t zx
y
,
-t
yz
x
2 C
s 0
2dxdy M
（6-2） （6-3） （6-4） （6-5）
（二）扭转位移
• 将式（6-1）（8-2）代入物理方程（3-a），得
x 0, y 0, z 0
xy
0,
yz
-
1 G
x
,
zx
1 G
y
代入几何方程（2），得
u 0, v 0, w 0, v u 0
• 取杆上端面为xOy面， M
Oz 轴向下。
O
x
y
M
z
O
x
-dx
dy ds
y
• 分析：由材料力学结果，柱体在扭转时，纵向 纤维间无挤压，也不伸缩，则：
s x s y s z t xy 0
（6-1）
• 只有横截面上存在剪应力t zy ,t zx 。体力为零。
将（6-1）式代入平衡方程(1)，得
（6-2）
• 将式（6-1），式（6-2）代入相容方程（4-b）， 前四式自然满足，其余两式为
2t zx 0, 2t yz 0
将式（6-2）代入，得
2 0, 2 0
x
y
由上式可知，2 应为常数，即
2 C
（6-3）
（一）边界条件分析
1.在杆的侧面上，有n=0及面力 X Y Z 0 ，将式（6-1）
• 由式（6-2），在应力函数 上加减一个常数，对应力 分量没有影响。故在单连通截面（即实心杆）的情况 下，可取
s 0
（6-4）
• 对多连通截面（即空心杆）的情况，应力函数 在
每一个边界上都是常数，但各常数一般不相同。只能
把其中的一个边界上的 s 取为零。
通常取外边界s0的 0 0 ，即
s 0 0 0
-
t
xzdxdy
-
y
dy
dx
-
(B
-
A
)dx
A,B 为截面边界上A，B点的 值，等于零。故合力条件
式自然满足。
( yX - xY )dxdy - ( yt zx - xt zy )dxdy
-
y
y
x
x
dxdy
-
dx
y
y
dy
-
dy
x
x
dx
- dx
同理：
y
y
dy
- dx ( yBB - yAA ) - dy
t zx 0 , t zy 0 , t zx t zy 0
z
z
x y
由前两式可知 t zy和t zx 应只是 x 和 y 的函数，不
随 z 变化。
• 第三式可写成
t zx (-t zy )
x y
必存在某一函数 (x, y)，使得：
t zx
y
,
-t
yz
x
称(x, y)为扭转问题的应力函数，
2 y 2 z 2 yz
z2 y2 yz
x
-
yz
x
zx
y
xy
z
2
2 yz
u x
y
yz
x
-
zx
y
xy
z
2
2 zx
v y
z
yz
x
zx
y
-
xy
z
2 2
xy
w z
(4-a)
(1
v) 2s
x
2Q x 2
0
(1
v) 2s
y
2Q y 2
0
(1
v) 2s
z
2Q z 2
-
dy
x
x
dx
dxdy
dxdy
2dxdy M
（6-5）
对多连通截面，设内部各边界
边界上的 值为i
si
所围截面积为 Ai ，各
n
M 2dxdy 2i Ai i 1
（6-6）
小结：对于扭转问题，只需式（6-3）和式（6-4）求出应
力函数 ，并由扭矩公式（6-5）或（6-6）定出所含
的待定常数，再由式（6-2）求出应力分量。
x y z
x y
w v - 1 , u w 1
y z G x z x G y
通过积分运算，如不计刚体位移，得位移分量为
u -Kyz
v Kxz
（6-7）
• K的几何意义：
在垂直于Oz轴的截面上取任 一点m(x,y)，变形后位移到m’ 点。令q为单位长度扭转角，a 为总扭转角。得
a qz , mm' rqz
代入应力边界条件（5-b）中，可见前两式自然满足，第三 式为
l(t zx )s m(t yz )s 0
由式（6-2）代入，且在边界上有
l
dy , ds
m - dx ，则
ds
y
s
dy ds
-
x
s
dx ds
ห้องสมุดไป่ตู้
d
ds
0
即在杆的侧面上（横截面的边界上），应力函数 所取的
变界值 s 应当是常数。
sj j
s0
sn
x
s2
s1
j为其他边界的待定常数。
y
2. 在杆的任一端面，l=m=0，n=-1，由应力边界条件式，
有
-t xz X , -t zy Y
在两端面，面力 X ,Y 合成力偶矩M，所以有： A
Xdxdy 0,
O
x
Ydxdy 0
B
( yX - xY )dxdy M
y
Xdxdy
0
(1
v)2t xy
2Q xy
0
(1
v) 2t
yz
2Q yz
0
(1
v) 2t
zx
2Q zx
0
(4-b)
边界条件：
位移边界条件：对于给定的表面Su，其上沿x，y，
z方向给定位移为
，则
(5-a)
应力边界条件：给定表面上的面力为
(5-b)
§6-1 等截面直杆的扭转
• 设等截面直杆，体力不计，在两端平面内受到 转向相反的两个力偶矩M作用。
y z G x z x G y
• 将式（6-8）代入上式的后两式，得
w - 1 -qx , w 1 qy
y G x
x G y
• 将上式分别对x,y求导，然后相减，得
2 -2Gq
即式（6-3）中的常数C为：
O
sin b y ， cosb x
r
r
u v
mm' mm'
rqz sin b rqz cosb
-qyz
qxz
（6-8）
y
比较式（6-7）和（6-8）得：
K q
（6-9）
B A
x
b
am m’
• 几何方程
u 0, v 0, w 0, v u 0
x y z
x y
w v - 1 , u w 1
第六章 柱形体的扭转
• 柱体的扭转是工程中广泛存在的一类实际问题。
• 材料力学中研究了圆截面杆的扭转，采用了平 面假设。
• 对非圆截面杆的扭转，一般横截面不再保持平 面，即截面产生翘曲。
• 对两端承受扭矩的等截面直杆，如截面的翘曲 不受限制，这类扭转称为自由扭转；如截面的 翘曲受到限制，则称为约束扭转。约束扭转条 件下，杆中会产生附加正应力。
• 本章讨论任意截面柱形杆的自由扭转。
• 空间问题的基本方程：
平衡方程
(1)
几何方程
x
u x
xy
u y
v x
y
v y
yz
w y
v z
(2)
z
w z
zx
u z
w x
• 物理方程
(3-a) ✓ 各种弹性常数之间的关系
(3-b)
• 相容方程
2 x 2 y 2 xy
y2 x2 xy
2 2 2
z x zx x2 z2 zx