函数的基本性质——单调性与最大(小)值【教学目标】1．知识与技能：了解单调函数、单调区间的概念：能说出单调函数、单调区间这两个概念的大致意思2．过程与方法：理解函数单调性的概念：能用自已的语言表述概念；并能根据函数的图象指出单调性、写出单调区间3．情感、态度与价值观：掌握运用函数的单调性定义解决一类具体问题：能运用函数的单调性定义证明简单函数的单调性【教学重难点】教学重点：函数的单调性的概念。

教学难点：利用函数单调的定义证明具体函数的单调性【教学过程】一、复习引入。

1分别画函数2x y =和3x y =的图象。

2x y =的图象如图1，3x y =的图象如图2．2．引入：从函数2x y =的图象（图1）看到：图象在y 轴的右侧部分是上升的，也就是说，当x 在区间[0，+∞）上取值时，随着x 的增大，相应的y 值也随着增大，即如果取21,x x ∈[0，+∞），得到1y =)(1x f ，2y =)(2x f ，那么当1x ＜2x 时，有1y ＜2y 。

这时我们就说函数y =)(x f =2x 在[0，+∞）上是增函数。

图象在y 侧部分是下降的，也就是说，当x 在区间（－∞，0）上取值时，随着x 的增大，相应的y 值反而随着减小，即如果取21,x x ∈（－∞，0），得到1y =)(1x f ，2y =)(2x f ，那么当1x ＜2x 时，有1y >2y 。

这时我们就说函数y =)(x f =2x 在（－∞，0）上是减函数。

函数的这两个性质，就是今天我们要学习讨论的。

二、讲解新课。

1．增函数与减函数。

定义：对于函数)(x f 的定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值21,x x ，（1）若当1x ＜2x 时，都有)(1x f ＜)(2x f ，则说)(x f 在这个区间上是增函数（如图3）；（2）若当1x ＜2x 时，都有)(1x f >)(2x f ，则说)(x f 在这个区间上是减函数（如图4）。

说明：函数是增函数还是减函数，是对定义域内某个区间而言的。

有的函数在一些区间上是增函数，而在另一些区间上不是增函数。

例如函数2x y =（图1），当x ∈[0，+∞）时是增函数，当x ∈（－∞，0）时是减函数。

2．单调性与单调区间。

若函数y=f （x ）在某个区间是增函数或减函数，则就说函数)(x f 在这一区间具有（严格的）单调性，这一区间叫做函数)(x f 的单调区间。

此时也说函数是这一区间上的单调函数。

在单调区间上，增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的。

说明：（1）函数的单调区间是其定义域的子集；（2）应是该区间内任意的两个实数，忽略需要任意取值这个条件，就不能保证函数是增函数（或减函数），例如，图5中，在21,x x 那样的特定位置上，虽然使得)(1x f >)(2x f ，（3）除了严格单调函数外，还有不严格单调函数，它的定义类似上述的定义，只要将上述定义中的“)(1x f ＜)(2x f 或)(1x f >)(2x f ，”改为“)(1x f )(2x f 或)(1x f ≥)(2x f ，”即可；（4）定义的内涵与外延：内涵是用自变量的大小变化来刻划函数值的变化情况；外延①一般规律：自变量的变化与函数值的变化一致时是单调递增，自变量的变化与函数值的变化相对时是单调递减。

②几何特征：在自变量取值区间上，若单调函数的图象上升，则为增函数，图象下降则为减函数。

三、讲解例题。

例1：如图6是定义在闭区间[－5，5]上的函数)(x f y =的图象，根据图象说出)(x f y =的单调区间，以及在每一单调区间上，函数)(x f y =是增函数还是减函数。

解：函数)(x f y =的单调区间有[－5，－2），[－2，1），[1，3），[3，5]，其中)(x f y =在区间[－5，－2），[1，3）上是减函数，在区间[－2，1），[3，5]上是增函数。

说明：函数的单调性是对某个区间而言的，对于单独的一点，由于它的函数值是唯一确定的常数，因而没有增减变化，所以不存在单调性问题；另外，中学阶段研究的主要是连续函数或分段连续函数，对于闭区间上的连续函数来说，只要在开区间上单调，它在闭区间上也就单调，因此，在考虑它的单调区间时，包括不包括端点都可以；还要注意，对于在某些点上不连续的函数，单调区间不包括不连续点。

例2：证明函数23)(+=x x f 在R 上是增函数。

证明：设21,x x 是R 上的任意两个实数，且1x ＜2x ，则)(1x f －)(2x f =（31x +2）－（32x +2）=3（1x －2x ），由1x ＜2x x ，得1x －2x ＜0，于是)(1x f －)(2x f ＜0，即)(1x f ＜)(2x f 。

∴23)(+=x x f 在R 上是增函数。

例3：证明函数xx f 1)(=在（0，+∞）上是减函数。

证明：设1x ，2x 是（0，+∞）上的任意两个实数，且1x ＜2x ， 则)(1x f －)(2x f =11x －21x =2112x x x x -， 由1x ，2x ∈（0，+∞），得1x 2x >0，又由1x ＜2x ，得2x －1x >0，于是)(1x f －)(2x f >0，即)(1x f >)(2x f ∴xx f 1)(=在（0，+∞）上是减函数。

