复习分离变量法：
求解下列定解问题
uut(t
x,
c2 (uxx y,0)
uyy
(x,
), y),
ut
(x,
y, 0)
(x,
y),
0 x a, 0 y b, t 0, 0 x a, 0 y b,
u(0, y,t) u(a, y,t) 0,
0 y b,t 0,
u(x,0,t) u(x,b,t) 0,
Y ( y) Y ( y) 0, 0 y b.
代入边界条件
X (0) X (a) 0
得特征值问题
X (x) X (x) 0,0 x a,
X (0) X (a) 0.
求得特征值和对应的特征函数为
m
m
a
2
,
X
m
(
x)
Am
sin
m
a
x
,
m 1,2,L .
类似地, 我们得到
0
j
a
f(x ) F ()e j
U (,t) () cos at () sin at
a
() e jat e jat () e jat e jat
2
a
2j
x
f()d
F ()
0
j
1 2
()ejat ()ejat
1 2a
() j
e
jat
() j
e
jat
u(x,t)
1 2
d 2U (,t)
dt 2
U (,0)
a 2 2U (, t (), dU (,0)
dt
),
(),
t0
U (,t) Acosat Bsin at
f(x ) F ()e j
U (,0) A ()
B () a
U (,t) () cos at () sin at
x
f()d
F ()
F(x ,y ,z )
f (x, y, z)e j(xxy yzz)dxdydz （3）
当然，我们也可以定义傅立叶逆变换
f
(x,
y,
z)
1
(2
)3
F (x ,y ,z )e j(xxy yzz)dxdydz （4）
傅立叶变换的性质:
1） 线性性质 设 f, g 是绝对可积函数，, 是任
意复常数，则
F 1 F ( )F
1
x2 e 4t
2 t
从而方程的解
F 1 F *
1
x2 e 4t
2 t
*
1
x2
e 4t
2 t
u( x,t)
1
s2
x s e 4t ds
2 t
例用用常积数分变变易换法法可解解方得程：
U
,
t
ut
2u
x2
ef2(t x,t) t
需要注意
傅立叶变换的取值范 用傅里叶变换求解波动方程的初值问题：
2u
t
2
u ( x,0)
a2 2u , x 2
(x), u(x,0)
t
(x),
解：取变换符氏
x , t 0 x
ux,t U ,t, (x) (), (x) ().
n1 m1
n1 m1
n1
(amn
m1
cos mnct
bmn
sin mnct) sin
m
a
x
sin
n y
b
其中系数
amn Cmn AmBn , bmn Dmn AmBn.
下面, 我们利用初始条件确定系数
u(x,
y, 0)
( x,
y)
n1
amn
m1
sin
m
a
x
sin
n
b
y
ut
(x,
y,
0)
(x,
y)
n1
m1
bmn
mnc
sin
m
a
x
sin
n
b
y
由于三角函数系的正交性, 得
amn
4 ab
a 0
b(x, y)sin m x sin n y dxdy,
0
ab
bmn
4
abc mn
a 0
b
(
x,
y)
sin
m
x
sin
n
y
dxdy,
0
ab
第四章 傅里叶变换及应用
傅里叶变换是积分变换的一种， 它可用来求解无界区域上的定解问题。
Y (0) Y (b) 0
及特征值问题
Y ( y) Y ( y) 0, 0 y b,
Y (0) Y (b) 0.
其特征值和对应的特征函数为
n
n
b
2
,
Yn
(
y)
Bn
sin
n
b
y
,
n 1,2,L .
记
mn
m2 n2
a2 b2
代入关于t的方程
Tmn
(t)
2 mn
c
2Tmn
(t)
(x
at)
(x
at)
1 2a
xat
( )d
0
xat
0
(
)d
1 (x at) (x at) 1
xat
( )d
2
2a xat
作业：用傅里叶变换求解无界弦的 振动问题P128 例5
F f g F( f ) F(g)
2） 微分性质 设 f , f ' 绝对可积函数，则
F f ' iF f ，F f（n） （i）nF f
3）乘多项式 设 f , x f 绝对可积，则
F xf i d F f
d
4）相似性质 设 f (x) 绝对可积，则
F ( f (ax))( ) 1 F ( f )( ), a 0.
Fx(,R,)te02 (t
)
d
.
而 u x,0 x 0
解： 则
作关于 x
F
ux,t
的U2傅1,立tt叶e 变x42t u换x。,et设e2ti
x
dx
U f,xt,tFF,t
1
ex
x2
4t
方程变为
2 t
0tdFU(dt,,
U , t
t
)F
2U1
,
t
|t02(t )
eF4(
F ( f（x）ei0x ) F ( 0 ),
二. 傅里叶变换的应用
例1 用傅里叶变换法解热传导方程定解问题：
u 2u
t x2 , x R, t 0
u x,0 x , x R
解：作关于 x 的傅立叶变换, 设
u x,t U , t u x,t ei xdx
x
0,
上述方程通解为
Tmn (t) Cmn cos mn ct Dmn sin mn ct
于是得到
umn (x, y, t) X mn (x)Ymn ( y)Tmn (t),
利用叠加原理, 得到定解问题的形式解
u( x, y, t) umn ( x, y, t) X m ( x)Yn ( y
1
F ei xd
2
（2）
反演公式
注1：
在有些参考文献中, 1 因子被分解
2
成 1 1 , 并且分别含在上述两个式子
2 2
（1）和（2）中. 而在式(1)中的函数e jx
e 写成 j x， 从而在式(2)中函数e j x 写
成 e j x. 这些本质上同定义（1）（2）没
有差别.
注2：
在三维无界空间中, 若 f (x, y, z) 是绝对可 积函数, 则可定义三重傅里叶变换
f)
*(
,
) 1 e
( x )2 4(t )
x2
ed4( t
)
d
2 00 t 2 (t )
*
1
x2
e 4t
2 t
t
f ( x, )*
1
x2
e d 4(t )
0
2 (t )
傅立叶变换是一种把分析运算化为代数 运算的有效方法,但
1.傅立叶变换要求原象函数在R上绝对 可积.大部分函数不能作傅立叶变换
2.傅立叶变换要求函数在整个数轴上有 定义,研究混合问题时失效.
积分变换法求解问题的步骤
•对方程的两边做 傅里叶变换将偏微分方程变 为常微分方程 •对定解条件做相应的积分变换，导出新方程 对应的定解条件 •求常微分方程及定解条件的解
•对解的变换式取相应的逆变换，得到原定解 问题的解
数学物理方程+定解条件 解
傅里叶变换可以把线性偏微分方 程变为含有较少变量的线性偏微分方 程或常微分方程，从而使问题得到简 化
一. 傅立叶变换
如果函数 f (x) 在 (, )上绝对可积，它的傅立叶变
换定义如下：
F ei x f xdx
（1）
如果F 满足上面的条件，我们可以定义傅立叶逆
变换为:
f x
|a|
a
5）延迟性质 设 f (x) 绝对可积，则
F( f ( x y)) eiyF ( f ), y R.
6） 卷积性质 设f , g 是绝对可积函数， 令
f g x f x t g t dt
则 F f g F f Fg
7）积分性质
F
f（）d
1
i
F(
f
)(
),
8）频移性质