•两有限长序列的卷积和也是 有限长的序列
•序列长度---->序列值不为零的个数 •卷积和的序列长度＝两序列长度之和－1 L=L1+L2-1
三、列表法：卷积的数值计算


h(t)
f1(n) 1 2 3 1 1 2 3 1 1 2 3
f2(n)
1 1 2 3
E(t)
1 1 2 3


四、解析法
证：
d d [ f1 (t ) * f 2 (t )] f1 f 2 t d dt dt d d f1 ( ) f 2 (t )d f1 ( ) f 2 (t )d dt d (t ) d f1 (t ) * f 2 (t ) dt
r ( n)

k n
e(k )u(k )h(n k )u(n k )
k 0
e( k ) h ( n k )
(2)任意两个序列的卷积和
f (n) f1 (n) f 2 (n)
k
f (k ) f
1

2
(n k )
满足交换律、分配率、结合律
f1 (t ) * f 2 (t ) * (t t1 ) * (t t2 ) s(t ) * (t t1 t2 ) s(t t1 t2 )
（2）与冲激偶‘（t）的卷 积
卷积的微分性质
f (t ) * ' (t )
f ' (t ) * (t ) f ' (t )
*
＝
*
t0
＝
t0
*
t1 t2
＝
t1+ t2
推广：任意两函数卷积
若：s(t ) f1 (t ) * f 2 (t )
则：f1 (t t1 ) * f 2 (t t2 ) s(t t1 t2 )
证明：f1 (t t1 ) * f 2 (t t2 ) f1 (t ) * (t t1 ) * f 2 (t ) * (t t2 )
(3)性质---与(n)的卷积和 f (n) (n) (n) f (n)

k
(k ) f (n k )

k 0时， (k ) 1
f ( n)
推广：
f (n) * (n n1 ) (n n1 ) * f (n) f (n n1 )
h2 (t)=f2(t)
h3 (t)=f3(t)
=
系统级联或串联
二 卷积的微分和积分
（1）微分：两个函数相卷积后的导数等于其中一个函 数的导数与另一个函数的卷积
d df 2 (t ) df1 (t ) [ f1 (t ) * f 2 (t )] f1 (t ) * * f 2 (t ) dt dt dt
作业：2-6(1) (4),2-10, 2-12(d)
作业：2-7, 2-14(2) (3)(6), 2-17(1) 2-18(2)
§2.5卷积积分与卷积和( Convolution) 2.5.1借助于信号分解求系统零状态响应 信号分解为冲激信号之和： 求和变积分
e(t )
e(t1 )
t1
e(t ) lim

t1 0
t1
e(t )t (t t )
1 1 1

e( ) (t )d
卷积图解实例

2.4.3卷积的性质
一、卷积的代数性质
二、卷积的积分和微分
三、与冲激函数或阶跃函数的卷积 一、卷积的代数性质
卷积运算是一种代数运算，与乘法运算的某些 性质相同 1、交换律
f1 (t ) f 2 (t ) f 2 (t ) f1 (t )
2、分配律
f1 (t ) [ f 2 (t ) f3 (t )] f1 (t ) f 2 (t ) f1 (t ) f3 (t )
同理可证：左边＝
df1 (t ) * f 2 (t ) dt
（2）积分：两个函数相卷积后的积分等于其中一个 函数的积分与另一个函数的卷积

t

f1 ( ) * f 2 ( )d f1 ( ) * f 2 ( ) *
t
t
f 2 ( )d f1 ( )d

类似地：对高阶导数和积分
卷积的积分性质
1 t
（3）与阶跃函数u（t）的卷积
1
f (t ) * u(t ) f (t ) * (t ) f (t ) f ( )d

