B (n+1) O A (n)
二、逐点计算法的思路
点在椭圆外。 （2）第n+1点在椭圆外。 点在椭圆外
计算以坐标原点、 点 交点P 为顶点的三角形OAP1面积， 面积， 计算以坐标原点、n点、交点 1为顶点的三角形 并将交点P 的坐标存贮起来，作为求椭圆扇形面积的初始点。 并将交点 1的坐标存贮起来，作为求椭圆扇形面积的初始点。在 椭圆确定时，椭圆扇形面积只与该扇形的起始边与椭圆的交点— 椭圆确定时，椭圆扇形面积只与该扇形的起始边与椭圆的交点 —初始点，以及该扇形的终止边与椭圆交点 初始点， 终止点有关。 初始点 以及该扇形的终止边与椭圆交点——终止点有关。在 终止点有关 本文方法中，椭圆扇形面积始终为正。 本文方法中，椭圆扇形面积始终为正。
Y C D O N E F A M X B
三、程序设计的技术处理
1、建立直角坐标系
以地震动衰减椭圆的中心为坐标原点， 以地震动衰减椭圆的中心为坐标原点 ， 椭圆 长轴为X轴 椭圆短轴为Y轴 建立直角坐标系。 长轴为X轴，椭圆短轴为Y轴，建立直角坐标系。
三、程序设计的技术处理
2、判定点与椭圆的关系
二、逐点计算法的思路
多边形的顶点与椭圆的交接有三种情况， 多边形的顶点与椭圆的交接有三种情况， 即多边形的顶点 顶点在 即多边形的顶点在：
1、椭圆内 2、椭圆上 3、椭圆外
其中多边形的顶点在椭圆上可视为椭圆内的特殊 情况来归一化处理，因而可将三种情况简化为两种。 情况来归一化处理，因而可将三种情况简化为两种。
多边形的顶点与椭圆的关系， 多边形的顶点与椭圆的关系，可分为点在椭圆 椭圆内、椭圆上三种情况，在具体计算时， 上、椭圆内、椭圆上三种情况，在具体计算时，将 点在椭圆上的点视为点在椭圆内处理。 点在椭圆上的点视为点在椭圆内处理。在判定多边 形顶点与椭圆关系时，设一控制参数k 形顶点与椭圆关系时，设一控制参数 (i)
一、地震危险性分析的椭圆模型
Y C D O N E F A Y C H O D I A E X G B M F M X E F G A B D M O B X Y C
图1
椭圆与凸多边形相交关系
二、逐点计算法的思路
本文提出的计算凸多边形与椭圆交接面积的 基本思路是： 基本思路是：
1、把它当作表示三角形或椭圆扇形面积的矢量乘积之和。 把它当作表示三角形或椭圆扇形面积的矢量乘积之和。 2、将任意凸多边形的各个顶点按逆时针排序，逐个判别 将任意凸多边形的各个顶点按逆时针排序， 各个顶点的情况， 各个顶点的情况，进判别多边形每条边与椭圆相交 的情况，求出需累加三角形、 的情况，求出需累加三角形、椭圆扇形的面积的矢量 乘积。 乘积。 3、当循环一周又回到初始点的时，自然得出各个面积的 当循环一周又回到初始点的时， 矢量和， 矢量和，亦即地震动衰减椭圆与凸多边形潜在震源的 相交面积。 相交面积。 4、此方法规定矢量垂直于椭圆面并方向朝上为正。 此方法规定矢量垂直于椭圆面并方向朝上为正。
Y C D O N E F A M X B
二、逐点计算法的思路
当选择的凸多边形的第一个顶点在椭圆内或椭圆 外时，其计算方法有所不同。 外时，其计算方法有所不同。
若第一点在椭圆内，则沿逆时针方向一周， 若第一点在椭圆内，则沿逆时针方向一周，计算得出的三角形 和椭圆扇形面积的矢量和， 和椭圆扇形面积的矢量和，即是要求的凸多边形潜在源与地震动衰 减椭圆的相交面积。 减椭圆的相交面积。
