=
A
1
=1
于是得到求积公式
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∫
1 −1
f
( x )dx
≈ f −
1 + f 3
1 3
3
它有3次代数精度， 它有 次代数精度，而以两个端点为节点的梯形公式只有 次代数精度 1次代数精度。 次代数精度。 次代数精度 一般地， 一般地，考虑带权求积公式
I =
∫
1
0
x 2 e x dx
解 由于区间为[0,1],所以先作变量替换 由于区间为 所以先作变量替换x=(1+t)/2,得 得 所以先作变量替换 2 1 1 1 2 x I = ∫ x e dx = ∫ (t +1 e(1+t ) / 2dt ) 0 8 −1 2 对于n=1,由两点 由两点Gauss-Legendre公式有 令 由两点 公式有 f (t ) = (1 + t ) e (1+t )/ 2 对于
∫
b a
ρ
( x )l k ( x )dx
, k = 0 ,1 , L n
是关于Gauss点的 点的Lagrange插值基函数。 插值基函数。 其中 l k ( x ) 是关于 点的 插值基函数
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定理2 定理 高斯型求积公式总是稳定的。 证明 只需证明高斯系数全为正即可。由 于插值公式对次数不超过2n+1的多项式精 f ( x ) = lk2 ( x), 其中lk ( x ) 是n次拉格 确成立，若取 朗日插值基函数，有
1 P3 ( x ) = ( 5 x 2 − 3 x ), 当n=2时，三次 时 三次Legendre多项式 多项式 2
零点为 x 0
= −
15 , x1 = 0 , 5
x
2
=
15 5
，以此为Gauss点，可构造出具有 以此为 点
五次代数精度的3点 五次代数精度的 点Gauss-Legendre求积公式 求积公式
n +1
k=0
但 ω n +1 (x k ) = 0, (k = 0,1, 2 L n ) 故结论成立。
再证充分性。设f(x)是任意个次数不超过 是任意个次数不超过2n+1的多项式，用ω n + 1 ( x ) 的多项式， 再证充分性。 是任意个次数不超过 的多项式 ），记商为 ），余式为 除f（x），记商为 （x），余式为 （ ），记商为P（ ），余式为Q(x)，即 f ，
对于一般区间[a， 上的求积 如果用Gauss-Legendre求积公式，那么 上的求积， 求积公式， 对于一般区间 ，b]上的求积，如果用 求积公式 必须作变量替换
x
1 1 x = (a +b) + (b −a)t 2 2
使 x ∈
[a , b ] 时，t ∈ [− 1,1]
，并有
∫
b
a
f ( x)dx =
∫
1
− 1
f ( x)dx ≈
5 9
15 8 5 + f (0) + f − 5 9 9
15 f 5 .
15
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Ak Guass-Legendre求积公式中的 求积公式中的Gauss点和求积系数见书上表 。 点和求积系数见书上表4-4。 求积公式中的 点和求积系数见书上表 k
f (2 n + 2) (ζ ) b 2 ρ ( x )ωn +1 ( x ) dx , ζ ∈ (a, b) R[ f ] = (2n + 2)! ∫a
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由前面的讨论知，正交多项式的零点就是高斯点， 由前面的讨论知，正交多项式的零点就是高斯点，因此取不同的正交多项式就得到不同 的高斯型求积公式。 的高斯型求积公式。
1 1 1 I ≈ f (− )+ f = 0.71194774 8 3 3
对于n=2,由三点 对于 由三点Gauss-Legendre公式有 公式有 由三点
1 5 15 8 5 15 − + f (0) + f I ≈ f 9 5 = 0.718251799 8 9 5 9
1 b − a 1 1 f (a +b) + (a −b)tdt − 2 ∫ 1 2 2
对于上式右边的积分可以应用Guss-Legendre求积公式。 求积公式。 对于上式右边的积分可以应用 求积公式
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例
求积公式(n=1,2)计算积分 用Gauss-Legendre求积公式 求积公式 计算积分
系数
( x − xi ) dx , Ak = ∫ ∏ −1 i = 0 ( xk − xi )
1 n i≠k
2 或可证得 Ak = (1 − xk2 )[ Pn′+1 ( xk )]2
, k = 0,1,L , n
高斯-勒让德求积公式的余项为
22 n +3 [(n + 1)!]4 R[ f ] = f (2 n + 2) (ζ ) , ζ ∈ (−1,1) (2n + 3)[(2n + 2)!]3
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由插值余项
R[ f ] = ∫
b a
f ( n +1) (ξ ) ρ ( x) ωn +1 ( x)dx (n + 1)!
