法二：利用参数 a 作为媒介，换元后构造新函数：
不妨设 x1 x2 ，
∵ ln x1 ax1 0, ln x2 ax2 0 ，∴ ln x1 ln x2 a(x1 x2 ), ln x1 ln x2 a(x1 x2 ) ，
∴ ln x1 ln x2 x1 x2
a ，欲证明 x1x2
ln t t 1
t ln t t 1
，
故
x1x2
e2
ln
x1
ln
x2
2
t t
1ln t 1
2 ，转化成法二，下同，略.
★例 3.已知 x1, x2 是函数 f (x) ex ax 的两个零点，且 x1 x2 . （1）求证： x1 x2 2 ； （2）求证： x1 x2 1.
(2)要证： x1x2
(t) (0) 0，从而 h(t) 0 ， h(t) 在 (0,) 单调递减，∴ h(t) h(0) 0 ，即证原不
等式成立.
【点评】从消元的角度，消掉参数 a ，得到一个关于 x1, x2 的多元不等式证明，利用换元思
想，将多元不等式变成了一元不等式，并通过构造函数证明相应不等式.
★例 4.已知函数 f (x) x eax (a 0) ，若存在 x1, x2 (x1 x2 ) ，使 f (x1) f (x2 ) 0 ，求
（2）见解析[KS5UKS5U.KS5U
∴
ln x0 1
x0 1
1 ，解得 x0 1
x0
e
1
∴切线的斜率为 1 ，∴切线方程为 x ey 1 0 e
（Ⅱ） hx af x g x aln x 1 1 x2 x
2
h x a x 1 x2 a 1 ， x 1
x 1
x 1
当 a 1 0 时，即 a 1时， h x 0 ， h x 在 1, 上单调递增；
【解析】∵ ax0
1
x1
x2 2
1 a
x1
2 a
x2 ，又依题意
f
(x)
(a
1)2 x
0，
得
f (x) 在定义域上单调递增，所以要证 ax0
1，只需证 f
(x2 )
f
(x1)
f
(2 a
x2 )
，
即
f
(2 a
x2 )
f
(ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ2 )
0 ……
不妨设
x1
x2
，注意到
f
(1) a
0
，由函数单调性知，有
2.难点 x1 x2 3ea1 1 的证明依赖利用 x1 x2 2 放缩.
★已知函数
.
（Ⅰ）讨论 的单调性；
（Ⅱ）设 ，证明：当
时，
；
（Ⅲ）设 是 的两个零点，证明
.
【答案】（Ⅰ） 在 上单调递减，在
上单调递增；（Ⅱ）当
时，
；
（Ⅲ）证明过程见解析
（Ⅱ）令
，则
.
求导数，得
，
当时
，
，
在 上是减函数.
x2 1
0 .[KS5UKS5U.KS5U
x1
又因为
x2
x1
0 ，因此
g x0
g
x1
2
x2
0
，即
g
x1
2
x2
g x0
.
又由 g x 4 mx 4 m 知 g x 在 0, 上单调递减，
x
所以
x1 x2 2
x0 ，即 x1 x2
2x0 .
★已知函数 f x 1n(x 1) ， g(x) 1 x2 x ．
a
a
a
式成立，故原不等式成立.
★已知函数 f (x) a 1 ln x(a R) . x
（1）若 a 2，求函数 f (x) 在 (1, e2 ) 上的零点个数；
（2）若 f (x) 有两零点 x1, x2 （ x1 x2 ），求证： 2 x1 x2 3ea1 1 .
【点评】1.方程的变形方向：① x1, x2 是函数 f (x) 的两个零点，1 是该函数的极值点.② x1, x2 是函数 h(x) 的两个零点， ea1 是该函数的极值点.
★ 设 函 数 f (x) a2x 1 2a ln ax(a 0) ， 函 数 f (x) 为 f (x) 的 导 函 数 ， 且 x
A(x1, f (x1)), B(x2 , f (x2 )) 是 f (x) 的图像上不同的两点，满足 f (x1) f (x2 ) 0 ，线段 AB
中点的横坐标为 x0 ，证明： ax0 1.