P (Y ≥ y / Ei , m ) f ( m ) dm
M0 — —起算震级； 起算震级； 起算震级 Mu — —震级上限； 震级上限； 震级上限 f (m) — —震级概率密度。 震级概率密度。 震级概率密度
一、地震危险性分析的椭圆模型
因此，地震危险性分析的关键是计算第 因此，地震危险性分析的关键是计算第Ei 个 潜在震源中，震级m对场地造成的超过某地震动 对场地造成的超过某地震动y 潜在震源中，震级 对场地造成的超过某地震动 的超越概率： 的超越概率：
P(Y ≥ y / Ei , m) ＝ ？
一、地震危险性分析的椭圆模型
P (Y ≥ y/Ei, m) 计算归结为计算地震动衰减 椭圆与凸多边形潜在震源相交面积， 椭圆与凸多边形潜在震源相交面积，后者可表 示成三角形与椭圆扇形面积的代数和， 示成三角形与椭圆扇形面积的代数和，从而将 问题简化。 问题简化。
若第一点在椭圆外，则按逆时针方向一周后， 若第一点在椭圆外，则按逆时针方向一周后， 再增加一个椭圆扇形的面积， 再增加一个椭圆扇形的面积，才能得出椭圆与多边 形的相交面积。 形的相交面积。
二、逐点计算法的思路
选取A点作为初始点逆时针取向，首先由点 → 选取 点作为初始点逆时针取向，首先由点A→点B，两点均在椭 点作为初始点逆时针取向 ， 圆外且线段AB与椭圆无交点 不作计算；由点B→ 与椭圆无交点， 圆外且线段 与椭圆无交点，不作计算；由点 →点C，两点均在椭圆 ， 外且线段BC与椭圆无交点 也不作计算；由点C→ 与椭圆无交点， 外且线段 与椭圆无交点，也不作计算；由点 →点E，点由椭圆外到 ， 椭圆内，首先处理交点D，因前面没有椭圆扇形的初始点， 椭圆内，首先处理交点 ，因前面没有椭圆扇形的初始点，将其以特殊 点存贮起来，并计算三角形ODE面积；由点 →点A，点有椭圆内到椭 面积； 点存贮起来，并计算三角形 面积 由点E→ ， 圆外，计算三角形OEF面积，并将交点 作为椭圆扇形的初始点存贮起 面积， 圆外，计算三角形 面积 并将交点F作为椭圆扇形的初始点存贮起 最后还需以存贮的F点作为椭圆扇形的终止点 点作为椭圆扇形的终止点， 来，最后还需以存贮的 点作为椭圆扇形的终止点，计算出椭圆扇形的 面积。 面积。
B(n+1)
O P2 A(n)
二、逐点计算法的思路
点在椭圆外。 （2）第n+1点在椭圆外。 点在椭圆外
多边形的边AB与椭圆相切或完全不相交， 多边形的边 与椭圆相切或完全不相交，另一种情况是线段 与椭圆相切或完全不相交 AB与椭圆相交。在这里，我们只考虑边 为线段而不考虑其延长 与椭圆相交。 与椭圆相交 在这里，我们只考虑边AB为线段而不考虑其延长 后的情况。判别相交情况， 后的情况。判别相交情况，可按本文程序设计技术处理给出的具体 说明。没有交点时不需要计算，直接对下一个点进行判断分析； 说明。没有交点时不需要计算，直接对下一个点进行判断分析；有 一个交点时，当作无交点的情况处理。 一个交点时，当作无交点的情况处理。
B(n+1) P1
O
A(n)
二、逐点计算法的思路
当多边形第n顶点在椭圆外 顶点在椭圆外， 顶点有两种情况: 2、当多边形第 顶点在椭圆外，第n+1顶点有两种情况: 顶点有两种情况
点在椭圆内。 （1）第n+1点在椭圆内。 点在椭圆内
