一：极值点偏移（俗称峰谷偏）问题的定义
对于可导函数在区间（a,b）上只有一个极大（小）值点,方程(f(x)=m)的解分别为且<<b.
则称函数f(x)在区间（a,b）上极值点偏移；
（1）则称函数f(x)在区间（a,b）上极值点偏移；
（2）则称函数f(x)在区间（a,b）上极值点偏移；
二：极值点偏移的判定定理
对于可导函数在区间（a,b）上只有一个极大（小）值点,方程
的解分别为且<<b.
（1）若则即函数f(x)在区间（a,b）上极大值点右偏；
（即峰偏右）
（2）若则即函数f(x)在区间上（a,b）极小值点左偏;
（即谷偏左）
（3）若则即函数f(x)在区间上（a,b）极大值点左偏;
（即峰偏左）
（4）若则即函数f(x)在区间上（a,b）极小值点右偏;
（即谷偏右）
x= x=
y=m
x
y=f(x) x= x=
拓展：
1） 若)()(x b f x a f -=+，则)(x f 的图象关于直线2
b
a x +=
对称；特别地，若)()(x a f x a f -=+（或f(x)=f(2a-x)），则)(x f 的图象关于直线a x =对称 2） 若函数f(x)满足
有下列之一成立：
①f(x)在
递增，在(a,2a)递减,且f(a-x)<（>）f(a+x)(f(x)<(>)f(2a-x))
②f(x)在(0,a)递减,在(a,2a)递增,且f(a-x)>(<)f(x+a)(f(x)>(<)f(2a-x))
则函数f(x)在(0,2a)的图象关于直线x=a 偏移(偏对称)(俗称峰谷偏函数)其中① 极大
值左偏（或右偏）也称峰偏左（或右）②极小值偏左（或偏右）也称谷偏左（或右）； 性质： 1)
)(x f 的图象关于直线a x =对称若
则
<=>
,(
=0,
);
2)已知函数是满足条件的极大值左偏（峰偏左）若则
则
,及
极值点偏移解题步骤： ①求函数f(x)的极值点； ②构造函数F(x)=f(x+)-f( (F(x)=f(
)-f(
,
F(x)=f(x+)-f(
, F(x)=f(x)-f(
)确定F(x)单调性
③结合F(0)=0（F(-)=0,F(判断F(x)符号从而确定f(x+),f(
( f(x+)
与f( f(x)与f(的大小关系;
答题模式： 已知函数y=f(x)满足,为函数y=f(x)的极值点,求证：
①求函数f(x)的极值点； ②构造函数F(x)=f(x+)-f(
确定F(x)单调性
③判断F(x)符号从而确定f(x+),f( 的大小关系;
假设F(x)在(0,+单调递增则F(x)>F(0)=0，从而得到x>0时f(x+)>f(
④
1.（2016年全国I 高考）已知函数有两个零点. 设x 1，x 2是的两个零点，证明：+x 2<
2. 2. (2010年高考天津卷理科21)（本小题满分14分）
已知函数f(x)=xe -x
（x ∈R ）.
(Ⅰ) 求函数f(x)的单调区间和极值；
(Ⅱ)已知函数y=g(x)的图象与函数y=f(x)的图象关于直线x=1对称，证明当x>1时，f(x)>g(x)
(Ⅲ)如果12,x x ≠且12()(),f x f x =证明122x x +> 证明：由题意可知g(x)=f(2-x),得g(x)=(2-x)2
x e
-
令F(x)=f(x)-g(x),即2()(2)x
x F x xe x e --=+-
于是22
'()(1)(1)x x F x x e
e --=--
当x>1时，2x-2>0,从而2x-2
e 10,0,F x e -->>又所以’(x)>0,从而函数F （x ）在[1,+
∞)是增函数。

