定义2
最高幂项的系数为 an 0 的 n 次多项式
j ( x), j 0,1,
，若满足（两两正交） ： b 0, j k ( j , k ) ( x) j ( x) k ( x)d ( x) a Ak 0, j k 称为在[a,b]上带权 ( x ) 正交序列，
n
来说，不管在积分区间上的 n 1 个插值结点 xk 如 何选取，其代数精度至少为 n ；而只要选取合适的 xk 与 Ak，此插值求积公式的代数精度达到最大。
对于给定的求Biblioteka 节点,代数精度最高的求积公式 是插值型求积公式. 事实上,插值型求积公式的 代数精度完全由求积节点的分布所决定. 节点数目 固定后, 节点分布不同,所达到的代数精度也不同.
则 j ( x )
j ( x) 称为[a,b]上带权 ( x ) 的 n 次正交多项式。
高斯点与正交多项式的零点
定理4-1： 插值求积公式 f ( x)dx Ak f ( xk ) 其节点 xk 为
b a k =0 n
高斯点的充要条件是以这些点为零点的多项式
n 1 ( x) ( x xk ) 与任何次数不超过 n 的多项式
高斯-切比雪夫求积公式
1. 切比雪夫(Chebyshev)多项式： 定义在区间 [1,1] 上 n 阶切比雪夫多项式 Tn ( x ) cos( n ) cos( n arccos x ) 是关于权函数 ( x )
1 1 x 2
正交的函数系，
其 n 1 阶切比雪夫多项式 Tn 1 ( x ) 与任何次数不超过 n 的多项式 P( x ) 在区间上关于权函数 ( x ) 均正交， 即
a

b
(2) x n ( x )dx
a

b
存在 n 1,2,
则称(x)是[a,b]上的一个权函数。
正交多项式
在高等数学中介绍付立叶级数时，曾提到函数系 1, cosx, sinx, cos2x, sin2x,…, cosnx, sinnx,… 中，由于任意两个函数乘积在区间[-，+]上的积分 都等于零，则说这个函数系在[-，+]上是正交的， 并称这个函数系为正交函数系。 定义1(a)：设函数f(x),g(x)[a,b],且
问题: 寻找最高代数精度的求积公式
对于任意的求积节点a x0 x 1
b n a k 0
xn b, 及求积系数,
求积公式 f ( x)dx Ak f ( xk )的代数精度必小于2n 2!
这是因为 对于2n+2次代数多项式 f ( x ) [( x x0 )( x x1 ) 有 I= f ( x )dx 0,
b k =0 n
具有 2n 1 次代数精度， 则称该带权插值求积公式为带权高斯求积公式， 其中结点 xk 称为带权高斯点； 求积系数 Ak 称为带权高斯求积系数。
权函数
定义:设[a,b]是有限或无限区间, (x)是定义在[a,b]上 的非零可积函数，若其满足
(1) ( x )dx 0
b k =0
n
所有次数不超过m 的多项式均能准确成立， 但对于 m 1 次多项式不一定准确成立， 则称该数值求积公式具有 m 次代数精度。
高斯求积公式
定义4-2：
若插值求积公式 f ( x)dx Ak f ( xk )
b a k =0
n
具有 2n 1 次代数精度，则称该插值求积公式 为高斯求积公式，其中结点 xk 称为高斯点； 求积系数 Ak 称为高斯求积系数。
n 1
xk 0
Ak 2
n
xk ±0.9324695142 ±0.6612093865 ±0.2386191861
Ak 0.1713244924 0.3607615730 0.4679139346
2
±0.5773502692
±0.7745966692 0 ±0.8611363116 ±0.3399810436
( f , g)