按照顺序，首先要考虑交点 如何处理。显然P 按照顺序，首先要考虑交点P2如何处理。显然 2点与求椭圆扇 形面积有关，且是椭圆扇形的终止点。 形面积有关，且是椭圆扇形的终止点。若前面没有椭圆扇形的初始 需将交点P 作特殊点存贮起来， 点，需将交点 2作特殊点存贮起来，作为最后计算椭圆扇形面积的 终止点（下述），并计算原点， 点和第n+1 ），并计算原点 +1点组成的三角形面积矢 终止点（下述），并计算原点，P2点和第 +1点组成的三角形面积矢 量乘积。 量乘积。
GeoHohai
一种简化的地震危险性分析计算方法 ----逐点计算法 ----逐点计算法
一、地震危险性分析的椭圆模型 二、逐点计算法的思路 三、程序设计的技术处理 四、举例说明
一、地震危险性分析的椭圆模型
1968年，Cornell建立了 年 建立了Cornell模型。 模型。 建立了 模型 1977年，Der.kiurehian和A.H-S.Ang对Cornell模 年 和 对 模 型做了较大的修改，提出断层－破裂模型。 型做了较大的修改，提出断层－破裂模型。 1989年，沈建文等讨论了 年 沈建文等讨论了Cornell模型和断层破裂 等讨论了 模型和断层破裂 模型存在的系统偏差， 模型存在的系统偏差，提出了地震危险性分析的 经验点椭圆模型。 经验点椭圆模型。
一、地震危险性分析的椭圆模型
对场地产生有效影响的潜在震源有n个 设对场地产生有效影响的潜在震源有 个，地 震发生为均匀泊松过程， 为第E 震发生为均匀泊松过程，且vi为第 i个潜在震源震 的地震的年平均发生率， 级m≥m0的地震的年平均发生率，则一年中场地地 震动Y超过某确定 的概率为： 超过某确定y的概率为 震动 超过某确定 的概率为：
二、逐点计算法的思路
当多边形第n顶点在椭圆内 顶点在椭圆内， 顶点有两种情况: 1、当多边形第 顶点在椭圆内，第n+1顶点有两种情况: 顶点有两种情况
点在椭圆内。 （1）第n+1点在椭圆内。 点在椭圆内
只需计算以坐标原点、 点 面积。 只需计算以坐标原点 、 n点、 n+1 点为顶点的三角形 + 点为顶点的三角形OAB面积。 面积 在求三角形面积时，由于按逆时针取点， 在求三角形面积时 ， 由于按逆时针取点 ， 三角形面积可表示为矢量 叉乘形式。若表达式为正，表示加上该三角形面积；若表达式为负， 叉乘形式 。 若表达式为正 ， 表示加上该三角形面积 ； 若表达式为负 ， 表示减去该三角形面积，后文有具体说明。 表示减去该三角形面积，后文有具体说明。
B(n+1) P1 B(n+1) B(n+1)
O P2 A(n)
二、逐点计算法的思路
线段AB与椭圆有两个交点 按照顺序， 线段 与椭圆有两个交点P1、P2。按照顺序，首先处理交点 与椭圆有两个交点 P2。P2可当作点有椭圆外到椭圆内与椭圆的交点。若前面已有椭 可当作点有椭圆外到椭圆内与椭圆的交点。 圆扇形的初始点， 点作为椭圆扇形的终止点， 圆扇形的初始点，把P2点作为椭圆扇形的终止点，计算出椭圆扇 形的面积；若没有椭圆扇形的初始点， 点存贮起来， 形的面积；若没有椭圆扇形的初始点，把P2点存贮起来，作为最 后计算椭圆扇形面积的终止点。处理完P2，计算三角形O P2 P1， 后计算椭圆扇形面积的终止点。处理完 计算三角形 然后处理交点P 可视为点由椭圆内到椭圆外与椭圆的交点， 然后处理交点 1。P1可视为点由椭圆内到椭圆外与椭圆的交点， 只需将其作为计算下一个椭圆扇形面积的初始点存贮起来。 只需将其作为计算下一个椭圆扇形面积的初始点存贮起来。