计算（三）等差数列求和知识精讲一、定义：一个数列的前n 项的和为这个数列的和。

二、表达方式：常用n S 来表示 。

三：求和公式：和=(首项+末项)⨯项数2÷，1()2n n s a a n =+⨯÷。

对于这个公式的得到可以从两个方面入手：(思路1)1239899100++++++11002993985051=++++++++共50个101（）（）（）（） 101505050=⨯= (思路2)这道题目，还可以这样理解：23498991001009998973212101101101101101101101+++++++=+++++++=+++++++和=1+和倍和 即，和 (1001)100 2 10150 5050=+⨯÷=⨯=。

四、中项定理：对于任意一个项数为奇数的等差数列，中间一项的值等于所有项的平均数，也等于首项与末项和的一半；或者换句话说，各项和等于中间项乘以项数。

譬如：① 48123236436922091800+++++=+⨯÷=⨯=（），题中的等差数列有9项，中间一项即第5项的值是20，而和恰等于209⨯；② 65636153116533233331089++++++=+⨯÷=⨯=（），题中的等差数列有33项，中间一项即第17项的值是33，而和恰等于3333⨯。

例题精讲：例1：求和：（1）1+2+3+4+5+6 = （2）1+4+7+11+13=（3）1+4+7+11+13＋ (85)分析：弄清楚一个数列的首项，末项和公差，从而先根据项数公式求项数，再根据求和公式求和。

例如（3）式项数=（85-1）÷3+1=29和=（1+85）×29÷2=1247答案：（1）21 （2）36 （3）1247例2：求下列各等差数列的和。

（1）1+2+3+4+…+199（2）2+4+6+…+78（3）3+7+11+15+…+207分析：弄清楚一个数列的首项，末项和公差，从而先根据项数公式求项数，再根据求和公式求和。

例如（1）式=（1+199）×199÷2=19900答案：（1）19900 （2）1160 （3）5355例3：一个等差数列2，4，6，8，10，12，14，这个数列的和是多少？分析：根据中项定理，这个数列一共有7项，各项的和等于中间项乘以项数，即为：8756⨯=答案：56例4：求1+5+9+13+17……+401该数列的和是多少。

分析：这个数列的首项是1，末项是401，项数是（401-1）÷4+1=101，所以根据求和公式，可有：和=（1+401）×101÷2=20301答案：20301例5：有一串自然数2、5、8、11、……，问这一串自然数中前61个数的和是多少？分析：即求首项是2，公差是3，项数是61的等差数列的和，根据末项公式：末项=2+（61-1）×3=182根据求和公式：和=（2+182）×61÷2=5612答案：5612例6：把自然数依次排成“三角形阵”，如图。

第一排1个数；第二排3个数；第三排5个数；…求：（1）第十二排第一个数是几？最后一个数是几？（2）207排在第几排第几个数？（3）第13排各数的和是多少？分析：整体看就是自然数列，每排的个数的规律是1,3,5，7...即为奇数数列若排数为n （n≥2de 自然数)，则这排之前的数共有（n-1）（n-1)个。

（1）第十二排共有23个数。

前面共有（1+21）×11÷2=121个数，所以第十二排的第一个数为122，最后一个数为122+（23-1）×1=144（2）前十四排共有196个数，前十五排共有225个数，所以207在第十五排，第十五排的第一个数是197，所以207是第（207-197=10）个数（3）前十二排共有144个数，所以第十三排的第一个数是145，而第十三排共有25个数，所以最后一个数是145+（25-1）×1=169，所以和=（145+169）×25÷2=3925答案：（1）122；144 （2）第十五排第10个数（3）3925例7：15个连续奇数的和是1995，其中最大的奇数是多少？分析：由中项定理，中间的数即第8个数为：199515133÷=，所以这个数列最大的奇数即第15个数是：1332158147+⨯-=（）。

答案：147。

例8：把210拆成7个自然数的和，使这7个数从小到大排成一行后，相邻两个数的差都是5，那么，第1个数与第6个数分别是多少？分析：由题可知：由210拆成的7个数必构成等差数列，则中间一个数为210÷7=30，所以，这7个数分别是15、20、25、30、35、40、45。

