点为（0,0），由m为正数可判断二次函数得顶点在第四象限，而抛物线过原点，所以抛物线开口向上,由此得到此二次函数得图象与ｘ轴有2个交点；（2）由(1）得到抛物线得对称轴为直线x=﹣,抛物线与x轴得一个交点坐标为（0，０）,利用对称性得到抛物线与ｘ轴得另一个交点坐标为（﹣1，0)（1)证明:把(﹣，﹣)代入y=x＋(１﹣m）得﹣＋(1﹣m）=﹣,整理得m2﹣mn+m﹣ｎ＝0,∵(m﹣n）（m+1）=０,∴ｍ＝ｎ或ｍ＝﹣1（舍去）,∴二次函数得顶点坐标为(﹣,﹣)，与y轴得交点为(０，0),∵m为正数，∴二次函数得顶点在第四象限，而抛物线过原点，∴抛物线开口向上,∴此二次函数得图象与x轴有2个交点;（2）解：存在.∵抛物线得对称轴为直线ｘ=﹣，抛物线与x轴得一个交点坐标为(０,0），∴抛物线与x轴得另一个交点坐标为(﹣1，０),即不论m、n如何变化，二次函数得图象总通过点（﹣１，0）与（0，０）．反思：本题考查了抛物线与x轴得交点:求二次函数y=ax２＋ｂｘ+c（ａ,b，c就是常数,a≠0）与ｘ轴得交点坐标，令y=0,即ａx2+bｘ+ｃ＝0，解关于x得一元二次方程即可求得交点横坐标；二次函数ｙ＝aｘ2+bx ＋ｃ(a，b,c就是常数，a≠0)得交点与一元二次方程ａx2+ｂx+ｃ=０根之间得关系，△=ｂ2﹣4ａc决定抛物线与x轴得交点个数:△=b２﹣4ａc＞0时，抛物线与x轴有２个交点;△=ｂ2﹣４aｃ=0时，抛物线与x轴有１个交点;△=b2﹣4ac〈０时,抛物线与x轴没有交点.。