又F(1)=-1-1
e e 0-=，所以x>1时，有F(x)>F(1)=0,即f(x)>g(x). Ⅲ)证明：（1）
若121212(1)(1)0,)), 1.x x x x x x --=I ===≠12由（）及f(x f(x 则与矛盾。

（2）若121212(1)(1)0,)),.x x x x x x -->I ==≠12由（）及f(x f(x 得与矛盾。

根据（1）（2）得1212(1)(1)0,1, 1.x x x x --<<>不妨设
由（Ⅱ）可知，)2f(x >)2g(x ,则)2g(x =)2f(2-x ，所以)2f(x >)2f(2-x ,从而
)1f(x >)2f(2-x .因为21x >，所以221x -<，又由（Ⅰ）可知函数f(x)在区间（-∞，1）
内事增函数，所以1x >22x -,即12x x +>2.
3. 已知函数．（I ）讨论的单调性； （II ）设，证明：当时，；
（III ）若函数的图像与x 轴交于A ，B 两点，线段AB 中点的横坐标为x 0，证明：（x 0）＜0． 解：（I ）
（i ）若单调增加. （ii ）若且当
所以单调增加，在单调减少. （II ）设函数则 当.
故当，………………8分
（III）由（I）可得，当的图像与x轴至多有一个交点，
故，从而的最大值为
不妨设
由（II）得从而
由（I）知，
4．已知函数 (m若f(x)有两个极值点且求证::
5. 已知函数 =(a若f(x)有两个不同零点且其极值点为求证:①
②
③
（已知函数 =(a，其图象与轴交于A()B()两点且求证：）
6. 已知函数 =(a若f(x)有两个不同零点且
求证：
7. 已知函数 =(a若f(x)有两个不同零点且求证：
-1
8. 已知函数 = f(求证:①
②
9．已知函数 =(a若f(x)有两个不同零点且
求证：
10. 已知函数 = f(求证:
11. 已知函数 =(a若f(x)有两个不同零点且求证：
12. 已知函数 =(a若f(x)=c有两个不同根求证：
13. 已知函数 =(a
①令g(x)在(0,3)单调递增求a范围;
②当a=2时,函数h(x)=f(x)-mx的图象与轴交于A(B(且又是h(x)导函数,满足证明
14．已知函数 (k
①若;
②若对都有f(x)求k范围;
③若且 f(证明：;
15. 已知函数(a
①
②f(x)的极值点为若存在且求证:;
16. 已知函数 (a);
①
②若f(x) 存在两个极值点，证明： ;
17. 已知函数与g(x)=3-在(1,1)处有相同切线；
①若y=2(x+n) 与y=f(x)图象有两个交点,求n范围；
②若两个极值点，证明：；
18. 已知函数(a
①
②若f(x)=g(x)+(a+1)有两个不同零点, 证明：;
19. 已知函数 ,(a;
①
②若f(x)=lng(x)-a与y=m,(m图象有两个交点A、B,线段A、B中点为证明：
;
20. 已知函数图象的一条切线为x轴；
①求a值；
②令g(x)=若存在满足证明:
21. 已知函数F(x)与f(x)=lnx关于直线y=x对称；
①若xf(x)对恒成立,求a最大值；
②设f(x)在(1,)的实根，
若在区间(1,)上存在
求证：
22．已知函数, (a；
①若函数f(x)的图象在x=0处的切线方程为y=2x+b,求a,b的值
②若函数f(x)在R上单调递增，求实数a的取值范围；
③如果函数g(x)=f(x)-(a-恰有两个不同的极值点证明:;
23．已知函数-(a-2)x-alnx (a；
①
②设函数若使得成立求实数a取值范围;
③若方程f(x)=c有两个不等的实数根,求证：
24. 已知函数
①若使得对上f(x)恒成立求实数a的取值范围；
②若g(x)=f(x)-ax-有两个不同零点求证：;
25．已知函数
①当时讨论y=f(x)在）上的单调性；
②y=f(x)有两个不同零点且求证：。