2.3.1 坐标变换的基本思路

两极直流电动 机的物理模型， F 为励磁绕组， A 为电枢绕组， C 为补偿绕组。 F和C都在定 子上， A 在转 子上。
图2-2 二极直流电动机的物理模型 F—励磁绕组 A—电枢绕组 C—补偿绕组
2.3.1 坐标变换的基本思路
把F的轴线称作直轴或d轴，主磁通的方向就 是沿着d轴的；A和C的轴线则称为交轴或q 轴。 虽然电枢本身是旋转的，但由于换向器和电 刷的作用，闭合的电枢绕组分成两条支路。 电刷两侧每条支路中导线的电流方向总是相 同的。
u Ri
dψ
dt
0 i A A i 0 B B 0 iC d C 0 ia dt a b 0 ib Rr ic c

定子三相间或转子三相间互感

三相绕组轴线彼此在空间的相位差 互感
2 3
2 2 1 Lms cos Lms cos( ) Lms 3 3 2
定子三相间或转子三相间互感
1 LAB LBC LCA LBA LCB LAC Lms 2 1 Lab Lbc Lca Lba Lcb Lac Lms 2
自感

或写成
ψ Li
定子各相自感
LAA LBB LCC Lms Lls

转子各相自感
Laa Lbb Lcc Lms Llr
互感
绕组之间的互感又分为两类 ①定子三相彼此之间和转子三相彼此之间 位置都是固定的，故互感为常值； ②定子任一相与转子任一相之间的相对位 置是变化的，互感是角位移的函数。
T
i s i A iB
iC
T
T
T
ir ia ib ic
电感矩阵

定子电感矩阵
L ss
Lms Lls 1 Lms 2 1L ms 2
1 Lms 2 Lms Lls 1 Lms 2
1 Lms 2 1 Lms 2 Lms

2.3.1 坐标变换的基本思路
三相变量中只有两相为独立变量，完全可以 也应该消去一相。 所以，三相绕组可以用相互独立的两相正交 对称绕组等效代替，等效的原则是产生的磁 动势相等。

2.3.1 坐标变换的基本思路
所谓独立是指两相绕组间无约束条件 所谓对称是指两相绕组的匝数和阻值相等 所谓正交是指两相绕组在空间互差90o

转子电感矩阵
电感矩阵

定、转子互感矩阵
2 2 cos cos( ) cos( ) 3 3 2 2 L rs LTsr Lms cos( ) cos cos( ) 3 3 2 2 cos( ) cos( ) cos 3 3

磁链方程

异步电动机每个绕组的磁链是它本身的自 感磁链和其它绕组对它的互感磁链之和
A LAA L B BA C LCA a LaA b LbA c LcA LAB LBB LCB LaB LbB LcB LAC LBC LCC LaC LbC LcC LAa LBa LCa Laa Lba Lca LAb LBb LCb Lab Lbb Lcb LAc iA i LBc B LCc iC Lac ia Lbc ib Lcc ic

当定、转子两相绕组轴线重合时，两者之 间的互感值最大 L
ms
磁链方程

磁链方程，用分块矩阵表示
ψ s L ss ψ L r rs
式中
ψs A B C
ψr a b c
L sr i s L rr i r
ia ib ic 0 ua ub uc 0
异步电动机三相原始模型的 非独立性
三相变量中只有两相是独立的，因此
三相原始数学模型并不是物理对象最 简洁的描述。 完全可以而且也有必要用两相模型代 替。
2.3 坐标变换
异步电动机三相原始动态模型相当复杂， 简化的基本方法就是坐标变换。 异步电动机数学模型之所以复杂，关键 是因为有一个复杂的电感矩阵和转矩方 程，它们体现了异步电动机的电磁耦合 和能量转换的复杂关系。 要简化数学模型，须从电磁耦合关系入 手。
J d Te TL n p dt


d dt
2.2.2 异步电动机三相原始模 型的性质
非线性强耦合性 非线性耦合体现在电压方程、磁链方程与 转矩方程。既存在定子和转子间的耦合， 也存在三相绕组间的交叉耦合。 非线性变参数 旋转电动势和电磁转矩中都包含变量之间 的乘积，这是非线性的基本因素。定转子 间的相对运动，导致其夹角不断变化， 使得互感矩阵为非线性变参数矩阵。
2.1异步电动机动态数学模型 的性质
异步电动机的动态数学模型是一个高阶、 非线性、强耦合的多变量系统。 （1）异步电动机变压变频调速时需要进行 电压（或电流）和频率的协调控制，有电 压（或电流）和频率两种独立的输入变量。 在输出变量中，除转速外，磁通也是一个 输出变量。