，也等价于
e2 et
1
1 (t t
t
0) ，等价于即证： t e2
et
1
0
令 h(t)
t
te2
et
1(t
0)
，则 h(t)
t
e2
1
t
e
t 2
et
t
e2 (1
t
t
e2 ) ，
2
2
又令 (t )
1
t
t
e2 (t
0) ，得(t)
1
t
t
e2
0 ，∴(t) 在 (0,) 单调递减，
2
22
e2 ，即证 ln x1 ln x2
2.
∵ ln
x1
ln
x2
a( x1
x2 ) ，∴即证 a
x1
2 x2
，
∴原命题等价于证明 ln x1 ln x2 2 ，即证：ln x1 2(x1 x2 ) ，令 t x1 , (t 1) ，
x1 x2
x1 x2
x2 x1 x2
x2
构造 g(t) ln t 2(t 1) ,t 1，此问题等价转化成为例 1 中思路 2 的解答，下略. t 1
x1
1 a
,
x2
1 a
，
构造函数 F (x)
f ( 2 x) a
f (x) ，则 F(x)
f (x)
f ( 2 a
x)
4(ax 1)3 x2 (2 ax)2
，
当 x 1 时， F(x) 0 ，即 F(x) 单调递减，当 x 1 时， F (x) F ( 1 ) 0 ，从而不等式
法三：直接换元构造新函数：
a
ln x1 x1
ln x2 x2
ln x2 ln x1
x2 x1
, 设 x1
x2 , t
x2 x1
, (t
1) ，
则
x2
tx1
,
ln tx1 ln x1
t
ln t ln ln x1
x1
t
，
反解出： ln
x1
ln t , ln t 1
x2
ln
tx1
ln t
ln
x1
ln t
M x1, g x1 ， N x2, g x2 ，记直线 MN 的斜率为 k ，若 k g x0 ，
证明： x1 x2 2x0 .
【答案】（1） 0, 2 （2）见解析
由题设得
g x0
g x1
x1
g x2
x2
4lnx1 lnx2
x1 x2
1 2
m
x1
x2
4
m
.
又
g
x1
2
x2
x1
8
x2
m
x1 x2 4 m ， 2
∴
g
x0
g
x1 x2 2
4lnx1 lnx2
x1 x2
8 x1 x2
x2
4
x1
lnx2
lnx1
2
x2 x1
x2 x1
x2
4
x1
ln
x2 x1
2
x2 x1
1
x2 1 x1
.
不妨设 0 x1 x2 ，
当 0 a 1时，由 h x 0 得， x1 1 a ， x2 1 a ，故 h x 在 1, 1 a 上单调递增，在 1 a, 1 a 上单调递减，在 1 a, 上单调递增；
当 a 0 时，由 h x 0 得， x0 1 a ， h x 在 1 a, 1 a 上单调递减，在 1 a, 上单调递增．
（2）证明：由
e e
x1 x2
a(x1 1) ，易知 a(x2 1)
x2
x1
1且 a
e
，
从而 ex1 ex2
ex1x2
x1 1 ，令 x2 1
x1 1,
x2 1 ，则 e
ln ln
1，
由于
x1x2
x1
x2
1，下面只要证明：
1
1
, (0
1
)
，
结合对数函数 y ln x 的图像可知，只需证： (, ln ), ( 1 , ln 1 ) 两点连线的斜率要比
当 0 a 1时， h x 有两个极值点，即 x1 1 a ， x2 1 a ，即 a 的范围是 (0,1)
点睛：利用导数证明不等式常见类型及解题策略(1) 构造差函数 h x f x g x .根据
差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式.（2） 根据条件，寻找目标函数.一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系，或
2
（Ⅰ）求过点 1,0 且与曲线 y f x 相切的直线方程；
（Ⅱ）设 h x af x g x ，其中 a 为非零实数， y h x 有两个极值点 x1, x2 ，且
x1 x2 ，求 a 的取值范围；