例2.1.5 某一时间段内，车站到来的乘客数， 或在某一个区域里，野生动物的数量 … ； 它所有可能的取值是一切非负整数。 例2.1.6 在一个区间中随机等可能取一个点 X ； X 可能取这个区间中任何一个数。 例2.1.7 在一批电子元件中随机抽取一只测试 它的寿命 X ; X 可取任意一个非负的实数。 例2.1.8 一个物体的测量值与真实值的 误差 X ； X 可以取任意一个实数。
(4) 密度函数是分布函数的一阶导数， 分布函数是密度函数的一个特殊原函数。 F (x) = –x∞ f(t) dt f(x) = F (x) / x 这个性质用来计算随机变量函数的分布 (5) 连续随机变量在任一常数取值概率是 0， 即对每一个常数 c ，P { X = c } = 0 。 但是 (X = c) 并不一定是不可能事件。 即，零概率事件≠不可能事件
2.2 离散随机变量及分布律
2.2.1 离散随机变量
只取有限多或者可数无穷多个值的随机变量
1. 分布律(或概率分布)
指离散随机变量所有可能的取值以及 相应的概率。分布律一般表示成： P { X = xk } = pk ,k ≥ 1 。
2. 分布律的表格形式
X pk x1 p1 x2 p2 x3 … xn … p3 … pn …
第2章 随机变量及其分布
2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 随机变量 离散随机变量及分布律 随机变量分布函数 连续随机变量及概率密度 随机变量函数的概率分布
2.1 随机变量
2.1.1 随机变量的概念
随机变量是指取值随机会而定的变量， 它随着试验的不同结果而取不同的数值。 一个随机变量取值的规律称为它的 概率分布，简称 “分布”(distribution) 。 随机变量的分布包含两个部分： 取哪些值？取这些值相应的概率是多少？
3. 分布律的基本性质
pk ≥ 0 , k = 1, 2, 3, … ∑ k ≥ 1 pk = 1
例2.2.1 假设城市的某条街道有四个路口，汽车 在每个路口是否遇到红灯是独立的，并且概率 都是 p ，以 X 记汽车首次停下时通过路口数， 求 X 的概率分布。 解. X 的所有可能取值为：0，1，2，3，4。 ① ② ③ ④
离散随机变量分布函数的图形
1 p1+ p2 p1 ○ x1 ○ F (x) ... ○
阶梯型 跳跃线段
x
x2
x3
2.3.2 分布函数的主要性质
1. 非负有界 0 ≤ F (x) ≤ 1 ； ( 即概率定义中的非负与规范性 ) 2. 单调性 当 x1 ＜ x2，则F (x1) ≤ F (x2) ； ( 即A B 则有 P (A) ≤ P (B) ) 3. 极限性质 F ( -∞) = lim x→ -∞ F (x) = 0 ， F (+∞) = lim x→+∞ F (x) = 1 。
2.4.1 连续随机变量的定义
所有可能取值是连续区间的随机变量
1. 概率密度函数
非负函数 f (x)，使得分布函数 能够表示成关于它的积分：F 来自 x) x
f ( t ) dt
例2.4.1 下面是三个分布函数 0，x＜0， x/b，0≤x＜ b 1，x≥b 。 0，x≤0， F2 (x) = 1 - e – x,x ＞ 0 f2 ( x ) = 1/b，0＜x＜b ， f1 ( x ) = 0，其它 e - x,x ＞ 0 ， 0，其它
因此如果记 q = 1 – p ，则有： P { X = 0 } = p ；P { X = 1 } = pq ； P { X = 2 } = pq2 ；P { X = 3 } = pq3 ； P { X = 4 } = q4 。 验证：这 5 个概率的和应该等于 1。即 p + pq + pq2 + pq3 + q4 = p(1 + q + q2 + q3) + q4 1 – q4 = p + q4 = 1 。 1–q
2.3.3 利用分布函数计算概率
1. 对任意的实数 x1 ＜ x2 ， P { x1＜ X ≤ x2 } = F (x2) - F (x1) ； 2. P { X ＞x } = 1 - F (x) ；
Remark 这两个公式实际上来自概率的减法公式 以及对立事件的概率公式。
2.4 连续随机变量及概率密度
3. 概率密度函数的基本性质
f(x) (1)
(2)
f (x) ≥ 0 ；