应用：函数与奇异信号的卷积与下式结合紧密
f (t ) f
(1) 1
(t ) * f 2
( 1)
t d (t ) f1 t * f 2 ( )d dt
it c e r f (t ) i
i 1 n
离散系统解的形式： r (t )
ci i
i 1
n
n
r f (t )
2 系统的单位冲激响应与单位样值响应
单位冲激响应h(t)：
定义: （t）
单位样值响应h(n)： （n）
h(t)
（1）零状态响应响应 （2）具有零输入响应的 形式 （3）反映系统本身特性 因果性 稳定性
h(n)
（4）根据框图求h(t),h(n)
3 卷积定义 ( Convolution)
r (t ) e(t ) h(t )
3.1 3.2

e( )h(t )d
系统的零状态响应＝激励与系统冲激响应的卷积
卷积的性质 与图解 与冲激函数的卷积及其推广
f (t ) * (t t0 ) (t t0 ) * f (t ) f (t t0 )
f2(k)--> f2(k)
(2)反褶：将f2(k)以纵轴为对称轴反褶，得f2(n－k)
(3)平移：将f2(－k)沿k轴自左向右平移n，得f2(n－k)，
n>0时，右移n，n<0时，左移 |n|； (4)相乘求和：对给定的n，计算两波形重合部分的乘 积f1(k)f2(n－k)的各点值，取和得到该n值下的f(n)；
例如：已知系统的单位样值响应 h(n) a nu(n) 激励 x(n) bnu(n) a b 求零状态响应 y ( n) ?
解:
y ( n) x ( n) * h( n)
n k 0
x(n)和h(n)均为因果信号
n k 0
y ( n ) x ( k ) h( n k ) b k a n k
t1 0
t1
e(t )t (t t )
1 1 1

卷积的物理含义图解：
k (t t1 )
A
kh(t t1 ) e(t1 )t1h(t t1 )
A
e(t1 )t1 (t t1 )
LTI系统的性质 e(t)为激励系统的零状态响应
r (t ) lim
f (n n1 ) * (n n2 ) (n n1 ) * f (n n2 ) f (n n1 n2 )
二、卷积和的图解说明
f (n) f1 (n) f 2 (n)
卷积和的图解步骤：
k
f (k ) f
1

2
(n k )
(1)变量置换： f1(k)--> f1(k),
§2.5 卷积和—已知单位样值响应， 求系统零状态响应 一、 卷积和定义
e(n)

h( n)
r (n) e(n) * h(n)
e(n)
Convl89.m
k
e(k ) (n k )
r ( n ) e( n ) * h ( n )
k
e( k ) h ( n k )
f (t ) f1(t ) * f 2 (t ) 则： f (i ) (t ) f1( j ) (t ) * f2(i j ) (t )
其中，I，j取正整数时，为导数阶次 若I，j取负整数时，为重积分次数，如
f (t ) f
(1) 1
(t ) * f 2
( 1)
t d (t ) f1 t * f 2 ( )d dt

t1 d t1
t1
e(t1 )t1 (t t1 ) e(t1 )t1h(t t1 )
r (t )
r (t ) lim
t1 0
t1


e(t1 )t1h(t t1 )
r (t ) e( )h(t )d


e(t ) lim
f (t ) f1 (t ) f 2 (t ) f1 ( ) f 2 (t )d


2.4.2卷积的图解说明
卷积的图解步骤： (1)变量置换： f1(t)--> f1(), f2(t)--> f2() (2)反褶：将f2()以纵轴为对称轴反褶，得f2(－) (3)平移：将f2(－)沿轴自左向右平移t，得f2(t－)，t 从-向+ 变化； (4)相乘：函数f1()与f2(t－)相乘，两波形重叠部分有 值，不重叠部分乘积为0； (5)积分：计算积分 f1 ( ) f 2 ( t ) d ，f1()与f2(t－)乘 积曲线下的面积为t时刻卷积值。
b n 1 1 ( b n k n a) a ( ) a b a 1 k 0 a n

a
n 1
b a b
n 1
u ( n)
第二章 连续时间系统的时域分析方法 要内容
1 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ微分(差分）方程的解——求时域响应