即第1个数是15，第6个数是40。

答案：第1个数：15；第6个数：40。

例9：已知等差数列15，19，23，……443，求这个数列的奇数项之和与偶数项之和的差是多少？分析：公差=19-15=4项数=（443-15）÷4+1=108倒数第二项=443-4=439奇数项组成的数列为：15，23，31……439，公差为8，和为（15+439）×54÷2=12258 偶数项组成的数列为：19，27，35……443，公差为8，和为（19+443）×54÷2=12474 差为12474-12258=216答案：216例10：在1~100这一百个自然数中，所有能被9整除的数的和是多少？分析：每9个连续数中必有一个数是9的倍数，在1~100中，我们很容易知道能被9整除的最小的数是991=⨯，最大的数是99911=⨯，这些数构成公差为9的等差数列，这个数列一共有：111111-+=项，所以，所求数的和是：9182799999112594++++=+⨯÷=（）． 也可以从找规律角度分析．答案：594例11：一串数按下面的规律排列：1、2、3、2、3、4、3、4、5、4、5、6……问：从左面第一个数起，前105个数的和是多少？分析：这些数字直接看没有什么规律，但是如果3个一组，会发现这样一个数列：6,9,12,15......即求首项是6，公差是3，项数是105÷3=35的和末项=6+3×（35-1）=108和=（6+108）×35÷2=1995答案：1995例12：在下面12个方框中各填入一个数，使这12个数从左到右构成等差数列，其中10、16已经填好，这12个数的和为 。

　‍‍‍ ‍ ‍‍‍ ‍ ‍‍‍ ‍ ‍‍‍ ‍ ‍‍‍ ‍ 16 ‍‍‍ ‍ ‍‍‍ ‍ 10 ‍‍‍ ‍ ‍‍‍ ‍ ‍‍‍ ‍分析：由题意知：这个数列是一个等差数列，又由题目给出的两个数10和16知：公差为2，那么第一个方格填26，最后一个方格是4，由等差数列求和公式知和为：(426)122180+⨯÷=。

答案：180。

本讲小结：1. 一个数列的前n 项的和为这个数列的和，我们称为 。

2. 求和公式：和=(首项+末项)⨯项数2÷，1()2n n s a a n =+⨯÷。

3.对于任意一个奇数项的等差数列，各项和等于中间项乘以项数。

练习：1. 求和：（1）1+3+5+7+9= （2）1+2+3+4＋ (21)（3）1+3+5+7+9＋ (39)分析：弄清楚一个数列的首项，末项和公差，从而先根据项数公式求项数，再根据求和公式求和。

答案：（1）25 （2）231 （3）4002. 求下列各等差数列的和。

（1）1+2+3+…+100（2）3+6+9+…+39分析：弄清楚一个数列的首项，末项和公差，从而先根据项数公式求项数，再根据求和公式求和。

答案：（1）5050 （2）2733.一个等差数列4,8,12,16,20,24,28,32，36这个数列的和是多少?分析：根据中项定理，这个数列一共有9项，各项的和等于中间项乘以项数，即为：20×9=180答案：1804.所有两位单数的和是多少？分析：即求首项是11，末项是99的奇数数列的和为多少。

和=（11+99）×45÷2=2475答案：24755. 数列1、5、9、13、……，这串数列中，前91个数和是多少？分析：首项是1，公差是4，项数是91，根据重要公式，可得：末项=1+（91-1）×4=361和=（1+361）×91÷2=16471答案：164716.如图，把边长为1的小正方形叠成“金字塔形”图，其中黑白相间染色。

如果最底层有15个正方形，问：“金字塔”中有多少个染白色的正方形，有多少个染黑色的正方形？分析：由题意可知，从上到下每层的正方形个数组成等差数列，其中11a =， 2d =，15n a =，所以151218n =-÷+=（），所以，白色方格数是：1238188236++++=+⨯÷=（） 黑色方格数是：1237177228++++=+⨯÷=（）。

答案：287. 20052006200720082009201020112008++++++÷=（） 。

分析：根据中项定理知：200520062007200820092010201120087++++++=⨯,所以原式 2008720087=⨯÷=。

答案：7。

8. 把248分成8个连续偶数的和，其中最大的那个数是多少？分析：公差为2的递增等差数列。

平均数：248÷8=31，第4个数：31-1=30；首项：30-6=24；末项：24+（8-1）×2=38。

即：最大的数为38。

答案：389. 求从1到2000的自然数中，所有偶数之和与所有奇数之和的差。

分析：解法1：可以看出，2，4，6，…，2000是一个公差为2的等差数列，1，3，5，…，1999也是一个公差为2的等差数列，且项数均为1000，所以：原式=（2+2000)×1000÷2-（1+1999）×1000÷2=1000解法2：注意到这两个等差数列的项数相等，公差相等，且对应项差1，所以1000项就差了1000个1，即原式=1000×1=1000答案：100010. 在1~100这一百个自然数中，所有不能被9整除的数的和是多少？分析：先计算1~100的自然数和，再减去能被9整除的自然数和，就是所有不能被9整除的自然数和了．12100110010025050+++=+⨯÷=（），9182799999112594++++=+⨯÷=（），所有不能被9整除的自然数和：50505944456-=．如果直接计算不能被9整除的自然数和，是很麻烦的，所以先计算所有1~100的自然数和，再排除掉能被9整除的自然数和，这样计算过程变得简便多了。