题目：傅里叶分析及其应用
答辩人：黄昶昊 班级：08110801 学号：0811080116 指导教师：刘芳
目次
第一章 绪论 第二章 傅里叶分析的产生与发展 第三章 傅里叶变换 第四章 在偏微分方程中的应用
结论
第一章 绪论
傅里叶分析是分析学中的一个重要分支，在数学 发展史上，虽然早在18世纪初期，就有关三角级数的 论述已在D.Bernoulli，D’Alembert，L.Euler等人 的工作中出现，但真正重要的一步是法国数学家 Fourier迈出的，他在著作《热的解析理论》中，系 统地运用了三角级数和三角积分来处理热传导问题。
f (t) F()
则
f (at) 1 F ( ) aa
第三章 傅里叶变换
傅里叶变换的主要类型
简称
全称
英文全称
信号连续 性
DTFT
离散时间傅里叶变 换
Discrete-time Fourier Transform
离散
信号周期 非周期
FT
傅里叶变换
Fourier Transform 连续
非周期
FS
k 1,2,
实型Fourier级数
实型Fourier级数的 系数由公式决定
f (x)= ckeikx k
1
ck ck ( f ) 2
ห้องสมุดไป่ตู้
f (x)eikxdx
复型Fourier级数
复型Fourier级数的 系数由公式决定
第二章 傅里叶分析的发展
早期发展概况 傅里叶提出任意函数可以用级数表示
未得到严 格的数学 论证
狄利克雷是历史上第一个给出函数 f (x) 的傅 里叶级数收敛于它自身的充分条件的数学家
Dirichlet -Jordan 判别法
黎曼在《用三角级数来表示函数》的论文中， 为了使更广的一类函数可以用傅里叶级数来 表示，第一次明确地提出了现在称之为黎曼 积分的概念及其性质。
对傅里叶 系数的积 分求解有 重要意义
傅里叶级数
Fourier Series
DFS
离散傅里叶级数
Discrete Fourier Series
DFT
离散傅里叶变换
Discrete Fourier Transform
连续 离散 离散
周期 周期 非周期
第三章 傅里叶变换
连续傅里叶变换
一般情况下，若“傅里叶变换”一词的前面未加 任何限定语，则指的是连续傅立叶变换。连续傅里叶 变换是一个特殊的把一组函数映射为另一组函数的线 性算子。不严格地说，傅里叶变换就是把一个函数分 解为组成该函数的连续频率谱。
此后，众多数学家，如Dirichlet，Riemann， Lipschitz以及Jordan等都曾从事于这一领域的研究， 不仅弥补了Fourier工作中的不足，而且极大地发展 了以Fourier命名的级数理论，扩大了傅里叶分析的 应用范围，还使得这一理论成为研究周期现象（各种 振动，行星运动，波动与通讯等）不可缺少的工具。
在求解该方程时发现解函数可以由三角函数 构成的级数形式表示，从而提出了任意周期
函数都可以用三角基来表示的想法
第二章 傅里叶分析的产生
a0
2
k 1
(ak
cos
kx
bk
sin
kx)
实型三角级数， 其中 a0 ，ak ， bk (k 0,1, 2, ) 是实数列
ck eikx
k
复型三角级数， 其中 ck (k 0,1,2, ) 是复数列
离散傅里叶变换
离散时间傅里叶变换是傅里叶变换的一种。它将 以离散时间nT（其中 n ，T为采样间隔）作为变量的函 数（离散时间信号）f (nT) 变换到连续的频域，即产生 这个离散时间信号的连续频谱F(eiw) ，值得注意的是这 一频谱是周期的。
第三章 傅里叶变换
快速傅里叶变换
由于加法运算通常比乘法运算快，所以快速算法 的思想就是要尽量减少乘法运算。例如ab+ac=a(b+c)， 用左式计算要做两次乘法，而用右式计算则只要做一 次乘法。
第一章 绪论
结构 安排
傅里叶分 析的产生
傅里叶分 析的发展
傅里叶变 换的定义
傅里叶变换 的基本性质
傅里叶变换 的主要类型
傅里叶变换应 傅里叶变换应用于 结 用于波动方程 非线性偏微分方程 论
第二章 傅里叶分析的产生
法国科学家傅里叶由于当时工业上处理 金属的需要，从事着热传导的研究。
1807年向巴黎科学院呈交的题为 《热的解析理论》
第三章 傅里叶变换
傅里叶变换的基本定义
考虑定义在(,)的函数，设 f L(R) 称：
fˆ (t) f (x)e2ixtdx
为 f 的Fourier变换。 同时
fˆ (t)e2ixt dt
、称为f 的Fourier积分。
第三章 傅里叶变换
傅里叶变换的基本性质 （1）线性：傅里叶变换是一种线性运算。 f1(t) F1( j) f2 (t) F2( j) 即
1,cos x,sin x, ,cos kx,sin kx,
eikx (k 0, 1, 2, )
三角函数系
三角函数系 （复数形式）
第二章 傅里叶分析的产生
f
(x)=
a0 2
k 1
(ak
cos kx
bk
sin
kx)
ak
1
f (x)coskxdx,
k 0,1,2,
1
bk
f (x)sin kxdx,
第二章 傅里叶分析的发展
近代以来的发展概况 Lebesgue（勒贝格）积分理论
Fejer（费耶尔）求法 Luzin(卢津)猜想
Lebesgue积分 Lebesgue测度
推进了黎曼的 工作
发散级数的求 和理论
新的求和方法 重要的进展
复变函数论方法 经典的 H p 空间概念
傅里叶级数与 单位圆内解析 函数的理论有 着非常密切的 联系
第二章 傅里叶分析的发展
近代以来的发展概况 极大函数
50年代以后的研 究，逐渐向多维 和抽象空间推广
考尔德伦－赞格蒙奇异积分理论
研究一类相当广泛的奇异积分算子
Tf (x) lim (x y) f (y)dy
0 xy x y
满足偏微分方程 等许多数学分支 发展的需要
标志了傅里叶分 析进入了一个新 的历史时期
af1(t) bf2(t) aF1( j) bF2( j)
其中a,b均为常数，其证明只需要根据傅里叶 变换的定义既可以得出。
第三章 傅里叶变换
傅里叶变换的基本性质
（2）奇偶虚实性：
f (t) F() 则 f (t) F()
（3）对称性：
f (t) F() 则 F(t) 2 f ()
（4）尺度变换性：