2006-2007学年第2学期
2005级《离散数学2》期末考试试题(A卷)
考试时间：2007年6月班级_______________________ 学号_____________________ 姓名_____________________
请将答案写在答题纸上，写明题号，不必抄题，字迹工整、清晰；
请在答题纸和试题纸上都写上你的班级，学号和姓名，交卷时请将试题纸、答题纸和草纸一并交上来。

一.综合体(30分，每题3分)
1. 求( 1 3 5 ) (2 5 4 ) (3 4 )
2. 只有两个生成元的循环群一定是有限循环群吗？并说明理由。

3. 有限循环群中是否一定存在周期与群的元数相等的元素？
4. 下面哪个是域GF( 16)的真子域
(A)GF (6) ;(B)GF ⑷;(C)GF(8);(D)GF(16)
5. 有限布尔代数的元素个数必定是如下哪个形式？
(A)2n;(B)n 2 ;(C)2 n;(D)4n.
6. 下列代数系统(S, *)中，哪个是群？
(A) S={0,1,3,5},* 是模7的乘法；(B) S是有理数集合，*运算是普通乘法；
(C) S是整数集合，*是普通乘法；(D) S={1,3,4,9},* 是模11的乘法。

7. 设A={0,1,2,3,4},运算为模5加法，请给出A的所有子群。

8. n元恒等置换是奇置换还是偶置换？对换呢？
9•请给出一个有余，但不是分配格的例子。

10.设R是模12的整数环，R={0,1,2,…,11},下面哪一个是极大理想：
(A) 6R; (B)2R; (C)4R; (D)8R
二.计算题(25分，每题5分)
1. 计算分圆多项式①24(X).
2. 设(Z,+)为整数加法群，(C*,??)为非零复数的乘法群，令
f: n -i n ,是Z到C*中的同态映射，请求出f的同态核。

3. 在R上求出x+2除2X5+4X3+3X2+1所得的商式和余式。

4. 设G是3次对称群，H是由I和(13)作成的子群，求H得所有右陪集。

5. 设A={0,1,2,3,4,5}, 运算为模6加法，请给出A中所有元素的周期。

三.(10分)证明或者反驳：f(x)=3x 5+5X2+1
四.(10分)设(G, *)是群，(A, *)和(B，*)是它的两个子群，C={a*b|a € A, b€ B}.证明：若*满足交换律，则(C, *)也是(G，*)的子群。

五.(10分)设Z是整数集合，X={(a,b)|a,b € Z},定义X上的二元运算①和。

如下：对任意(ab) ,(a 2,b2)€ X,有：
(a1b"e (a2,b2)= (a+a?,b1+b2), (a1bJ O (a2,b2)= (ax a2,b 1X b)，其中，+，x分别是整数加法与乘法。

证明：(X，®，O)是环，如果此环有零因子请给出它们
六.（10分）设（L,X, +）是一个格，其等价的半序格（L,三），S是L的非空子集，如果（1）任意a, b € S,有a+b€ S;（2）任意a € S,任意x € L,若x三a,则x € S;则称（S,X, +）是（L,x，+ ）的理想。

求格（{1,2,3,6},D ）的所有子格和所有理想，其中D为整除关系。

七.（5分）设（G, *）是n元有限群，e为单位元，a i,a 2,…,a n是G的任意n个元素，不一定两两不同。

试证：存在正整数p和q, 1 = p = q= n,使得a p*a p+1*…*a q=e.。