当t>4
y(t)
1 . 1.(t
1 2
)d
t
y(t) 1 1. 1.(t )d t3 2
t2 t 2 42
y(t) f 1(t) f2 (t) 0
例1：若 h1(t) = u(t)， h2(t) = (t-T)， h3(t) = - (t)， 求h(t) 。
解： h(t) h1(t) h1(t) h2 (t) h3 (t)
第二章 连续系统时域分析
2-1 冲激函数及其性质
一、 冲激函数
定义 u (t) 如图所示:
u (t)
显然当 时0
1
t
u (t) u(t)
0
(t)
du (t) dt
1 (t)
0
t
可认为
lim 0
(t
)
(t
)
即 (t)可视为一个面积始终为1的矩形，当其宽度
趋于零时的极限。
(t) 表示为
(t)
(0.5) 0.25
第二章 连续系统时域分析
2-3 信号的时域分解和卷积积分
T
1）f(t)=fD(t)+fA(t)
其中： f（ D t）
[1 T
2 T
f
(t )dt ]
T
f（A t） f (t) fD (t) ——交流分量
—2 —直流分量（平均值）
2）f(t)=fo(t)+fe(t)
如果有 x(t) x(t) x(t) x(t)
上式从t 0到 t 0 取积分，得
R
0
0 iL (t)dt
LiL (0
)
LiL (0 )
1
由于i
L
(t
)是有限的，0 0
i
L
(t
)dt
0且iL (0 )
0iL (0 )
1 L
第二章 连续系统时域分析
2-2 系统的冲激响应
电感电流在冲激信号作用下，从零跃变到 1 L
当 t 0 时， (t) 0, 此时电路是一个特殊的
5）计算积分
f () h(t )d
卷积积分图解法:
f1(t )
1 f1(t ) 0
f1( )
t 1 ,
t 1
t f2(t) 2 ,
(0 t 3)
1
t
1 0 1 t
1
f2 (t )
f2 (t f2)(t ) f2 (t )f2 (t )
1 0
1
t
3
t 3 tt 3
x(k)
t
0
k (k 1) 这些矩形叠加起来形成
阶梯信号
3）任意连续时间信号可分解为冲激信号的连续和
x(t)
x (t)
x(k)
t
0
k (k 1)
当 时0 ， k d
(t k) (t )
x (t) x(t)
于是： x(t)
x( ) (t )d
3）任意连续时间信号可分解为冲激信号的连续和
零输入响应。 由三要素公式得
iL (t)
1 L
R t
e L (t)
h(t)
第二章 连续系统时域分析
2-2 系统的冲激响应
2）阶跃响应法 u(t) g(t) (t) h(t)
激励为 lim (t) (t t) d (t) (t)
t 0
t
dt
响应为 lim s(t) s(t t) ds(t) h(t)
尺度变换 (at) 1 (t)
|a|
du(t) (t) dt
(t) 的倒数及其性质
f
(t)
' (t
t0 )dt
f
' (t0 )
f (t) ' (t t0 ) f (t0 ) ' (t t0 ) f ' (t0 ) (t t0 )
(k) (t) (1)(k) (k) (t)
f (t) (t T) f (t T)
f (t)*u(t t0 )
tt0 f ( )d
f (t )d t0
f (t t0) (t T ) f (t t0 T ) 例： u(t)*u(t) tu(t)
2、f(t)与冲激信号偶卷积 4、斜坡信号与阶跃信号卷积
f (t) (t) f (t)
x(t) h1(n) h2 (n) y(t) x(t) [h1(t) h2 (t)]
h1(t) h2 (t)
h1(t) x(n) h1(n)
x(n)
h1(n)
y(n)
x(t)
y(t)
h2 (n)
h2 (t)
x(n) h2(n)
第二章 连续系统时域分析
结论：两个LTI系统并联，其总的单位脉冲(冲激)响 应等于各子系统单位脉冲(冲激)响应之和。
如果解决了信号分解的问题，即：若有
x(t) ai xi (t)
i
则 y(t) ai yi (t)
i
分析方法：
