二次函数（分段函数） 一、根据文字表达式获取分段函数信息例1 在黄州服装批发市场，某种品牌的时装当季节即将来临时，价格呈上升趋势，设这种时装开始时定价为20元，并且每周（7天）涨价2元，从第6周开始保持30元的价格平稳销售；从第12周开始，当季节即将过去时，平均每周减价2元，直到第16周周末，该服装不再销售．试建立销售价y 与周次x 之间的函数关系式．分析：本题要善于从文字信息中提炼出函数关系，可先采用列表法找出周次x 和销售价y 对应信息，然后根据表格中对应关系列出分段函数表达式． 周次（x ） 1 2 3 4 5 6 … 11 12 13 14 15 16 销售价（y ） 20222426283030302826242220解：依题意，可建立的函数关系式为：()()()()()⎪⎩⎪⎨⎧≤≤--≤≤≤≤-+=16121123011630611220x x x x x y ；即()()()⎪⎩⎪⎨⎧≤≤+-≤≤≤≤+=16125221163061182x x x x x y 二、根据已知分段函数解析式求解 例2 心理学家研究发现，一般情况下，学生的注意力随着教师讲课时间的变化而变化，讲课开始时，学生的注意力逐步增强，中间有一段时间学生的注意力保持较为理想的状态，随后学生的注意力开始分散，经过实验分析可知，学生的注意力y 随时间t 的变化规律有如下关系式：⎪⎩⎪⎨⎧≤+-≤≤++-=)4020(3807)2010(240)100(100242t t t t t t y（1）讲课开始后第5分钟时与讲课开始后第25分钟时比较，何时学生的注意力更集中？ （2）一道数学难题，需要讲解24分钟，为了效果较好，要求学生的注意力最低达到180，那么经过适当安排，老师能否在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目？解：（1）当x=5时，代入y=－t 2+24t+100中，得y=195；当x=25时，代入y=－7t+24t+100中，得y=205．∴讲课开始后第25分钟时学生的注意力比讲课开始后第5分钟时更集中． （2）当0＜t≤10时，令y=－t 2+24t+100=180，得t=4；当10＜t≤20时，y=240；当20＜t≤40时，y=－7t+380=180，得t=28.57．所以学生注意力在180以上的持续时间为28.57-4=24.57（分钟）．∴老师可以经过适当安排，能在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目． 4一蔬菜基地种植的某种绿色蔬菜，根据今年的市场行情，预计从五月一日起的50天内，它的市场售价y 1与上市时间x 的关系可用图1的一条线段表示：它的种植成本y 2与上市时间x 的关系，可用图2中抛物线的一部分来表示。
(1)求出图1中表示的市场售价y 1与上市时间x 的函数关系式。
(2)求出图2中表示的种植成本y2与上市时间x的函数关系式。
(3)假定市场售价减去种植成本为纯利润，问哪天上市的这种绿色蔬菜既不赔本也不赚钱？(市场售价和种植成本的单位：元/千克，时间单位：天，122=144，132=169，142=196)简解：(1)设y1=kx+b，由于图象过(0，5.1)、(50，2.1)两点，∴，解得∴y1=-x+5.1 0≤x≤50(2)由于抛物线的顶点坐标是(25，2)，∴可设抛物线的解析式为y2=a(x-25)2+2又∵抛物线过点(15，3)，∴3=a(15-25)2+2，得a=∴y2=(x-25)2+2，0≤x≤50(3)令y1=y2，得-x+5.1=(x-25)2+2，整理得x2-44x+315=0，解得x1=35，x2=9∵x1=35，x2=9均在0≤x≤50内，∴x1，x2均合乎题意。
故这种绿色蔬菜在五月九日和六月四日上市时既不赔本也不赚钱。
注：由于该题中的函数都是分段函数，因此求出的函数解析式必须写出自变量的取值范围。
6、某公司生产一种产品，每件成本3元，售价4元，年销售量20万件，为获得更好的效益，公司准备拿出一定资金做广告，根据经验，设广告费x 万元，做广告后的年销售量是原销售量的y 倍，且y 与x 的关系如图所示。
图中AB 是线段，BCD 是抛物线段，DE 是射线，如果把利润看成是销售总额减去成本费和广告费，（1）写出y 与x 的函数关系式；（2）试比较广告费分别为0.5万元和2.5万元时，产品销售量的大小；（3）试写出年利润s （万元）与广告费x （万元）之间的函数关系式231(0110177(13)1010101910(3)x x y x x x x ⎧+<≤⎪⎪⎪=-++<≤⎨⎪⎪⎪>⎩，………………………………………（3分） （2）当0.5x =时，130.51 1.1510y =⨯+=（倍），当 2.5x =时，221772.5 2.5 1.825101010y =-⨯+⨯+= ∵21y y >，∴当广告费为2.5万元时，产品销售量较大；………………………（7分）（3）2520(01)21314(13)38(3)x x s x x x x x +<≤⎧⎪=-++<≤⎨⎪-+>⎩，…………………………………………（10分）7某大学毕业生响应国家“自主创业”的号召，投资开办了一个装饰品商店．该店采购进一种今年新上市的饰品进行了30天的试销售，购进价格为20元／件．