全等三角形（1）一．全等三角形的判定1：三边对应相等的两个三角形全等.简写成“边边边”或“SSS ”几何符号语言：在ABC ∆和DEF ∆中∵⎪⎩⎪⎨⎧===DF AC EF BC DE AB∴ABC ∆≌DEF ∆（SSS ）三．练习：1．下列说法正确的是（ ）A ．全等三角形是指形状相同的两个三角形B ．全等三角形的周长和面积分别相等C ．全等三角形是指面积相等的两个三角形D ．所有等边三角形都全等.2．如图，在ABC ∆中，AC AB =，D 为BC 的中点，则下列结论中：①ABD ∆≌ACD ∆；②C B ∠=∠；③AD 平分BAC ∠；④BC AD ⊥，其中正确的个数为（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个3．如图，若AC AB =，DC DB =，根据 可得ABD ∆≌ACD ∆.5．如图，点B 、E 、C 、F 在同一直线上，CF BE =，DE AB =，DF AC =.求证：D EGC ∠=∠6．在ABC ∆中，︒=∠90C ，D 、E 分别为AC 、AB 上的点，且BD AD =，BC AE =，DC DE =.求证：AB DE ⊥7．如图，点A 、C 、F 、D 在同一直线上，DC AF =，DE AB =，EF BC =求证：DE AB //四．强化练习：1．如图，AD AB =，CD CB =，︒=∠30B ，︒=∠46BAD ，则ACD ∠的度数是（ ）A ．120°B ．125°C ．127°D ．104°2．如图，线段AD 与BC 交于点O ，且BD AC =，BC AD =，则下面的结论中不正确的是（ ）A ．ABC ∆≌BAD ∆B ．DBA CAB ∠=∠C ．OC OB =D ．D C ∠=∠3．在ABC ∆和111C B A ∆中，已知11B A AB =，11C B BC =，则补充条件____________，可得到ABC ∆≌111C B A ∆．4．如图，CD AB =，DE BF =，E 、F 是AC 上两点，且CF AE =．欲证D B ∠=∠，可先运用等式的性质证明AF =________，再用“SSS ”证明________≌_________•得到结论．5．如图，在四边形ABCD 中，CD AB =，BC AD =.求证：①CD AB //；②BC AD //．6．如图，已知CD AB =，BD AC =，求证：D A ∠=∠．7．如图，AC 与BD 交于点O ，CB AD =，E 、F 是BD 上两点，且CF AE =，BF DE =．求证：⑴B D ∠=∠；⑵CF AE //8.如图，已知DC AB =，DB AC =．求证：12∠=∠．全等三角形（2）一．全等三角形的判定2：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等.简写为“边角边”或“SAS ” 几何符号语言：在ABC ∆和DEF ∆中∵⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=EF BC E B DE AB∴ABC ∆≌DEF ∆（SAS ）二．例题：如图，D 是ABC ∆中边BC 的中点，ACD ABD ∠=∠，且AC AB =.求证：⑴ABD ∆≌ACD ∆ ⑵EC EB =三．练习：1．如图，下列条件中能使ABD ∆≌ACD ∆的是（ ）A ．AC AB =，C B ∠=∠ B ．AC AB =，ADC ADB ∠=∠C ．AC AB =，CAD BAD ∠=∠ D ．CD BD =，CAD BAD ∠=∠2．如图，线段AB 、CD 互相平分交于点O ，则下列结论错误的是（ ）A ．BC AD =B ．DC ∠=∠ C ．BC AD // D ．OB OC =3．如图，已知BC AD //，BC AD =.求证：ADC ∆≌CBA ∆4．点A 、D 、F 、B 在同一直线上，BF AD =，且BC AE //.求证：⑴AEF ∆≌BCD ∆ ⑵CD EF //5．如图，DE CD ⊥于D ，DB AB ⊥于B ，BE CD =，DE AB =.求证：AE CE ⊥6．如图，ABC ∆和ECD ∆都是等边三角形，连接BE 、AD 交于O .求证：⑴BE AD = ⑵︒=∠60AOB四．强化练习：1.如图，BC DE ⊥于点E ，且CE BE =，15=+AC AB ，则ABD ∆的周长为（ ）A ．