xi (t) yi (t)
将信号分解可以在时域进行，也可以在频域或变换 域进行，相应地就产生了对LTI系统的时域分析法、 频域分析法和变换域分析法。
信号与系统分析 1、信号分析：复杂信号 分解
1.交换律
y(t) x(t) h(t) x( )h(t )d x(t )h( )d h(t) x(t)
h(n)
x(n)
x(t) x(n)
h(t)
y(t) y(n)
h(t) h(n)
x(t)
y(t) y(n)
结论：一个单位冲激响应是 h的(t)LTI系统对输入信
号 所x(t产) 生的响应，与一个单位冲激响应是
这种求得系统响应的运算关系称为卷积积分
II 、卷积积分的计算
1．利用定义计算
f (t) h(t)
f ( ) h(t )d
h() f (t )d
2.利用图解法计算
1）f(t)、h(t) f()、h() 2） h() h(-) （折叠） 3） h(-) h(t-) （平移） 4） f() h(t-) （相乘）
第二章 连续系统时域分析
2-0 引言
由于LTI系统满足齐次性和可加性，并且具有时 不变性的特点，因而为建立信号与系统分析的理 论与方法奠定了基础。
基本思想：如果能把任意输入信号分解成基本信号 的线性组合，那么只要得到了LTI系统对基本信 号的响应，就可以利用系统的线性特性，将系统 对任意输入信号产生的响应表示成系统对基本信 号的响应的线性组合。
[x(t)
x(t)]
xe
(t)
1 2
[x(t)
x (t )]
xo
(t)
1 2
[x(t)
x (t )]
3）任意连续时间信号可分解为冲激信号的连续和
对一般信号 x(t，) 可以将其分成很多 宽度的区段，
用一个阶梯信号 近x似 (t表) 示 。当x(t) 时，有 0 x (t) x(t)
x(t) x (t)
1
t
0
(t t0 )
1
t
0 t0
矩形面积称为冲激强度。
显然有：
(t)dt 1
t
u(t)
( )d
0
(t
)d
第二章 连续系统时域分析
2-1 冲激函数及其性质
二、性质
加权特性 f (t) (t t0 ) f (t0 ) (t t0 )
偶函数 (t) (t)
单位阶跃函数的倒数
第二章 连续系统时域分析
2-2 系统的冲激响应
激励为单位冲激信号时系统的零状态响应。
由于冲激函数及其各阶导数仅在t=0处作用， 而在t>0的区间恒为零。也就是说，激励信号 的作用是在t=0的瞬间给系统输入了若干能量， 贮存在系统的各贮能元件中，而在t>0系统的 激励为零，只有冲激引入的那些贮能在起作 用，因而，系统的冲激响应由上述贮能唯一 地确定。
阶跃信号
基本信号
冲激信号 正弦信号
复杂信号特性
基本信号特性 指数信号等
2、系统分析：已知系统模型，研究系统对各种激励信号作用 下的响应特性。
3、信号与系统分析的意义： （1）信号时间特性与系统时间特性匹配；
（2）信号频率特性与系统频率特性匹配； （3）信号功率特性与系统负载功率匹配； （4）信号信息含量与系统容量匹配； 4、分析方法：时域法/变域法 内部法/外部法
u(t
n
1)]*
(t nT )
[u(t 1 nT ) u(t 1 nT )]
n
n
例6：用图解法求y(t)=f(t)*h(t)。其中
解： 当t<0： y(t) f (t)h(t) 0 当0<t<7：y(t) t e(t)d
0
1 et
当7<t： y(t)
7 e(t)d (e7 1)et
t 3t t t3
t
t
f2 (t )
3 2
0
3t
f2 ( )
3 2
3
0
y当当(tt-)<1-<y1(tt<)tf412tt1(2f1)y(t2t()ftt2)(tf124(2tt1))f1(00)
1 t 1 1t 2 f22 (tt)d4
4 0
2
t2 4
t 2
1 4
其它t
当1<t<2 当2<t<4
f( ) (t - )d f (t)
-
f( )h(t - )d y f (t)
-
f()(t-) f()h(t-)
此称为f(t)与h(t)的卷积积分
(Convolution)
f( ) (t - )d