知插值型求积公式的代数精度不可能低于n，另一方 面，若取 n
2 f ( x ) = ωn +1 ( x ) = ∏ ( x − xi ) i =0 2
则有截断误差
其中
个待定参数， 为2n+2个待定参数，适当选择这些参 个待定参数
次代数精度。 数，有可能使求积公式具有2n+1次代数精度。 有可能使求积公式具有 次代数精度
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4
如果上述求积公式具有2n+1次代数精度，则 次代数精度， 定义 如果上述求积公式具有 次代数精度 称该公式高斯型求积公式，称 称该公式高斯型求积公式， 其 高斯型求积公式 节点为高斯点 高斯点， 称为高斯系数 高斯系数。 节点为高斯点，系数 Ak 称为高斯系数。
k
(k
=
0 ,1 , L
n)华长生制作 Nhomakorabea9
由于n+1次正交多项式与比它次数低的任意多项式正交，并且n+1次 次正交多项式与比它次数低的任意多项式正交，并且 由于 次正交多项式与比它次数低的任意多项式正交 次 正交多项式恰好有n+1各互异的实的单根，我们有下面的推论。 各互异的实的单根，我们有下面的推论。 正交多项式恰好有 各互异的实的单根
以n+1次Legendre多项式的零点 xk ( k = 0,1,L , n ) 为Gauss点的求积公式为 次 多项式的零点 点的求积公式为
∫
1
− 1
f ( x)dx ≈ ∑A f ( xk ) k
k=0
n
称之为Gauss-Legendre求积公式。其中 求积公式。 称之为 求积公式
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推论
n+1次正交多项式的零点是 次正交多项式的零点是n+1点Gauss公式的 公式的Gauss点 次正交多项式的零点是 点 公式的 点
0
。
利用正交多项式得出Guass点 x 点 利用正交多项式得出
, x
1
, L
x
n
后，利用插值原理可得Gauss公式的求积系数为 利用插值原理可得 公式的求积系数为
Ak =
( x ) = P (x
)ω
n+1
(x ) +
Q(x)
其中P(x)和Q(x)都是次数不超过 的多项式，于是有 和 都是次数不超过n的多项式 其中 都是次数不超过 的多项式，
∫
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b
a
( ρ( x) f ( x)dx = ∫ ρ( x)Q x)dx a
b
由于是插值型求积，它对于 由于是插值型求积，它对于Q(x)能准确立即 能准确立即
此定积分的精确值为 I=e-2=0.718281828,得n=1时的误差为 得 时的误差为 0.0063340054, n=2时的误差为 时的误差为0.000030049。 时的误差为 。
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2
确定下列求积公式中的待定参数， 例 确定下列求积公式中的待定参数，使其代数精度尽 1 量高。 量高。
−1
∫ f ( x)dx ≈ A
+
0
f ( x0 ) + A1 f ( x1 )
按代数精度的概念， 解 按代数精度的概念，分别令 f ( x ) = 1 , x , x 2 , x 3 时 上式左边与右边分别相等， 上式左边与右边分别相等，有
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多项式x的零点为 当n=0时，一次 时 一次Legendre多项式 的零点为 ， Ak 为2； 多项式 的零点为0， ； 当n=1时，二次 时 二次Legendre多项式 多项式
=− 1 1 , x1 = 3 3
P 2 (x ) =
1 (3 x 2
2
− 1 ),
零点为 x 0
, Ak 为1（k=0,1) ; （
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7
先证必要性.设 是任意次数不超过n的多项式 证. 先证必要性 设P(x)是任意次数不超过 的多项式 则 P( x) 是任意次数不超过 的多项式,则
ω (x )
n +1
的次数不超过 2n+1。因此 如果 x 0 , x1 , L x n 是Gauss点，则求积公 。因此,如果 点 式对于 P ( x )ω 是准确成立的， ( x ) 是准确成立的，即有 n b k ∫ ρ( x)P(x)ωn+1(x)dx = ∑A P( xk )ωn+1( xk ) a