排列组合1、分类加法计数原理:完成一件事有两类不同方案,在第1类方案中有m 种不同的方法,在第2类方案中有n 种不同的方法. 那么完成这件事共有N =m +n 种不同的方法。
2、分步乘法计数原理:完成一件事需要两个步骤,做第1步有m 种不同的方法,做第2步有n 种不同的方法. 那么完成这件事共有N =m ×n 种不同的方法。
3、排列及排列数:(1) 排列:从n 个不同元素中取出m 个(m ≤n )个元素,按照一定的顺序排成一列,叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列。
(2) 排列数:从n 个不同元素中取出m 个(m ≤n )个元素的所有排列的个数,叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数,用mn A 表示。
(3) 排列数公式:()()11+-⋅⋅⋅-=m n n n A mn. (4) 全排列:n 个不同元素全部取出的排列,叫做n 个不同元素的一个全排列,()()n n n n A nn =⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-⋅-⋅=12321!()!!m n n A m n -=,规定0!=14、组合及组合数:(1) 组合:从n 个不同元素中取出m (m ≤n )个元素并成一组,叫做从n个不同元素中取出m 个元素的一个组合。
(2) 组合数:从n 个不同元素中取出m (m ≤n )个元素的所有组合个数,叫做从n 个不同元素取出m 个元素的组合数,用mn C 表示。
(3) 计算公式:()()()()!!!1111m n m n m m m n n n A A C m m mn mn-=⋅⋅⋅-+-⋅⋅⋅-==. 由于0!=1,所以10=nC . 5、组合数的性质:(1)m n n m n C C -= (2)11-++=m nm n m n C C C (3)n n n n n n C C C C 2210=+⋅⋅⋅+++ (4)m A m n =!mn C方法1.特殊元素、特殊位置优先法元素优先法:先考虑有限制条件的元素的要求,再考虑其他元素; 位置优先法:先考虑有限制条件的位置的要求,再考虑其他位置;2.分类分步法:对于较复杂的排列组合问题,常需要分类讨论或分步计算,一定要做到分类明确,层次清楚,不重不漏.3.捆绑法:某些元素必相邻的排列,可以先将相邻的元素“捆成一个”元素,与其它元素进行排列,然后再给那“一捆元素”内部排列.4.插空法:某些元素不相邻的排列,可以先排其它元素,再让不相邻的元素插空.5.插板法:n 个相同元素,分成()m m n ≤组,每组至少一个的分组问题——把n个元素排成一排,从1n -个空中选1m -个空,各插一个隔板,有11m n C --.6.分组、分配法:分组问题(分成几堆,无序).有等分、不等分、部分等分之别.一般地平均分成n 堆(组),必须除以n !,如果有m 堆(组)元素个数相等,必须除以m !7.错位法:编号为1至n 的n 个小球放入编号为1到n 的n 个盒子里,每个盒子放一个小球,要求小球与盒子的编号都不同,这种排列称为错位排列,特别当2n =,3,4,5时的错位数各为1,2,9,44.关于5、6、7个元素的错位排列的计算,可以用剔除法转化为2个、3个、4个元素的错位排列的问题.一、纯排列与组合问题:1.从9人中选派2人参加某一活动,有多少种不同选法?2.从9人中选派2人参加文艺活动,1人下乡演出,1人在本地演出,有多少种不同选派方法?3. 现从男、女8名学生干部中选出2名男同学和1名女同学分别参加全校“资源”、“生态”和“环保”三个夏令营活动,已知共有90种不同的方案,那么男、女同学的人数是()A.男同学2人,女同学6人B.男同学3人,女同学5人C. 男同学5人,女同学3人D. 男同学6人,女同学2人4.一条铁路原有m个车站,为了适应客运需要新增加n个车站(n>1),则客运车票增加了58种(从甲站到乙站与乙站到甲站需要两种不同车票),那么原有的车站有()A.12个B.13个C.14个D.15个二、捆绑法1. A、B、C、D、E五个人并排站成一列,若A、B必相邻,则有多少种不同排法?2. 有8本不同的书,其中科技书3本,文艺书2本,其它书3本,将这些书竖排在书架上,则科技书连在一起,文艺书也连在一起的不同排法种数与这8本书的不同排法之比为A.1:14B.1:28C.1:140D.1:336三、插空法1.要排一个有4个歌唱节目和3个舞蹈节目的演出节目单,任何两个舞蹈节目都不相邻,有多少种不同排法?2、1到7七个自然数组成一个没有重复数字的七位数,其中奇数不相邻的有多少个?3.4名男生和4名女生站成一排,若要求男女相间,则不同的排法数有()A.2880B.1152C.48D.1444.排成一排的8个空位上,坐3人,使每人两边都有空位,有多少种不同坐法?5.8张椅子放成一排,4人就坐,恰有连续三个空位的坐法有多少种?6. 排成一排的9个空位上,坐3人,使三处有连续二个空位,有多少种不同坐法?四、直接与间接问题:1.有6名男同学,4名女同学,现选3名同学参加某一比赛,至少有1名女同学,由多少种不同选法?2.7人排成一列(1)甲乙必须站两端,有多少种不同排法?(2)甲必须站两端,乙站最中间,有多少种不同排法?(3) 甲不站排头乙不站排尾, 有多少种不同排法?3.由1、2、3、4、5、6六个数字可组成多少个无重复数字且不是5的倍数的五位数?4. 2名男生4名女生排成一行,女生不全相邻的排法有多少种?5. 从5门不同的文科学科和4门不同的理科学科中任选4门,组成一个综合高考科目组,若要求这组科目中文理科都有,则不同的选法的种数()A.60种B.80种C.120种D.140种6. 