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3å f Q1 = U 1 4
2å f Q2 = U 2 4
- S Q1 +1 f Q1
- S Q2 +1
´ i1
f Q2
´ i2
åf
Q3 = U 3 4
- S Q 3+1 f Q3
´ i3
式中： Q1 、 Q2 、 Q3 分别表示下四分位数、中位数和上四分位数;
Q1 的位置=
å f +1
4 2(å f + 1) 4 3(å f + 1) 4 =
Q2 的位置=
å f +1
2
Q3 的位置=
式中：
å f 表示资料的总次数。
（2） 、当采用向下累计次数的资料确定四分位数时，四分位数位置的公式是：
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论四分位数的计算
湖南工学院工商管理系 南华大学数理学院 （中国 祁德军 陈明
衡阳 421008）
[摘要]： 大多数的统计学原理教材对四分位数的计算不作介绍， 成为统计学原理教材中 的空白。本文主要就四分位数的计算,尤其是由组距式数列的计算进行论述，力图引起同仁 们的重视。 [关键词]：分位数 组距数列 四分位数 分位数根据其将数列等分的形式不同可以分为中位数，四分位数，十分位数、百分位数 等等。四分位数作为分位数的一种形式，在统计中有着十分重要的意义和作用，而大多数的 统计学原理教材只介绍其基本含义，对其具体计算，尤其是由组距数列计算都不作介绍，成 为统计学原理教材中的空白。那么，如何根据数列计算四分位数呢？一般来讲，视资料是否 分组而定。 一、根据未分组的资料计算四分位数 第一步:确定四分位数的位置。 四分位数是将数列等分成四个部分的数，一个数列有三个四分位数，设下四分位数、中 位数和上四分位数分别为 Q1 、 Q2 、 Q3 ，则： Q1 、 Q2 、 Q3 的位置可由下述公式确定:
2 ´ 566 - 273 4 ´ i2 = 800 ´ 100 = 793.33(元) 150
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åf
Q3 = U 3 4
- S Q 3+1 f Q3
566 - 138 4 ´ i3 = 900 ´ 100 = 897.41(元 ) 135
U 1 、 U 2 、 U 3 分别表示下四分位数、中位数和上四分位数所在组的上限; i1 、 i2 、 i3 分别表示下四分位数、中位数和上四分位数所在组的组距;
å f 表示总次数;
f Q1 、 f Q2 、 f Q3 分别表示下四分位数、中位数和上四分位数所在组的次数; S Q1 +1 表示下四分位数后一组的累计次数; S Q2 +1 表示中位数后一组的累计次数; S Q 3+1 表示上四分位数后一组的累计次数.
Q3 的位置=
å f + 1 = 566 + 1 = 141.75
4
同样可知： Q1 、 Q2 、 Q3 分别位于向下累计职工人数的第二组、第三组和第四组，月 工资四分位数分别为:
3å f Q1 = U 1 4
2å f Q2 = U 2 4
- S Q1 +1
f Q1
- S Q2 +1 f Q2
3 ´ 566 - 423 ´ i1 = 700 - 4 ´ 100 = 698.75(元 ) 120
Q1 =13.8 公斤、 Q2 =14.6 公斤、 Q3 =15.2 公斤
上例中（n+1）恰好为 4 的倍数，所以确定四分数较简单，如果（n+1）不为 4 的整数
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倍数，按上述分式计算出来的四分位数位置就带有小数，这时，有关的四分位数就应该是与 该小数相邻的两个整数位置上的标志值的平均数， 权数的大小取决于两个整数位置距离的远 近，距离越近，权数越大，距离越远，权数越小,权数之和等于 1。 例如： 某车间某月份的工人生产某产品的数量分别为 13、 13.5、 13.8、 13.9、 14、 14.6、 14.8、15、15.2、15.4 公斤，则三个四分位数的位置分别为：
例如：某企业职工按月工资的分组资料如下： 按月工资分组（元） 600 以下 600—700 700—800 800—900 900—1000 1000 以上 合 计 职工人数（人） 23 120 150 135 95 43 566 向上累计职工人数 23 143 293 428 523 566 —— 向下累计职工人数 566 543 423 273 138 43 ——
Q1 = 0.25 ´ 第二项 + 0.75 ´ 第三项