15B ．20C ．25D ．302.已知两边及其中一边的对角，作三角形，下列说法中正确的是（ ）A ．能作唯一的一个三角形B ．最多能作两个三角形C ．不能作出确定的三角形D ．以上说法都不对3.如图，已知1∠=∠B ，CF BE =，要使ABC ∆≌DEF ∆，下面所添的条件正确的是（ ）A ．DF AC =B ．EF BC = C ．EF AC =D ．DE AB =4.如图，在ABC ∆中，AC AB =，点E 、F 是中线AD 上的两点，则图中可证明为全等的三角形有（ ）A ． 3对B ．4对C ．5对D ．6对5.如图，点A 、E 、B 、D 在同一直线上，DE AB =，DF AC =，DF AC //.⑴求证：ABC ∆≌DEF ∆⑵你还可以得到的结论是 （写出一个即可）6.如图，OP 是AOC ∠和BOD ∠的平分线，OC OA =，OD OB =.求证：CD AB =7.如图，已知E 、F 是线段AB 上的两点，且BF AE =，BC AD =，B A ∠=∠.求证：CE DF =8.如图1，DEF ∆的顶点D 在ABC ∆的边BC 上（不与B 、C 重合），且︒=∠+∠180EDF BAC ，DF AB =，DE AC =，点Q 为EF 的中点，直线DQ 交直线AB 于点P .⑴猜想BPD ∠与FDB ∠的关系，并加以证明；⑵当DEF ∆绕点D 旋转，其他条件不变，⑴中的结论是否始终成立？若成立，请你写出真命题；若不成立请你在图2中画出相应的图形，并给出正确的结论（不需要证明）全等三角形（3）一．全等三角形的判定3：有两角和其夹边对应相等的两个三角形全等.简写成“角边角”或“ASA ” 全等三角形的判定4：有两角和其一角对边对应相等的两个三角形全等.简写成“角角边”或“AAS ” 几何符号语言：在ABC ∆和DEF ∆中∵⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠E B DE AB D A∴ABC ∆≌DEF ∆（ASA ）或：在ABC ∆和DEF ∆中∵⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠∠=∠EF BC E B D A∴ABC ∆≌DEF ∆（AAS ）二．例题：如图，CE AE =，CE AE ⊥，︒=∠=∠90B D求证：DB AB CD =+三．练习：1．如图，ABC ∆和DEF ∆中，下列能判定ABC ∆≌DEF ∆的是（ ）A ．DF AC =，EF BC =，D A ∠=∠B ．E B ∠=∠，FC ∠=∠，DF AC =C ．D A ∠=∠，E B ∠=∠，F C ∠=∠ D ．E B ∠=∠，F C ∠=∠，DE AC =2．如图为打碎的一块三角形玻璃，现在要去玻璃店配一块完全一样的玻璃，最省事的方法是（ ）A ．带①去B ．带②去C ．带③去D ．带①和②去3．如图，BC AD =，BD AC =，则图中全等三角形有（ ）A ．1对B ．2对C ．3对D ．4对4．如图，AB CD ⊥于D ，AC BE ⊥于E ，AO 平分BAC ∠，则图中全等三角形有（ ）A ．1对B ．2对C ．3对D ．4对5．如图，21∠=∠，AD AB =，若想使ABC ∆≌ADE ∆，则需增加一个条件，你增加的条件为： .并加以证明.6．如图，已知21∠=∠，43∠=∠求证：BE BD =四．强化练习：1．已知B A AB ''=，A A '∠=∠，B B '∠=∠，则ABC ∆≌C B A '''∆的根据是（ ）A ．SASB ．SSAC ．ASAD ．AAS2．ABC ∆和DEF ∆中，DE AB =，E B ∠=∠，要使ABC ∆≌DEF ∆ ，则下列补充的条件中错误的是（ ）A ．DF AC =B ．EF BC = C ．D A ∠=∠ D ．F C ∠=∠3．如图，AD 平分BAC ∠，AC AB =，则图中全等三角形的对数是（ ）A ．2对B ．3对C ．4对D ．5对4．如图，已知CD AB //，欲证明AOB ∆≌COD ∆，可补充条件________．（填写一个适合的条件即可）5．如图，AC AB ⊥，CD BD ⊥，21∠=∠，欲得到CE BE =，•可先利用_______，证明ABC ∆≌DCB ∆，得到______=______，再根据___________•证明________•≌________，即可得到CE BE =．