上 页
两条射线
下
页 3、若常数2a＞ ︱ F1F2 ︱轨迹是什么？
小
结
结
没有轨迹
束
动 1、建系设点。
画
音 设M（x , y）,双曲线的焦距
乐
为2c（c>0）,F1(-c,0),F2(c,0)
首 常数=2a
页
F1
y
M
o F2 x
上 页
2,双曲线就是集合：
下
页 P= {M ||MF1 | - | MF2|| = 2a }
小 结
结 束
定义
动 画
|MF1|+|MF2|=2a（2a>|F1F2|）
音 乐
图象
首 页
上 页
··· y M
F1 oF2 x
y
·F2
M
· o
x
·F1
下 页
方程
小 结
x2 y2 a2 b2 1
y2 x2 a2 b2 1
结 束
焦点
a.b.c 的关系
F ( ±c,0)
F(0, ± c)
a2=b2+c2
结 束
动 画
音 乐
首 页
上 页
下 页
小 结
结 束
M点运动时，M点满足什么条件？
动 画
①如图(A)，当 |MF1|>|MF2| 时
音 乐
|MF1|-|MF2|=|F2F|=2a
②如图(B)，当 |MF1|<|MF2| 时
首
|MF2|-|MF1|=2a
页 由①②可得：
上 页
| |MF1|-|MF2| | = 2a
F(0,±5)
16 9
9 16
例1, 已知双曲线的焦点为F1(-5,0),F2(5,0)，
动 画
双曲线上一点P到F1、F2的距离的差的绝对值
音 乐
等于6，求双曲线的标准方程.
解：因为双曲线的焦点在 x 轴2 y2
上 页
a2 b2 1 (a 0, b 0)
下 （差的绝对值）
页
小 上面 两条合起来叫做双曲线
结
结 束
分析：2a与|F1F2| 的大小关系
2a< |F1F2|
动
双曲线的定义
画
音 乐
平面内与 两定点 F1、F2
y
M
的距离的_差__的__绝__对__值__
首
F1 o F2 x
页 上
为_常__数__2_a____(小__于__|_F_1_F_2_|)_
首
页 上
解：∵
|
|PF1|
-
|PF2|
|
=
6
P
页
下 页
∴ | 10 - |PF2| | = 6
小
结
结 束
∴ |PF2| =4或16
动
如果方程
x2
y2

1
画
2m m1
音 乐
表示双曲线，求m的范围
解:（2+m)(m+1)>0，∴m<-2或m>-1
首 页
变式1：上述方程表示椭圆时，求m的范围
上
页 变式2: 上述方程表示焦点在y轴的双曲线时，
下
页 叫做双曲线的标准方程
小
结 它所表示的双曲线的焦点在 x 轴上，
结
束 焦点是F1(-c,0),F2(c,0)，这里 c2=a2+b2
? 想一想
动 画
音 焦点在y轴上的双曲线
乐
的标准方程是：
首 页
y2 x2
上
1
页 下
a2 b2
页
小 结
（a>0 b>0）
结 束
y
动 x2 y2
画 a2 b2 1
M
音
乐
F1 o F2 x
F ( ±c, 0)
y2 a2

x2 b2
1
F(0, ± c)
首
页 问题：如何判断焦点在哪个轴上？
上
页
练习：写出以下双曲线的焦点坐标
下
页 小
x2 y2 1, 1
2,
x2 y2 1
F(±5,0)
结
16 9
9 16
结 束
3, y2 x2 1
4,
y2 x2 1
下 页
求m的范围。
小
结 变式3 : 上述方程表示焦点在x轴的椭圆时，
结 束
求m的范围。
动
画
音 乐
• 证明椭圆
x2 y2 25 + 9 = 1
与双曲线x2-15y2=15的焦点相同
首 页
上 页
下 页
小 结
结 束
定义
动 画
音 乐
| |MF1|-|MF2| | =2a（2a<|F1F2|）
y
M
图象
首 页
动 画
音 乐
首 页
y
上
M
页
下
页
F1
o
F2
x
小
结
结 束
南康中学 周海钰
1. 什么叫做椭圆？
动 画
平面内与两定点F1、F2 (|F1F2|=2c)的距离的 和
音 乐
等于常数2a ( 2a>|F1F2|=2c>0)的点的轨迹
首
Y Mx, y
页
上 页
O
下 页
F1 c, 0
F2 c, 0 X
页
下
的点M的轨迹 叫做双曲线。
页
小 结
其中两个定点F1、F2叫做双曲线的焦点
结 束
|F1F2|=2c 叫做焦距
注意：在双曲线定义中必须有条件 2c >2a
.
动 画
音
1、平面内与两定点F1，F2的距离的差等于常 数（小于 ︱F1F2 ︱ ）的点的轨迹是什么？
乐
双曲线的一支
首 页
2、若常数2a= ︱ F1F2 ︱轨迹是什么？
小 结
结 束
即
(x+c)2 + y2 - (x-c)2 + y2 = +_ 2a
化简可得：
y
动
画 (c2-a2) x2-a2y2=a2(c2-a2)
音
乐 ∵c＞a，∴c2 ＞a2
令 (c2-a2)=b2 (b>0)
M
F1 o F2 x
首 页
上 页
得：
x2 y2 a2 b2 1
(a 0, b 0)
下 页
∵ 2a = 6, 2c =10
∴ a = 3, c = 5
小 结
∴ b2 = 52-32 =16
结 束
x2 y2 所以所求双曲线的标准方程为： 1
9 16
x2
例2:双曲线的标准方程为：
y2
1
动
9 16
画
音 乐
焦点为F1 , F2。 如果双曲线上有一点
Ｐ， 满足|ＰF1|=10, 则|ＰF2|=_4_或___1_6_
F1 o F2 x
上 页
下
页
方程
小
结
x2 y2 a2 b2 1
y2 x2 a2 b2 1
结 束
焦点
a.b.c 的关系
F ( ±c, 0)
F(0, ± c)
c2 a2 b2
动 画
音
乐
谢
首
页
上 页
下 页
小 结
结 束
谢
1. 什么叫做椭圆？
动 画
平面内与两定点F1、F2 (|F1F2|=2c)的距离的 和
音 乐
等于常数2a ( 2a>|F1F2|=2c>0)的点的轨迹
Y Mx, y
首 页
O
上
F1 c, 0
F2 c, 0 X
页 引入问题：
下
页
平面内与 两定点F1、F2 的距离的 差
小
结 等于常数 的点的轨迹是什么呢,方程又是什么呢？