2008高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目
C题地面搜索
5.12汶川大地震使震区地面交通和通讯系统严重瘫痪。
救灾指挥部紧急派出多支小分队,到各个指定区域执行搜索任务,以确定需要救助的人员的准确位置。
在其它场合也常有类似的搜索任务。
在这种紧急情况下需要解决的重要问题之一是:制定搜索队伍的行进路线,对预定区域进行快速的全面搜索。
通常,每个搜索人员都带有GPS定位仪、步话机以及食物和生活用品等装备。
队伍中还有一定数量的卫星电话。
GPS可以让搜索人员知道自己的方位。
步话机可以相互进行通讯。
卫星电话用来向指挥部报告搜索情况。
下面是一个简化的搜索问题。
有一个平地矩形目标区域,大小为11200米×7200米,需要进行全境搜索。
假设:出发点在区域中心;搜索完成后需要进行集结,集结点(结束点)在左侧短边中点;每个人搜索时的可探测半径为20米,搜索时平均行进速度为0.6米/秒;不需搜索而只是行进时,平均速度为1.2米/秒。
每个人带有GPS定位仪、步话机,步话机通讯半径为1000米。
搜索队伍若干人为一组,有一个组长,组长还拥有卫星电话。
每个人搜索到目标,需要用步话机及时向组长报告,组长用卫星电话向指挥部报告搜索的最新结果。
现在有如下问题需要解决:
1.假定有一支20人一组的搜索队伍, 拥有1台卫星电话。
请设计一种你认为耗时最短的搜索方式。
按照你的方式,搜索完整个区域的时间是多少? 能否在48小时内完成搜索任务? 如果不能完成,需要增加到多少人才可以完成。
2.为了加快速度,搜索队伍有50人,拥有3台卫星电话,分成3组进行搜索。
每组可独立将搜索情况报告给指挥部门。
请设计一种你认为耗时最短的搜索方式。
按照你的搜索方式,搜索完整个区域的时间是多少?
地面搜索问题分析与评述
摘要:本文介绍2008年高教杯全国大学生数模竞赛C题“地面搜索”题的评卷情况,首先概括地介绍了这个问题的背景、评卷要点、问题的解决方法和答卷中存在的问题。
最后给出了解决这个问题的一种优化路线和计算结果。
关键词:地面搜索;一笔画;横向搜索;纵向搜索
分类号:AMS(2000)90C05 中图分类号:O221.1 文献标识码:A
1 地面搜索问题的综合评述
1.1问题的背景
1.2评卷的基本要点
对问题1,为了使搜索时间短,可以综合考虑三个因素:按一定笔划原则尽量不过户重复路;尽量不空走;尽量少改变队形(每次改变队形要空走)。
解题中应交待清楚具体的搜索方式(如一字并排前进,每人搜索宽度为2*20=40米)、具体的行进路线、算出完成的时间(空走与改变先进队形均需要时间)。
行进路线的选择可以不同。
对自己的方案是否是好方案,应进行可信的讨论人。
应有明确的计算,说明方案的可行。
最好对不同的方案进行比较。
对问题2,在问题1的基础上适当分配人员,分区搜索。
要看分区及行进路线是否合理。
应有明确计算,并给出解答。
两个问题在解答过程中要注意讨论的完善性,数学表达的清晰性。
1.3问题的解决方法概述
做法千奇百怪,搜索方式多。
1.4存在的问题
把人分开独自搜索,不能保证发现目标后立刻向队长报告;把区域分成几个村庄,有违题意;用小圆覆盖,亦不可。
2 地面搜索问题的优化路线
2.1问题分析与假设
从实际中的搜索问题出发,我们需要假定队伍排成一排进行搜索,每次搜索形成一个矩形区域。
搜索方式不采用斜向方式
2.2问题解答概要
问题1 队伍排成一排搜索,20人搜索的区域宽度为20*40=800m 。
搜索完的最少人数估计:k =总面积/(搜索宽度*搜索速度*总时间) 11200*720019.42040*0.6*48*3600
k ==≈ 20人搜索完的最少时间:T =总面积/(总人数*搜索宽度*搜索速度) 11200*720046.67()20*40*0.6*3600
T h == 3原则:少走重复路;尽量不空走;尽量少拐弯。
20人的一种最佳搜索路线见下图。
队伍所花时间:搜索时间、拐弯时间、空走时间。
横向搜索的矩形为7200/800=9个,矩形长度为11200-800=10400.纵向搜索一个矩形区域,长度为7200.矩形的宽度均为队长800.
搜索时间:T1=9*(11200-800)/0.6/3600+7200/0.6/3600=46.667
拐弯10次:T2=10*800/1.2/3600=1.852
空走时间:T3=(11200/2-800)/1.2/3600=1.1111
总时间:T=T1+T2+T3=46.667+1.852+1.1111=49.6301
队伍打开或收拢时间均为半队长时间:400/1.2/3600=0.0926, 可忽略。
21人在48小时内不能完成搜索任务。
22人的采用图2的搜索方式,在48小时内可完成任务。
纵向搜索矩形为7200/880=13个,矩形长度为7200-880=6320,宽度为880. 最后一个矩形的宽度为11200-12*880=640.
在搜索完第11号进入12时需要行走的距离为7200/2-880*4=80,刚好与空走18时抵消。
搜索距离:11200+7*(7200-880)+3*(11200-7*880)+6*(7200-880*4)=92640 搜索时间:T1=92640/0.6/3600=42.899
拐弯17次:T2=17*880/1.2/3600=3.463
空走时间:T3=7200/2/1.2/3600=0.8333
总时间:T=T1+T2+T3=42.889+3.463+0.833=47.19
因此22人在48小时内可完成任务。
问题2 将50人分成3组,3组人数为20:10:20,3组搜索路线如图3
第1组20人,队长800米,搜索的距离为
d1=11200/2+3*(11200-800)+7200/2=40400
搜索时间:T1=d1/0.6/3600=18.7
拐弯4次:T2=4*800/1.2/3600=0.74
空走时间:T3=1200/1.2/3600=0.28
总时间:T=T1+T2+T3=18.7+0.74+0.28=19.72
第3组与第1组完全相同。
第2组10人,队长400,搜索距离为
d2=5600*2+6*(5600-1200)+2400=40000
搜索时间:T1=d2/0.6/3600=18.52
拐弯7次:T2=7*400/1.2/3600=0.648
空走时间:T3=5600/1.2/3600=1.296
总时间:T=T1+T2+T3=18.52+0.648+1.296=20.464
因此,搜索完整个区域所花时间为20.464
另外,第2组比第1组多花0.744小时,还可优化。
可将中间第2组6个矩形区域的右线左移一段距离,使三个小组同时完成搜索。
可解其为230米,则三个小组搜索时间都为19.82.这样三个小组分工搜索后,可在20小时内完成搜索。