例4．讨论函数322+-=ax x f(x)在（－2，2）内的单调性。

解：∵222332a (x-a)ax x f(x)-+=+-=，对称轴a x =∴若2-≤a ，则322+-=ax x f(x)在（－2，2）内是增函数；若22<<-a 则322+-=ax x f(x)在（－2，a ）内是减函数，在[a ，2]内是增函数若2≥a ，则322+-=ax x f(x)在（－2，2）内是减函数。

四、练习。

)(x f 的单调区间有[－2，－1]，[－1，0]，[0，1]，[1，2]；)(x f 在区间[－2，－1]，[0，1]上是增函数，在区间[－1，0]，[1，2]上是减函数。

)(x g 的单调区间有[－π，－2π]，[－2π，2π]，[2π，π]；)(x g 在区间[－π，－2π]，[2π，π]上是减函数，在区间[－2π，2π]上是增函数。

说明：要了解函数在某一区间是否具有单调性，从图象上进行观察是一种常用而又较为粗略的方法，严格地说，它需要根据增（减）函数的定义进行证明，下面举例说明。

判断函数23)(+-=x x f 在R 上是增函数还是减函数？并证明你的结论。

解：设1x ，2x ∈R ，且1x ＜2x ，∵)(1x f －)(2x f =（－31x +2）－（－32x +2）=3（2x －1x ）， 又1x ＜2x ，∴)(1x f －)(2x f >0，即)(1x f >)(2x f 。

∴23)(+-=x x f 在R 上是减函数。

判断函数)(x f =x1在（－∞，0）上是增函数还是减函数并证明你的结论。

解：设1x ，2x ∈（－∞，0），且1x ＜2x ，∵)(1x f －)(2x f =11x －21x =2112x x x x -=2112x x x x -，由1x ，2x ∈（－∞，0），得1x 2x >0，又由1x ＜2x ，得2x －1x >0，于是)(1x f －)(2x f >0，即)(1x f >)(2x f 。

∴)(x f =x1在（0，+∞）上是减函数。

能否说函数)(x f =x1在（－∞，+∞）上是减函数？答：不能。

因为x =0不属于)(x f =x1的定义域。

说明：通过观察图象，对函数是否具有某种性质，作出猜想，然后通过推理的办法，证明这种猜想的正确性，是发现和解决问题的一种常用数学方法。

（1）判断函数b kx x f +=)(在R 上的单调性，并说明理由。

（2）4．解：（1）设1x ，2x ∈R ，且1x ＜2x ，则)(1x f －)(2x f =（k 1x +b ）－（k 2x +b ）=k （1x －2x ）。

若k>0，又1x ＜2x ，∴)(1x f －)(2x f ＜0，即)(1x f ＜)(2x f 。

∴b kx x f +=)(在R 上是增函数。

若k ＜0，又1x ＜2x ，∴)(1x f －)(2x f >0，即)(1x f >)(2x f 。

∴b kx x f +=)(在R 上是减函数。

（2）设1x ，2x ∈（0，+∞），且1x ＜2x ，∵)(1x f －)(2x f =（21x +1）－（22x +1）=21x －22x =（1x +2x ）（1x －2x ）∵0＜1x ＜2x ，∴1x +2x >0，1x －2x ＜0， ∴)(1x f －)(2x f ＜0，即)(1x f ＜)(2x f ， ∴)(x f =2x +1在（0，+∞）上是增函数。

五、小结。

1．讨论函数的单调性必须在定义域内进行，即函数的单调区间是其定义域的子集，因此讨论函数的单调性，必须先确定函数的定义域；2．根据定义证明函数单调性的一般步骤是：（1）设1x ，2x 是给定区间内的任意两个值，且1x ＜2x ；（2）作差)(1x f －)(2x f ，并将此差式变形（要注意变形的程度）；（3）判断)(1x f －)(2x f 的正负（要注意说理的充分性）；（4）根据)(1x f －)(2x f 的符号确定其增减性。

六、作业布置。

补充：（1）)(x f =41252-⎪⎭⎫ ⎝⎛-x 是以（25，41-）为顶点、对称轴平行于y 轴、开口向上的抛物线（如图）；它的单调区间是（－∞，25]与[25，+∞）；它在（－∞，25]上是减函数，在[25，+∞）上是增函数。

证明：设1x ＜2x ≤25，则)(1x f －)(2x f =21x －22x －5（1x －2x ） =（1x +2x －5）（1x －2x ） ∵1x ＜2x 25≤，∴1x +2x ＜5，1x －2x ＜0， ∴)(1x f －)(2x f >0，即)(1x f >)(2x f 。

∴)(x f =2x －5x +6在（－∞，25]上是减函数。

类似地，可以证明)(x f 在[25，+∞）上是增函数。

（2）)(x f =－2x +9的图象是以（0，9）为顶点、y 轴为对称轴、开口向下的一条抛物线（如图）；它的单调区间是（－∞，0]与[0，+∞），它在（－∞，0]上是增函数，在[0，+∞）上是减函数。

第4（1）题第4（2）题证明：设1x ＜2x ≤0，则)(1x f －)(2x f =－21x +22x =（1x +2x ）（2x －1x ）∵1x ＜2x ≤0，∴1x +2x ＜0，2x －1x >0， ∴)(1x f －)(2x f ＜0，即)(1x f ＜)(2x f ∴)(x f =9－2x 在（－∞，0]上是增函数。