5人排成一排,要求甲、乙之间至少有1人,共有多少种不同排法?7. 设有编号为1、2、3、4、5的五个茶杯和编号为1、2、3、4、5的五个杯盖,将五个杯盖盖在五个茶杯上,至少有两个杯盖和茶杯的编号相同的盖法有A.30种B.31种C.32种D.36种五、特殊位置优先考虑1.用0,1,2,3,4,5这六个数字(1)可以组成多少个数字不重复的三位数?(2)可以组成多少个数字允许重复的三位数?(3)可以组成多少个数字不重复的三位数的奇数?(4)可以组成多少个数字不重复的三位数的偶数?(5)可以组成多少个数字不重复的小于1000的自然数?(6)可以组成多少个大于3000,小于5421的数字不重复的四位数?六、隔板法1. 要从7所学校选出10人参加素质教育研讨班,每所学校至少参加1人,则这10个名额共有( )种分配方法。
2.将7只相同的小球全部放入4个不同盒子,每盒至少1球的方法有多少种?3.某中学从高中7个班中选出12名学生组成校代表队,参加市中学数学应用题竞赛活动,使代表中每班至少有1人参加的选法有多少种?一、纯排列与组合问题:1.从9人中选派2人参加某一活动,有多少种不同选法?2.从9人中选派2人参加文艺活动,1人下乡演出,1人在本地演出,有多少种不同选派方法?3. 现从男、女8名学生干部中选出2名男同学和1名女同学分别参加全校“资源”、“生态”和“环保”三个夏令营活动,已知共有90种不同的方案,那么男、女同学的人数是( )A.男同学2人,女同学6人B.男同学3人,女同学5人C. 男同学5人,女同学3人D. 男同学6人,女同学2人4.一条铁路原有m 个车站,为了适应客运需要新增加n 个车站(n>1),则客运车票增加了58种(从甲站到乙站与乙站到甲站需要两种不同车票),那么原有的车站有 ( )A.12个B.13个C.14个D.15个答案:1、2936C = 2、2972A = 3、选 B. 设男生n 人,则有2138390n n C C A -=。
4、2258m nm A A +-= 选C. 二、捆绑1. A 、B 、C 、D 、E 五个人并排站成一列,若A 、B 必相邻,则有多少种不同排法?2. 有8本不同的书, 其中科技书3本,文艺书2本,其它书3本,将这些书竖排在书架上,则科技书连在一起,文艺书也连在一起的不同排法种数与这8本书的不同排法之比为A.1:14B.1:28C.1:140D.1:336 三、插空1.要排一个有4个歌唱节目和3个舞蹈节目的演出节目单,任何两个舞蹈节目都不相邻,有多少种不同排法?2、1到7七个自然数组成一个没有重复数字的七位数,其中奇数不相邻的有多少个?3.4名男生和4名女生站成一排,若要求男女相间,则不同的排法数有( ) A.2880 B.1152 C.48 D.1444.排成一排的8个空位上,坐3人,使每人两边都有空位,有多少种不同坐法?5.8张椅子放成一排,4人就坐,恰有连续三个空位的坐法有多少种?6. 排成一排的9个空位上,坐3人,使三处有连续二个空位,有多少种不同坐法?答案:1.43451440A A = (2)3434144A A = (3)选B 444421152A A = (4)3424A = (5)4245480A A =(6)333424A C = (7)3334144A A = 四、直接与间接问题:1.有6名男同学,4名女同学,现选3名同学参加某一比赛,至少有1名女同学,由多少种不同选法?2.7人排成一列(1)甲乙必须站两端,有多少种不同排法?(2)甲必须站两端,乙站最中间,有多少种不同排法? (3) 甲不站排头乙不站排尾, 有多少种不同排法?3.由1、2、3、4、5、6六个数字可组成多少个无重复数字且不是5的倍数的五位数?4. 2名男生4名女生排成一行,女生不全相邻的排法有多少种?5. 从5门不同的文科学科和4门不同的理科学科中任选4门,组成一个综合高考科目组,若要求这组科目中文理科都有,则不同的选法的种数 ( ) A.60种 B.80种 C.120种 D.140种6. 5人排成一排,要求甲、乙之间至少有1人,共有多少种不同排法?答案:1、1221346464100C C C C C ++= 或 33106100C C -= 2.(1)2525240A A = (2)1525240A A = (3)115655563720A A A A +=或76576523720A A A -+= 3、1455600A A =或5465600A A -=4、643643576A A A -=或32221224234223576A A A A A A A += 5、选C.132231545454120C C C C C C ++=或 444954120C C C --= 6、123222323233223272A A A A A A A A ++=或52452472A A A -= 7、44106463141C C ---=7 设有编号为1、2、3、4、5的五个茶杯和编号为1、2、3、4、5的五个杯盖,将五个杯盖盖在五个茶杯上,至少有两个杯盖和茶杯的编号相同的盖法有A.30种B.31种C.32种D.36种五、特殊位置优先考虑1.用0,1,2,3,4,5这六个数字(1)可以组成多少个数字不重复的三位数?(2)可以组成多少个数字允许重复的三位数?(3)可以组成多少个数字不重复的三位数的奇数?(4)可以组成多少个数字不重复的三位数的偶数?(5)可以组成多少个数字不重复的小于1000的自然数?(6)可以组成多少个大于3000,小于5421的数字不重复的四位数?六、隔板法1. 要从7所学校选出10人参加素质教育研讨班,每所学校至少参加1人,则这10个名额共有( )种分配方法。