计算圆周率的一些公式 -|waruqi 发表于 2005-12-8 9:24:00 Machin公式
这个公式由英国天文学教授John Machin于1706年发现。
他利用这个公式计算到了100位的圆周率。
Machin公式每计算一项可以得到1.4位的十进制精度。
因为它的计算过程中被乘数和被除数都不大于长整数，所以可以很容易地在计算机上编程实现。
还有很多类似于Machin公式的反正切公式:
pi/4=arctg(1/2)+arctg(1/5)+ arctg(1/8) 1844.达塞利
= arctg(1/2)+ arctg(1/3)
=2 arctg(1/3)+ arctg(1/7)
=12 arctg(1/18)+8 arctg(1/57)-5 arctg(1/239)
在所有这些公式中，Machin公式似乎是最快的了。
虽然如此，如果要计算更多的位数，比如几千万位，Machin公式就力不从心了。
下面介绍的算法，在PC机上计算大约一天时间，就可以得到圆周率的过亿位的精度。
这些算法用程序实现起来比较复杂。
因为计算过程中涉及两个大数的乘除运算，要用FFT(Fast Four ier Transform)算法。
FFT可以将两个大数的乘除运算时间由O(n2)缩短为O(nl og(n))。
（FFT算法不在此文讲诉）
Ramanujan公式
1914年，印度数学家Srinivasa Ramanujan在他的论文里发表了一系列共14条圆周率的计算公式，这是其中之一。
这个公式每计算一项可以得到8位的十进制精度。
1985年Gosper用这个公式计算到了圆周率的17,500,000位。
1989年，David & Gregory Chudnovsky兄弟将Ramanujan公式改良成为：
这个公式被称为Chudnovsky公式，每计算一项可以得到15位的十进制精度。
1994年Chudnovsky兄弟利用这个公式计算到了4,044,000,000位。
Chud novsky公式的另一个更方便于计算机编程的形式是：
AGM(Arithmetic-Geometric Mean)算法
Gauss-Legendre公式：
初值：
重复计算：
最后计算：
这个公式每迭代一次将得到双倍的十进制精度，比如要计算100万位，迭代20次就够了。
1999年9月Takahashi和Kanada用这个算法计算到了圆周率的206,158,430,000位，创出新的世界纪录。
Borwein四次迭代式：
初值：
重复计算：
最后计算：
这个公式由Jonathan Borwein和Peter Borwein于1985年发表，它四次收敛于圆周率。
Bailey-Borwein-Plouffe算法
这个公式简称BBP公式，由David Bailey, Peter Borwein和Simon Pl ouffe于1995年共同发表。
它打破了传统的圆周率的算法，可以计算圆周率的任意第n位，而不用计算前面的n-1位。
这为圆周率的分布式计算提供了可行性。
1997年，Fabrice Bellard找到了一个比BBP快40％的公式：
（此上文为转载并改编）
计算pi的另一些公式:
1、作家勃朗爵士（1620-1684）
4/pi=(3*3*5*5*7*7*9*9*…)/(2*4*4*6*6*8*8*10*.,..)
并由数学家瓦利斯于1655年变换为连分数：
4/pi=1+ 1^2
——————————————
2+ 3^2
——————————
2+ 5^2
——————
2+………
2、pi=3+ 1
————————————————
7+ 1
————————————
15+ 1
————————
1+ 1
——————
292+……..
=[3,7,15,1,292,1,1,1,2,1,3,1,14,2,1,1,2,2,2,2,1,84,2,……..]
(南巴特.1770)
由此得近似数：
3/1，22/7，33/106，355/113，1039932/33102，104348/33215，…….
3、司徒.1833
pi/2=1- 1
————————————————
3-2*3
————————————
1-1*2
————————
3- 4*5
————————
1-3*4
—————— 3-………
4、pi=2+1/3*(2+2/5*(2+3/7*(2+ ……（2+k/(2k+1)*(2+….)）)……..)))…. (当k=2799时可精确到800位)
5、pi/6=1/2+1/2*1/(3*2^3)+((1*3)/(2*4))*(1/(5*2^5))+……
6、e^(pi*i)+1=0 (欧拉公式，也称世界上最杰出的公式)
7、4/pi=1+ 1
————————————
3+ 4
——————————
5+ 9
————————
7+……….
8、1+(1/2)^2+(1/3)^2+(1/4)^2+….(1/n)^2=pi^2/6
9、1+(1/2)^4+(1/3)^4+(1/4)^4+….(1/n)^4=pi^4/90
10、1+(1/2)^6+(1/3)^6+(1/4)^6+….(1/n)^6=pi^6/945
11、1+(1/2)^8+(1/3)^8+(1/4)^8+….(1/n)^8=pi^8/9450
12、1+(1/2)^10+(1/3)^10+(1/4)^10+….(1/n)^10=pi^10/93555
投针试验-------计算π的最为稀奇的方法之一 -|waruqi 发表于 2 005-12-8 18:39:00
计算π的最为稀奇的方法之一，要数18世纪法国的博物学家C·蒲丰和他的投针实验：在一个平面上，用尺画一组相距为d的平行线；一根长度小于d的针，扔到画了线的平面上；如果针与线相交，则该次扔出被认为是有利的，否则则是不利的．
蒲丰惊奇地发现：有利的扔出与不利的扔出两者次数的比，是一个包含π的表示式．如果针的长度等于d，那么有利扔出的概率为2/π．扔的次数越多，由此能求出越为精确的π的值．
公元1901年，意大利数学家拉兹瑞尼作了3408次投针，给出π的值为3．14 15929——准确到小数后6位．不过，不管拉兹瑞尼是否实际上投过针，他的实验还是受到了美国犹他州奥格登的国立韦伯大学的L·巴杰的质疑．通过几何、微积分、概率等广泛的范围和渠道发现π，这是着实令人惊讶的！。