f ( x ) dx 1
o
x
这也是概率密度函数的充分必要条件 比较离散分布律的两个性质： pk ≥ 0 ;∑k≥1 pk = 1
4. 连续随机变量概率的计算
对任意的 x1 ＜ x2 ，有： P { x1 ＜X ≤ x2 } = F (x2) - F (x1)
2 3 k x x x ex=1+x+—+—+…+—+… 2! 3! k!
2.2.2 常见的离散分布
1. 两点分布 (也称0–1分布或Bernoulli 分布)
记为 X ~ B (1,p) ， 0 ＜p＜1 。 它只取 0 和1 两个可能值，分布律为： P { X = 1 } = p， P { X = 0 } = q = 1 – p 称随机变量X 服从参数 p 的两点分布。 两点分布用来描述所有 只有两个可能结果的随机试验
x2
f(x)
=
x1

f ( x ) dx
x1 o
x2
x
例2.4.2 确定常数 a 使得 f(x) 是密度函数。 ax， 0＜x＜1， f (x) = 2 - x ， 1 ≤ x ＜ 2 ， 0， 其它 解. 要使 f (x) 成为一个密度函数，必须 而且只须满足两个条件：非负、积分为 1 。 因此首先有 a ≥ 0 ；其次计算积分：
定义 设E 是随机试验，S 是它的样本空间，
如果对于每一个样本点 都有一个实数 与它对应， 则称这个定义在样本空间上 的单值实函数 X = X () 是一个随机变量。
S

0
X ()
x
通过引进随机变量的概念能够把不同的 样本空间抽象化为一些定量的实数，由此就 可以利用更高深的数学方法来研究随机现象。 其次，在随机变量的概率分布中我们关注 的重点是这个随机变量取某些值的概率，而 不是它的取值。就象我们只关心样本空间里 一些样本点发生的概率，而这些样本点本身 并不是研究的目的。
□
3. Poisson (泊松) 分布，X ~ ()
这是最重要的离散分布 可能取值是所有非负整数 0，1，2，… ； 分布律为： k P { X = k } = — e – ，k ≥ 0 k! 这里泊松分布的参数 ＞ 0 。
泊松分布的背景知识 在大量的重复试验中稀有事件出现的次数 近似服从泊松分布，如意外事故，非常见病， 大的自然灾害，害虫数量，动物种群等等； 另外，如果一个随机事件流满足“平稳性”、 “独立增量性”、“普通性”三个条件，它也近似 服从泊松分布，如通讯的呼叫次数，顾客数， 放射源衰变产生的粒子数等等。 在运筹学、管理科学、物理学中泊松 分布具有非常重要的应用。
例2.3.2 讨论如下的分布函数 F (x) = 1 - e - x , x ＞ 0 (为简便总是省略分布函数等于 0 的部分)
F (x)
解. 0 ≤F (x)＜ 1，满足 非负有界；( - ∞,0 ] 上恒等于 0，[ 0,+ ∞] 单调递增，满足单调性； 极限性质显然满足。
1
o
x □
如何计算X 落在区间 (1,3 ]的概率？
2. 二项分布，X ~ B (n,p)
概率论中最重要的三种分布的第一种 X 全部可能取值是有限整数 0，1，…，n ； 分布律为： pk = Cnk pkqn – k ，0 ≤ k ≤ n 这里参数 0 ＜ p ＜ 1 , q = 1 – p 。 两点分布就是 n = 1 时的二项分布
二项分布的背景知识 它对应于随机抽样模型中的有放回抽样， 二项分布也与独立试验序列概型有关，即 在 n 重 Bernoulli 试验中，随机事件 A 发生 的次数服从参数为 n、p 的二项分布； 二项分布广泛应用于抽样调查的问题中， 以及在金融，保险，医学，生物遗传学等 都有重要的应用。
□
练习2.2.2 离散分布涉及的几个数列求和公式 (0 ＜ x ＜1)
n +1 1 – x ① 1+x+ +…+ = ———— 1–x 1 2 ② 1 + x + x + …= —— 1–x 1 ③ 1 + 2x + 3x2 + 4x3 + … = ——— (1 – x)2
x2
xn
④ 对任意实数 x，有Taylor 展开：
1 2 e
x2 2
F1 (x) =
( x)


x
1 2
e
t2 2
dt
( x)
□
2. 概率密度函数的意义
(1) 它的作用类似于离散随机变量的分布律。 离散随机变量的分布函数是对分布律 “求和”， 得到的是一个阶梯形跳跃的间断函数； 连续随机变量分布函数是对密度函数 “积分”， 得到的是一个连续的函数。 (2) 连续随机变量只能在概率密度函数 不等于 0 的区间上取值。 (3) 分布函数、分布律、概率密度函数，都是 对随机变量的随机性质的完整刻划。
例2.3.1 参数 p 的两点分布的分布函数 解. 两点分布的分布律是： P (X = 0) = q， P (X = 1) = p ；q = 1 - p 由于 X 只可能取 0、1 两个值，因此 0，x＜0， F (x) = q ，0 ≤ x ＜ 1 ， F (x) 1，x≥1 。
1 q ○ o ○ 1 x □