2.1异步电动机动态数学模型 的性质
（2）异步电动机无法单独对磁通进行控制， 电流乘磁通产生转矩，转速乘磁通产生感 应电动势，在数学模型中含有两个变量的 乘积项。 （3）三相异步电动机三相绕组存在交叉耦 合，每个绕组都有各自的电磁惯性，再考 虑运动系统的机电惯性，转速与转角的积 分关系等，动态模型是一个高阶系统。
2.2 异步电动机的三相数学模 型

2.1异步电动机动态数学模型 的性质
他励式直流电动机的励磁绕组和电枢绕组 相互独立，励磁电流和电枢电流单独可控， 励磁和电枢绕组各自产生的磁动势在空间 无交叉耦合。 气隙磁通由励磁绕组单独产生，而电磁转 矩正比于磁通与电枢电流的乘积。 保持励磁电流恒定，只通过电枢电流来控 制电磁转矩。

作如下的假设： （1）忽略空间谐波，三相绕组对称，产生 的磁动势沿气隙按正弦规律分布。 （2）忽略磁路饱和，各绕组的自感和互感 都是恒定的。 （3）忽略铁心损耗。 （4）不考虑频率变化和温度变化对绕组电 阻的影响。

2.2 异步电动机的三相数学模 型
无论异步电动机转子是绕线型还是笼型的， 都可以等效成三相绕线转子，并折算到定 子侧，折算后的定子和转子绕组匝数相等。 异步电动机三相绕组可以是Y连接，也可 以是Δ连接。若三相绕组为Δ连接，可先用 Δ—Y变换，等效为Y连接。然后，按Y连 接进行分析和设计。
Lls
Lms Llr 1 L rr Lms 2 1 Lms 2
1 Lms 2 Lms Llr 1 Lms 2
Lms Llr 1 Lms 2 1 Lms 2
电压方程

把磁链方程代入电压方程，展开
d di dL u Ri ( Li) Ri L i dt dt dt di d L Ri L i dt d
电压方程

电流变化引起的脉变电动势，或称变压器 电动势
di L dt

定、转子相对位置变化产生的与转速成正 比的旋转电动势
电压方程

将电压方程写成矩阵形式
u A R s u 0 B u C 0 u a 0 ub 0 0 uc 0 Rs 0 0 0 0 0 0 Rs 0 0 0 0 0 0 Rr 0 0 0 0 0 0 Rr 0

2.2 异步电动机的三相数学模 型
定子三相绕
组轴线A、B、 C在空间是固 定的。 转子绕组轴 线a、b、c随 转子旋转。
图2-1 三相异步电动机的物理模型
2.2.1 异步电动机三相动态模 型的数学表达式

异步电动机的动态模型由磁链方程、电压 方程、转矩方程和运动方程组成。
磁链方程和转矩方程为代数方程 电压方程和运动方程为微分方程
dL i d
转矩方程和运动方程

转矩方程 Te n p Lms (i Aia i B ib iC ic ) sin (i Aib i B ic iC ia ) sin( 120) (i Aic i B ia iC ib ) sin( 120) 运动方程 转角方程

变参数、非线性、时变
电压方程

三相绕组电压平衡方程
d A u A iA Rs dt d B uB iB Rs dt d C uC iC Rs dt
d a ua ia Rr dt d b ub ib Rr dt d c uc ic Rr dt

2.3.1 坐标变换的基本思路
图2-3 三相坐标系和两相坐标系物理模型
定、转子绕组间的互感

由于相互间位置的变化可分别表示为
LAa LaA LBb LbB LCc LcC Lms cos 2 LAb LbA LBc LcB LCa LaC Lms cos( ) 3 2 LAc LcA LBa LaB LCb LbC Lms cos( ) 3
第3篇 交流传动控制原理
第2章 异步电机数学模型
异步电机动态性质 异步电机动态数学模型 坐标变换基础 异步电动机在两相坐标系上的模型 异步电动机在两相坐标系上的状态方程

2.1异步电动机动态数学模型 的性质
电磁耦合是机电能量转换的必要条件， 电流与磁通的乘积产生转矩，转速与磁 通的乘积得到感应电动势。 无论是直流电动机，还是交流电动机均 如此。 交、直流电动机结构和工作原理的不同， 其表达式差异很大。