b
a
f ( x ) g ( x )dx 0
则称f(x)与g(x)在[a,b]上正交.
正交多项式
定义1(b)：设函数f(x),g(x)[a,b],且
( f , g)
( x ) f ( x) g ( x)dx 0
a
b
称为权函数
则称f(x)与g(x)在[a,b]上带权(x)正交.
高斯积分公式的数值稳定型
设lk ( x ), k 0,1, , n为Lagrange基函数.
lk2 ( x ) 0为2n次代数多项式, 其Gauss数值积分 等于精确积分,即有
2 0< ( x )lk2 ( x )dx Al i k ( xi ) Ak , b a i 0 n
k 0
n
P( x) 在积分区间上均正交， 即 n 1 ( x) P ( x)dx = 0
a
b
Gauss求积公式的特点： 1. 代数精度达到最高2n+1(针对n+1个节点而言) 2. 高斯点xk 是[a,b]上的n+1次正交多项式Pn 1 ( x )的根)
定理4-2： 带权插值求积公式 a ( x ) f ( x )dx Ak f ( xk ) 其结点 xk
所有, 高斯积分公式具有数值稳定性.
Gauss型求积公式的构造方法
(1)求出区间[a,b]上权函数为W(x)的正交多项式pn(x) .
3. Gauss Legendre求积公式 以Legendre多项式 Pn 1 ( x ) 的 n 1 个零点作为区间 [ 1,1] 上的高斯点 xk， 则其插值求积公式

1
1
f ( x )dx Ak f ( xk )
k =0
n
称为高斯-勒让德求积公式，具有 2n 1 次代数精度。 其中Gauss点 xk , 及求积系数Ak 可查表求得.

1
1
Pn 1 ( x ) P ( x )dx = 0
2. Legendre多项式的性质:
(1) 正交性 : {Pn } n 0 是[ 1,1]上的正交多项式序列, 即 0, m n ( Pn , Pm ) Pn ( x ) Pm ( x )dx 2 1 , mn 2n 1
a n n k 0 b 2 ( x xn )]2 n 1 ( x )
而数值积分
2 I n Ak f ( xk ) Ak n 1 ( xk ) 0 k 0
故最高可能代数精度为2n+1.
高斯求积公式
定义4-1：如果求积公式 a f ( x)dx Ak f ( xk ) 对于
第四章 微积分的数值计算方法
4.3 高斯型求积公式
4.3 高斯型求积公式
代数精度的概念：一个求积公式的准确程度
问题: 是否有比等距节点的Newton-Cotes型求积公式 更高代数精度的求积公式? 最高能达到多大?
注：对于一般的插值求积公式

b
a
f ( x )dx Ak f ( xk )
k =0
5
±0.9061798459 ±0.5384693101 0
0.2369268851 0.4786286705 0.5688888889
8
±0.9602898565 ±0.7966664774 ±0.5255324099 ±0.1834346425
0.1012285363 0.2223810345 0.3137066459 0.3626837834
1
(2) 递推公式 P P0 ( x ) 1, 1( x) x ( n 1) Pn 1 ( x ) (2n 1) xPn ( x ) nPn 1 ( x ) n 1, 2,
(3)
n P ( x ) ( 1) P n n ( x)
(4) 所有根都是单根, 并在(1,1)上关于原点对称分布.
T1 ( x ) x, T0 ( x ) 1, Tn 1 ( x ) Tn 1 ( x ) 2 xTn ( x )
(3) 所有根都是单根, 在( 1,1)上与原点对称分布,且Tn ( x )的n个根为 x k cos (2k 1) ,(k 1, 2, 2n , n)
b k =0 n
为带权高斯点的充要条件是以这些点为零点的多项式
n 1 ( x) ( x xk ) 与任何次数不超过 n 的多项式
k 0
n
Pn ( x) 在积分区间上关于权函数 ( x) 均正交， 即

b
a
( x)n 1 ( x) Pn ( x)dx = 0。
(即高斯点xk 是[a,b]上关于权函数 ( x )的n+1次 正交多项式Pn 1 ( x )的根)
2 2
称为带权高斯-切比雪夫求积公式，具有 2n 1 次代数精度。
一般积分区间[a,b]的处理
ba ba 先令x t , 使得: 2 2
[a , b]
[1,1]
再利用标准区间 [a, b] 上的求积公式:
n ba 1 ba ba Ak f ( xk ) a f ( x)dx 2 1 f ( 2 t 2 )dt k =0 b a ( n 1) Ak Ak 2 x b a t ( n 1) b a k k 2 2 tk( n 1) , Ak( n 1) 为[-1,1]上高斯求积公式的高斯点及求积系数. b
1 1 x 2
3. Gauss - Chebyshev求积公式 以 Tn 1 ( x ) 的 n 1 个零点作为区间 [ 1,1] 上的带权高斯点， 其带权插值求积公式