总结
第一章 效用理论与保险
具体内容包括风险决策的基本问题描述、期望效用原理、风险态度分析、保费设计原理分析、最优再保险的结论及其应用。
1. 期望效用模型(The expected utility model)
在期望效用模型中，被保险人是一个风险厌恶型的理论决策者，为了争取一个安全的金融地位，有Jensen 不等式：
定理 1.2.3 如果()v x 是一个凸函数，Y 是一个随机变量，则[][]()(),E v Y v E Y ≥ 其中等号成立当且仅当(.)v 在Y 的支撑集上是线性的或 ()0Var Y =
他会心甘情愿的付给保险人比自己面临的理赔额期望值多的保费。
这是一个要在不确定的情况下进行决策的体系，在这一体系下，被保险人的决策凭借的不是直接比较赔付额期望的大小，而是比较赔付额密切相关的期望效果。
2. Arrow-Prant 指数
为了比较决策者之间风险态度的差异，引入Arrow-Prant 指数，定义如下： ()a R x u '''=-为绝对风险指数（风险厌恶系数）
()r R x xu '''
=-为相对风险指数。
对风险厌恶程度越高，准备支付的保费也就越大。
3. 效用原理与保险定价
（1）承保后财产的效用期望值应不低于承保前财富的效用值。
（2）被保险人购买保险后财富的效用值应大于购买前财富的期望值。
所以，当收取的保费P 介于承保人必须收取的最低保费P -
和被保险人愿意支付的最高保费P +之间时，保险合同才可能成立。
4.效用函数族 (Classes of utility functions)
Linear utility(线性效用函数) ωω=)(u
Quadratic utility(平方效用函数) 2)()(ωαω--=u
Logarithmic utility(对数效用函数) )log()(ωαω+=u
Exponential utility(指数效用函数) αωαω--=e u )(
Power utility(幂数效用函数) c u ωω=)(
5．停止损失（再）保险(Stop-loss reinsurance)
停止损失（再）保险不仅使其期望效用最大，而且使自留风险的方差最小，使得期望利润更高。
第二章 个体风险模型
这一章主要讨论保险人风险组合的理赔总额S 的分布函数。
讨论在给定的时间期间、保单组合中保单数固定的情况下，保单组合总损失的模型，这里的基本问题是每个个体保单的损失模型和独立个体保单和的模型。
具体内容包括：个体保单的理赔分布分析，用卷积法计算独立随机变量和的分布，用矩母函数法计算独立随机变量和的分布，最后介绍用正态分布近似计算总理赔的分布。
1. 个体风险模型(The individual risk model)：
设1n i
i s x ==∑，其中i x 代表第张保单可能发生的理赔额，并且该模型满足下列
假定：
（1）独立同分布； （2）每张保单至多发生一次理赔；
（3）保单总数n 是固定的，即模型是封闭的。
2. 个体风险模型中S 的分布
(1) 卷积方法(Convolution)
两个连续随机变量和的卷积公式
()()()()() ,*F P X Y s f x y dxdy F s x F x s Y X x y s
s =+≤==-⎰⎰+≤ 两个离散随机变量和的卷积公式：
()()()
S Y X x s F s F s x f x ≤=-∑
（2）矩母函数法(mgf)
()()()()()1i i S n n tS X X i M t E e M t M t ===∏=
（3）两个重要的概率公式
()()((|))
()(())((|))E X E IB E E B I Var X Var E IB E Var B I ===+
本章的难点是如何利用上面两个公式计算个别保单理赔的数学期望和方差。
第三章 聚合风险模型
1． 聚合风险模型(Collective risk models)
1N i
i S X ==∑
其中N 表示保险期内所有保单发生理赔的次数，
i X 表示第i 次发生理赔时的理赔额，S 表示保险期内理赔得总额。
聚合风险模型的主要优点是在计算机它是一个很有效的模型，该模型也非常接近实际。
在聚合风险模型中，风险组合被看作是一个随着时间变化而逐渐产生新理赔的保险风险过程。
这些理赔被假设为独立同分布的随机变量序列，并且独立于时间段内的理赔次数。
浴室，总理赔额扁可以表示为一个由独立同分布的理赔额变量相加构成的随机和。
通常，我们还假设理赔次数是一个具有特定均值的泊松变量。
至于耽搁理赔额的累积分布函数，我们用各保单理赔额的累积分布函数的平均值来代替。
2. 理赔总额S 的分布
()()()
()()()()()
()()()
2ln S N X E S E X E N Var S E X Var N E N Var X M t M M t ==+=
3．复合泊松分布(Properties of compound Poisson distribuyions) 聚合风险模型
1N i i S X ==∑中，当N 服从泊松分布时，S 的分布就称为复合泊松分
布。
理赔总额的矩母函数为：
()()()()ln 11ln S N X M t X X e M t M t M M t e e λλ⎛⎫ ⎪⎡⎤ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦
--⎡⎤==⎣⎦=
学习心得
Modern Actuarial Risk Theory is really hard for me to understand. However, it is only one part of Actuarial Science. I cannot imagine how difficult it is. Although I listened carefully, to be honest, I could not catch up with the teacher in class, because I had to digest what I had got from the previous minutes, thus I always missed the latter ones.
For our textbook was transformed into Chinese from a English one, I attempted to read the English edition of the Modern Actuarial Risk Theory after class. Finally I successfully improved my English vocabularies for this subject, which I believed is beneficial to my further study in foreign countries.
Finishing the summary, I enhanced my memories for what I managed, the introduction of Modern Actuarial Risk Theory.。