×内
2、 4、 6、 8 点 ：
外 6
dB
0 Id l
4π R
0 sin 45 2
4
二 运动电荷的磁场
S Id l
r
v
P
0 I d l r0 dB 4 r2
dB
n,q dl
dl dl v v
单位时间通过横截面S的电荷量即等于电流。
I
电流元的磁场：
4π
x

l
r2
0 IR 2 π R Bx dl 3 0 4πr
0 IR 2R 4（x R ）2
2 2 3
dB
dB x
0 I cosdl
4π r
2

0 IR 2 2 （x R ）2
2 2 3
13
I
o
R
x
*
B
x
B
0 IR 2
2 （x R ）2
10-3 毕奥—萨伐尔定律
1
一 毕奥─萨伐尔定律 (实验规律 1820)
在真空中，载流导线上任一电流元Idl，在真空中给定点 P所产生的磁感应强度dB的大小与电流元的大小Idl成正比， 与电流元到P点的矢量r之间的夹角的正弦 (sinα)成正比；与 电流元到P点的距离的平方(r2)成反比；dB的方向垂直于dl和 r所组成的平面，其指向由右手螺旋定则确定。 毕奥─萨伐尔定律
电流元中的运动电荷总数均为dN=nSdl
则每个运动电荷产生的电流元在P点产生的磁感应强度为：
dB 0 qv r0 运动电荷的磁场： B dN 4 r 2
适用条件： v <<C
6
运动电荷的磁场
0 qv r0 B 4π r2
大小：
v , r0 ) 0 q v si n ( B 4 r2
S
j ds qnvS
0 (qnvS) d l r0 dB 4 r2
5
电荷的定向移动速度v与dl的方向相同， 则：
0 (qnvS)dl r 0 dB 4 r2
dl dl v v
0 (qnSdl)v r0 dB 4 r2
I
0 0
I d l r dB 4 r 2
dB
Id l

真空磁导率 0 4 10 7T m / A
常用单位： 亨利/米 (H/m) 量纲：I-2LMT-2
r
P
2
毕奥─萨伐尔定律
电流元 的磁场 整段电流
0 I d l r0 dB 4 r2
14
例：一个电子作圆周运动，求在圆心处产生的磁场。
ve 0 0 ve 0 I 2 R B0 4R 2 2R 2R
▲ 部分弧段在x=0处磁场，弧长为l，
8
例1 载流长直导线的磁场。 解：
z
D
dB 方向均沿
0 Idz sin
4π r2
x 轴的负方向

dz
z I
x o
C
r
a
1
2
dB
dB
sin cos r a sec
P y
z atg
dz a sec d
2
9
0 Ia se c d cos 0 I dB cos d 2 2 4 a se c 4a
3
B Bx i By j Bz k
0 Idl r0 毕奥—萨伐尔定律 dB 2 4π r
例1 判断下列各点磁感强度的方向和大小.
1
1、5 点 ：dB 0
2
×内
外
外 7
8
dB 3、 7点 ：
0 Id l
4 π R2
Idl
R
4 5
3×内
2
0 I 0 I B dB cos d (sin 2 sin 1 ) 4a 4a
2 1
方向：沿 x 轴的负方向。 无限长载流长直导线的磁场。
z
D
1
π 2 2

2
I
B
0 I
2πa
o
x
C
1 P y
10
2
B
╳
无限长载流长直导线的磁场
I
dB
0 I d l r B dB L L 4 r2
Id l

r
P
磁感强度叠加原理 – 符合矢量叠加原理
分量式： dB dBx i dBy j dBz k
Bx L dBx
整段电流
By L dBy
Bz L dBz
Idl
P
dB
Bx
r
o
R
r
dB
P


Bx
x
I
μ0 Idl dB 4π r2
解 根据对称性分析
B B x dB cos
12
Idl
cos sin R
r
R
o
r
x
0 Id l4π r2 Nhomakorabea

P
r 2 R2 x 2 dB

Bx
0 I cosdl
2 2 3
讨论：
(1) 若线圈有N匝
B
N0 IR
2
2 3
2 （x R ）2
2
(2) x<0, B的方向不变 ( I和B成右螺旋关系） (3) x=0
B
0 I
2R
0 I l (4) 部分弧段在x=0处磁场，弧长为l， B 2 R 2R 2 0 IS IR 0 (5) x>>R B 3 2x 2 π x3
r 方向：垂直于 v 和 0所确定的平面，右手螺旋关系
q+ v r0 ×B
q
r0

v
B
在同样的条件下，正、负运动电荷形成的磁场方向相反。
7
三 毕奥─萨伐尔定律的应用 --几种常见电流的磁场
(1)
(2)
(3) (4)
取电流元 Idl ，计算由 Idl 产生的 dB 的大小： 0 Idl sin dB 4 r2 dB x 判断 dB 的方向， 把 dB 进行分解：dB dB y B x dB x 对各分量分别积分： B dB y y 求积分。
I
×
B
0 I
2πa
I
B
B
电流与磁感应强度成右手螺旋关系 半无限长载流长直导线的磁场
1 0
π 2 2
0 I B (sin 2 sin 1 ) 4a
BP
0 I
4πa
I
o
a
* P11
例2 圆形载流导线的磁场。 真空中半径为R的载流导线，通有电流I，称为圆电流 求: 其轴线上一点P的磁感强度的方向和大小。