销售结束后，得知日销售量P(件)与销售时间x(天)之间有如下关系：P=-2x+80(1≤x≤30，且x 为整数)；又知前20天的销售价格1Q (元/件)与销售时间x(天)之间有如下关系：11Q 302x =+ (1≤x≤20，且x 为整数)，后10天的销售价格2Q (元/件)与销售时间x(天)之间有如下关系：2Q =45(21≤x≤30，且x 为整数)．(1)试写出该商店前20天的日销售利润1R (元)和后l0天的日销售利润2R (元)分别与销售时间x(天)之间的函数关系式；(2)请问在这30天的试销售中，哪一天的日销售利润最大?并求出这个最大利润．注：销售利润＝销售收入一购进成本．8通过实验研究，专家们发现：一个会场听众听讲的注意力指标数是随着演讲者演讲时间的变化而变化的，演讲开始时，听众的兴趣激增，中间有一段时间，听众的兴趣保持平稳的状态，随后开始分散。
听众注意力指标数y 随时间x(分钟)变化的函数图像如下图所示(y 越大表示听众注意力越集中)。
当0≤x≤10时，图像是抛物线的一部分，当10≤x≤20和20≤x≤40时，图像是线段。
(1)当0≤x≤10时，求注意力指标数y 与时间x 的函数关系式；(2)王标同学竞选学生会干部需要演讲24分钟，问他能否经过适当安排，使听众在听他的演讲时，注意力的指标数都不低于36？若能，请写出他安排的时间段；若不能，也请说明理由。
9落实国务院副总理李克强同志到恩施考察时的指示精神,最近，州委州政府又出台了一系列“三农”优惠政策,使农民收入大幅度增加.某农户生产经销一种农副产品,已知这种产品的成本价为20元/千克.市场调查发现,该产品每天的销售量ｗ(千克)与销售价ｘ(元/千克)有如下关系:ｗ=－2ｘ＋80.设这种产品每天的销售利润为ｙ(元).(1)求ｙ与ｘ之间的函数关系式.(2)当销售价定为多少元时,每天的销售利润最大?最大利润是多少?(3)如果物价部门规定这种产品的销售价不得高于28元/千克,该农户想要每天获得150元的销售利润,销售价应定为多少元?10某商场试销一种成本为每件60元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于45%，经试销发现，销售量y （件）与销售单价x （元）符合一次函数y kx b =+，且65x =时，55y =；75x =时，45y =． （1）求一次函数y kx b =+的表达式；（2）若该商场获得利润为W 元，试写出利润W 与销售单价x 之间的关系式；销售单价定为多少元时，商场可获得最大利润，最大利润是多少元11、某商品的进价为每件30元，现在的售价为每件40元，每星期可卖出150件.市场调查反映：如果每件的售价每涨1元（售价每件不能高于45元），那么每星期少卖10件.设每件涨价x 元（x 为非负整数），每星期的销量为y 件.（1）求y 与x 的函数关系式及自变量x 的取值范围；（2）如何定价才能使每星期的利润最大且每星期销量较大？每星期的最大利润12（本题满分10分）某商品的进价为每件40元，如果售价为每件50元，每个月可卖出210件；如果售价超过50元但不超过80元，每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖1件；如果售价超过80元后，若再涨价，则每涨1元每月少卖3件.设每件商品的售价为x元，每个月的销售量为y件.（1）求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围；（2）设每月的销售利润为W，请直接写出W与x的函数关系式；（3）每件商品的售价定位多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元例3、某公司专销产品A，第一批产品A上市40天内全部售完．该公司对第一批产品A上市后的市场销售情况进行了跟踪调查，调查结果如图所示，其中图(3)中的折线表示的是市场日销售量与上市时间的关系；图(4)中的折线表示的是每件产品A的销售利润与上市时间的关系．（1）试写出第一批产品A的市场日销售量y与上市时间t的关系式；（2）第一批产品A上市后，哪一天这家公司市场日销售利润最大？最大利润是多少万元？(1) 由图3可得，当0≤t ≤30时，市场日销售量y 与上市时间t 的关系是正比例函数， 所以设市场的日销售量：y=kt ，∵ 点（30，60）在图象上， ∴ 60=30k ．∴ k =2．即 y =2t ，当30≤t ≤40时，市场日销售量y 与上市时间t 的关系是一次函数关系， 所以设市场的日销售量：y=k 1t+b ，因为点（30，60）和（40，0）在图象上，所以 116030040k b k b =+⎧⎨=+⎩ ，解得 k 1=－6，b =240．∴ y =－6t +240． 综上可知，当0≤t ≤30时，市场的日销售量：y =2t ，当30≤t ≤40时，市场的日销售量：y=-6t+240。
(2) 由图4可得，当0≤t ≤20时，市场销售利润w 与上市时间t 的关系是正比例函数， 所以设市场的日销售量：w=kt ，∵ 点（20，60）在图象上， ∴ 60=20k ．∴ k=3．即 w=3t ，当20≤t ≤40时，市场销售利润w 与上市时间t 的关系是常数函数， 所以，w=60，∴ 当0≤t ≤20时，产品的日销售利润：m=3t ×2t =6t 2； ∵k=6＞0，所以，m 随t 的增大而增大，∴ 当t =20时，产品的日销售利润m 最大值为：2400万元。