6．如图，AC 平分DAB ∠和DCB ∠，欲证明AED AEB ∠=∠，•可先利用___________，证明ABC ∆≌ADC ∆，得到______=_______，再根据________，证明______≌________，即可得到AED AEB ∠=∠.7．如图，AE AC =，E C ∠=∠，21∠=∠.求证：ABC ∆≌ADE ∆．8．已知ABC ∆≌C B A '''∆，AD 和D A ''分别是BC 和C B ''边上的高，AD •和D A ''相等吗？为什么？9．如图，已知CE BD =，21∠=∠，那么AC AB =，你知道这是为什么吗？10．已知如图，AB CE ⊥于点E ，AC BD ⊥于点D ，BD 、CE 交于点O ，且AO 平分BAC ∠. ⑴图中有多少对全等的三角形？请你一一列举出来（不要求说明理由）⑵小明说：欲证CD BE =，可先证明AOE ∆≌AOD ∆得到AD AE =，再证明ADB ∆≌AEC ∆得到AC AB =，然后利用等式的性质即可得到CD BE =，请问他的说法正确吗？•如果不正确，请说明理由；如果正确，请按他的思路写出推导过程．⑶要得到CD BE =，你还有其他的思路吗？若有，请仿照小明的说法具体说一说你的想法．全等三角形（4）一．全等三角形的判定5：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.简写为“斜边、直角边”或“HL ”几何符号语言：∵︒=∠=∠90F C∴在ABC Rt ∆和DEF Rt ∆中∵⎩⎨⎧==DF AC DE AB ∴ABC ∆≌DEF ∆ 二．例题：如图，OA PC ⊥于C ，OB PD ⊥于D ，且PD PC =求证：DPO CPO ∠=∠三．练习：1．下列命题中正确的有（ ）①两直角边对应相等的两直角三角形全等；②两锐角对应相等的两直角三角形全等；③斜边和一条直角边对应相等的两直角三角形全等；④一锐角和斜边对应相等的两直角三角形全等.A ．2个B ．3个C ．4个D ．1个2．如图，ABC ∆和EDF ∆中，︒=∠=∠90D B ，E A ∠=∠，点B 、F 、C 、D 在同一条直线上，在增加一个条件，不能判定ABC ∆≌EDF ∆的是（ ）A ．ED AB = B ．EF AC = C ．EF AC //D ．DC BF =3．如图，AC AB =，AC BD ⊥于D ，AB CE ⊥于E ，图中全等三角形的组数是（ ）A ．2B ．3C ．4D ．54．如图，BD AE ⊥于E ，BD CF ⊥于F ，CD AB =，CF AE =.求证：CD AB //5．如图，点A 、B 、C 、D 在同一条直线上，CD AB =，AD EB ⊥，AD FC ⊥，且DF AE = 求证：DE AF =6．在ABC ∆中，︒=∠90BAC ，AC AB =，AE 是过点A 的一条直线，且AEBD ⊥于D ，AE CE ⊥于E .⑴当直线AE 处于如图1的位置时，猜想BD 、DE 、CE 之间的数量关系，并证明.⑵请你在图2选择与⑴不同位置进行操作，并猜想⑴中的结论是否还成立？加以证明；⑶归纳⑴、⑵，请你用简洁的语言表达BD 、DE 、CE 之间的数量关系. 四．强化练习：1．在下列所给的四组条件中，不能判定ABC Rt ∆≌C B A Rt '''∆ (其中︒='∠=∠90C C )的是( )A ．C A AC ''=，A A '∠=∠B ．C A AC ''=，C B BC ''=C. A A '∠=∠，B B '∠=∠D. C A AC ''=，B A AB ''=2.使两个直角三角形全等的条件是（ ）A ．一组锐角对应相等B ．两组锐角对应相等C ．一条边对应相等D ．两条边对应相等3.如图，在ABC ∆中，BC AD ⊥于点D ，AB CE ⊥于点E ，AD 、CE 交于点H ，已知3==EB EH ，4=AE ，则CH 的长为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．44.如图，已知︒=∠=∠90ADB ACB ，欲说明BD BC =，可补充条件 .（填写一个即可）5.如图，A 、B 、C 、D 在同一条直线上，AD EA ⊥，AD FD ⊥，且CD AB =，BF CE =，则CE 与BF 的位置关系为 .6.