= 0.25 ´ 135 + 0.75 ´ 13.8 = 13.73 公斤
(
)
Q2 = 0.5 ´ 第五项 + 0.5 ´ 第六项
= 0.5 ´ 14 + 0.5 ´ 14.6 = 14.3 公斤
(
) )
Q3 = 0.75 ´ 第八项 + 0.25 ´ 第九项
Q1 的位置=
n + 1 11 + 1 = =3 4 4 2(n + 1) n + 1 11 + 1 Q2 的位置= = = =6 4 2 2 3(n + 1) 3 ´ (11 + 1) Q3 的位置= = =9 4 4
即变量数列中的第三个、第六个、第九个工人的某种产品产量分别为下四分位数、中位 数和上四分位数。即：
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计算结果同按下限公式计算的一致，即所求某企业职工月工资的三个四分数也分别为 698.75 元、793.33 元和 897.41 元。 作者简介： 祁德军（1961—） ，男，1983 年毕业于湖南财经学院计划统计系统计专业，毕业后一直 从事统计教学，现任湖南工学院工商管理系副教授。 陈明（1959—） ，男，1982 年毕业于湖南师范学院数学系数学专业，毕业后一直从事高 等数学教学，现任南华大学数理学院副教授。
2å f Q2 = L2 + 4 3å f Q3 = L3 + 4
- S Q1-1 f Q1
566 - 23 4 ´ i1 = 600 + ´ 100 = 698.75(元 ) 120
2 ´ 566 - 143 ´ i 2 = 700 + 4 ´100 = 793.33(元) 150 3 ´ 566 - 293 4 ´ i3 = 800 + ´ 100 = 897.41(元 ) 135
2(å f + 1) 4 3(å f + 1) 4
=
å f + 1 = 566 + 1 =283.5
2 2 3 ´ (566 + 1) = 425.25 4
Q3 的位置=
=
根据计算结果可知， Q1 、 Q2 、 Q3 分别位于向上累计职工人数的第二组、第三组和第 四组，月工资四分位数分别为:
åf
Q1 = L1 + 4
å f 表示总次数;
f Q1 、 f Q2 、 f Q3 分别表示下四分位数、中位数和上四分位数所在组的次数; SQ1-1 表示下四分位数前一组的累计次数; SQ 2 -1 表示中位数前一组的累计次数; SQ 3 -1 表示上四分位数前一组的累计次数。
（2） 、当累计次数是向下累计时，按上限公式计算各四分位数.
根据上述资料确定某企业职工的月工资的三个四分位数如下： （1） 、采用向上累计职工人数的资料得月工资四分位数的位置为:
Q1 的位置=
å f + 1 = 566 + 1 = 141.75
4 4
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Q2 的位置=
´ i1
2å f Q2 = L2 + 4
- S Q 2 -1 f Q2
´ i2
3å f Q3 = L3 + 4
- S Q 3-1 f Q3
´ i3
式中： Q1 、 Q2 、 Q3 分别表示下四分位数、中位数和上四分位数;
L1 、 L2 、 L3 分别表示下四分位数、中位数和上四分位数所在组的下限; i1 、 i2 、 i3 分别表示下四分位数、中位数和上四分位数所在组的组距;
n + 1 10 + 1 = 2.75 = 4 4 2(n + 1) n + 1 10 + 1 Q2 的位置= = = = 5.5 4 2 2 3(n + 1) 3 ´ (10 + 1) = 8.25 Q3 的位置= = 4 4 Q1 的位置=
即变量数列中的第 2.75 项、 第 5.5 项、 第 8.25 项工人的某种产品产量分别为下四分位 数、中位数和上四分位数。即：
Q1 的位置=
3(å f + 1) 4 2(å f + 1) 4 =
Q2 的位置=
å f +1
2
Q3 的位置=
式中：
å f +1
4
å f 表示资料的总次数。
åf
第三步，根据四分位数的位置算出各四分位数. （1） 、当累计次数是向上累计时，按下限公式计算各四分位数.
Q1 = L1 +
4
- SQ1-1 fQ1
n +1 4 2(n + 1) n + 1 = Q2 的位置= 4 2 3(n + 1) Q3 的位置= 4 Q1 的位置=
式中 n 表示资料的项数 第二步:根据第一步所确定的四分位数的位置，确定其相应的四分位数。 例如： 某车间某月份的工人生产某产品的数量分别为 13、 13.5、 13.8、 13.9、 14、 14.6、 14.8、15、15.2、15.4、15.7 公斤，则三个四分位数的位置分别为：