二次函数的图像及其三种表达式
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学习目标
1、熟悉常见的二次函数的图像；
2、理解二次函数的三种表达式
知识点分析
1、.二次函数的三种表达式
一般式：y=ax^2+bx+c （a ，b ，c 为常数，a ≠0）
顶点式：y=a(x-h)^2+k [抛物线的顶点P （h ，k ）]
交点式：y=a(x-x1)(x-x2) [仅限于与x 轴有交点A （x1，0）和 B （x2，0）的抛物线] 2、一般地，自变量x 和因变量y 之间存在如下关系：
y=ax^2+bx+c （a ，b ，c 为常数，a ≠0，且a 决定函数的开口方向，a>0时，开口方向向上，a<0时，开口方向向下,IaI 还可以决定开口大小,IaI 越大开口就越小,IaI 越小开口就越大.） 则称y 为x 的二次函数。

二次函数表达式的右边通常为二次三项式。

例题精讲
例题1已知函数y=x 2
＋bx ＋1的图象经过点（3，2）． （1）求这个函数的表达式；
（2）画出它的图象，并指出图象的顶点坐标； （3）当x ＞0时，求使y ≥2的x 的取值范围．
例题2、一次函数y=2x ＋3，与二次函数y=ax 2
＋bx ＋c 的图象交于A （m ，5）和B （3，n ）两点，且当x=3时，抛物线取得最值为9．
（1）求二次函数的表达式；
（2）在同一坐标系中画出两个函数的图象；
（3）从图象上观察，x 为何值时，一次函数与二次函数的值都随x 的增大而增大． （4）当x 为何值时，一次函数值大于二次函数值？
随堂练习
1．已知函数y=ax 2
＋bx ＋c （a ≠0）的图象，如图①所示，则下列关系式中成立的是（ ）
A ．0＜－
a b 2＜1 B ．0＜－a b 2＜2 C ．1＜－a b 2＜2 D ．－a b
2=1
图①
图②
2.函数y =
21x 2
+2x +1写成y =a (x －h)2+k 的形式是 A.y =21(x －1)2+2 B.y =21(x －1)2+2
1
C.y =
2
1(x －1)2
－3 D.y =
2
1(x +2)2
－1 3.抛物线y =－2x 2
－x +1的顶点在第_____象限
A.一
B.二
C.三
D.四
4.不论m 取任何实数，抛物线y =a (x +m )2
+m (a ≠0)的顶点都
A.在y =x 直线上
B.在直线y =－x 上
C.在x 轴上
D.在y 轴上
5.任给一些不同的实数n ，得到不同的抛物线y =2x 2
+n ，如当n =0，±2时，关于这些抛物线有以下结论：①开口方向都相同；②对称轴都相同；③形状都相同；④都有最低点，其中判断正确的个数是
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
6.二次函数y =x 2
+p x +q 中，若p+q=0，则它的图象必经过下列四点中
A.(－1，1)
B.(1，－1)
C.(－1，－1)
D.(1，1)
图3
7.下列说法错误的是
A.二次函数y =－2x 2
中，当x =0时，y 有最大值是0
B.二次函数y =4x 2
中，当x >0时，y 随x 的增大而增大
C.在三条抛物线y =2x 2，y =－0.5x 2，y =－x 2中，y =2x 2的图象开口最大，y =－x 2
的图象开口最小
D.不论a 是正数还是负数，抛物线y =ax 2
(a ≠0)的顶点一定是坐标原点
8.已知二次函数y =x 2+(2k +1)x +k 2
－1的最小值是0，则k 的值是
A.
4
3
B.－
43 C.4
5
D.－
4
5
9.小颖在二次函数y =2x 2
+4x +5的图象上，依横坐标找到三点(－1，y 1)，(2
1
，y 2)， (－3
2
1
，y 3)，则你认为y 1，y 2，y 3的大小关系应为 A.y 1>y 2>y 3 B.y 2>y 3>y 1 C.y 3>y 1>y 2 D.y 3>y 2>y 1
10.抛物线y =
2
1(x +3)2
的顶点坐标是______. 11.将抛物线y =3x 2
向上平移3个单位后，所得抛物线的顶点坐标是______. 12.函数y =
3
4
x －2－3x 2有最_____值为_____. 13.已知抛物线y =ax 2
+bx +c 的图象顶点为(－2，3)，且过(－1，5)，则抛物线的表达式为______.
14.二次函数y =mx 2+2x +m －4m 2
的图象过原点，则此抛物线的顶点坐标是______.
15．抛物线y=ax 2
＋bx ＋c （c ≠0）如图②所示，回答：
（1）这个二次函数的表达式是 ； （2）当x= 时，y=3；
16．抛物线y=ax 2
＋bx ＋c （c ≠0）如图②所示，回答：
（1）这个二次函数的表达式是 ； （2）当x= 时，y=3；
（3）根据图象回答：当x 时，y ＞0．
17．已知抛物线y=－x 2
＋（6－2k ）x ＋2k －1与y 轴的交点位于（0，5）上方，则k 的取值范围是 ．
18．一根长为100m 的铁丝围成一个矩形的框子，要想使铁丝框的面积最大，边长分别为 ．
19．若两个数的差为3，若其中较大的数为x ，则它们的积y 与x 的函数表达式为 ，它有最 值，即当x= 时，y= ．
20．边长为12cm 的正方形铁片，中间剪去一个边长为x 的小正方形铁片，剩下的四方框铁
片的面积y （cm 2
）与x （cm ）之间的函数表达式为 ． 21．等边三角形的边长2x 与面积y 之间的函数表达式为 ．
22．抛物线y=x 2
＋kx －2k 通过一个定点，这个定点的坐标为 ． 23．已知抛物线y=x 2＋x ＋b 2经过点（a ，－
4
1）和（－a ，y 1）
，则y 1的值是
．
24．如图，图①是棱长为a 的小正方体，②、③是由这样的小正方体摆放而成，按照这样的方法继续摆放，由上而下分别叫第一层、第二层……第n 层，第n 层的小正方体的个数记为S ，解答下列问题： （1）按照要求填表：
n 1 2 3 4 …
s
1
3
6
…
（2）写出当n=10时，S= ．
（3）根据上表中的数据，把S 作为纵坐标，n 作为横坐标，在平面直角坐标系中描出相应的点．
（4）请你猜一猜上述各点会在某一函数图象上吗？如果在某一函数的图象上，求出该函数的表达式．
25．某公司推出了一种高效环保型洗涤用品，年初上市后，公司经历了从亏损到盈利的过程．图中二次函数图象（部分）刻画了该公司年初以来累积利润S （万元）与销售时间t （月）之间的关系（即前t 个月的利润总和S 与t 之间的关系）． 根据图象提供的信息，解答下列问题：
（1）由已知图象上的三点坐标，求累积利润S （万元）与时间t （月）之间的函数表达式；
（2）求截止到几月末公司累积利润可达到30万元； （3）求第8个月公司所获利润是多少万元？。