如图，AC AB =，BC AD ⊥于D .求证：AD 平分BAC ∠，CD BD =7.如图，AC AB =，AF AE =，EC AE ⊥于E ，FB AF ⊥于F .求证：21∠=∠8.如图，在ABC ∆和C B A '''∆中，CD 、D C ''分别是高，并且C A AC ''=，D C CD ''=，B C A ACB '''∠=∠.求证：ABC ∆≌C B A '''∆9.如图，A 、E 、F 、B 在同一条直线上，CE AC ⊥于C ，DF BD ⊥于D ，BF AE =，BD AC =.探究CF 与DE 的关系，并说明理由.全等三角形（5）一．全等三角形的性质：全等三角形的对应角 ，对应边 . 二．全等三角形的判定：1.判定两个三角形全等的方法有：⑴________________________________________的两个三角形全等(SSS )．⑵________________________________________的两个三角形全等(SAS )．⑶________________________________________的两个三角形全等(ASA )．⑷________________________________________的两个三角形全等(AAS AAS)．2，判定两个直角三角形全等的方法还有：_______________________的两个直角三角形全等(HL )．三．例题：1.如图已知ABC ∆的六个元素，则下面甲、乙、丙三个三角形中和ABC ∆全等的图形是( )．A.甲和乙 B ．乙和丙C.只有乙D.只有丙2.如图，在ABC ∆和DEF ∆中，B 、E 、C 、F 在同一直线上，下面有四个条件，请你从中选三个作为题设，余下的一个作为结论，写出一个正确．．的命题，并加以证明． ①DE AB =，②DF AC =，③DEF ABC ∠=∠，④CF BE =．3.如图，OB OA =，OD OC =，︒=∠=∠90COD AOB .猜想线段AC 、BD 的关系，并说明理由.4. 如图1，正方形通过剪切可以拼成三角形.仿照上面图示的方法，解答下列问题：操作设计（在原图上画出即可）：⑴如图2，对直角三角形，设计一种方案，将它分成若干块，再拼成一个与原三角形等面积的长方形； ⑵如图3，对任意三角形，设计一种方案，将它分成若干块，再拼成一个与原三角形等面积的长方形．四．练习：1．下列给出的四组条件中，能判定ABC ∆≌DEF ∆的是（ ）A ．DE AB =，EFBC =, D A ∠=∠ B ．D A ∠=∠,F C ∠=∠,EF AC =C ．D A ∠=∠,E B ∠=∠,F C ∠=∠ D ．DE AB =, EF BC =,ABC ∆周长＝DEF ∆周长2．若ABC ∆≌DEF ∆，且ABC ∆的周长为20，5=AB ，8=BC ，则DF 长为（ ）A ．５B ．８C ．７D ．５或８3．如图,D 在AB 上，E 在AC 上，且C B ∠=∠，那么补充下列一个条件后，仍无法判定ABE ∆≌ACD ∆的是( )A ．AE AD =B ．ADC AEB ∠=∠ C ．CD BE = D ．AC AB =4．如图，将两根钢条A A '、B B '的中点O 连在一起，使A A '、B B '可以绕着点O 自由转动，就做成了一个测量工件，则B A ''的长等于内槽宽AB ，那么判定AOB ∆≌B O A ''∆的理由是( )A ．边角边 B.角边角 C.边边边 D.角角边5．在ABC ∆和C B A '''∆中，︒=∠44A ，︒=∠67B ，︒='∠69C ，︒='∠44B ，且C A AC ''=，那么这两个三角形（ ）A ．一定不全等 B.一定全等C.不一定全等D.以上都不对6.如图，若ABC ∆≌DEF ∆，则E ∠等于（ ）A.30°B.50°C.60°D.100°7. 已知DE AB //，DE AB =，DC AF =，请问图中有哪几对全等三角形？并任选其中一对给予证明.8.如图，给出五个等量关系：①BC AD = ②BD AC = ③DE CE = ④C D ∠=∠ ⑤CBA DAB ∠=∠．请你以其中两个为条件，另三个中的一个为结论，推出一个正确的结论（只需写出一种情况），并加以证明．9.如图，以ABC∆与∆的边AB、AC为边分别向外作正方形ABDE和正方形ACFG，连结EG，试判断ABC ∆面积之间的关系，并说明理由．AEG。