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第四周作业参考答案

书外题目:在光滑的水平桌面上固定一半径为R 的圆环形围屏A ,质量为m 的滑块B 沿环形圆屏的内壁运动,B 与A 之间的滑动摩擦系数为μ,求
(1)当滑块B 速度为v 时,它与屏蔽间的摩擦力及滑块的切向加速度。

(2)滑块B 的速率由v 减小到v/3所需的时间。

解:注意受力分析图,写切向和法向得
分量式不用矢量符号。

法向:R
v m ma N n 2
==
22v
dv dt R dt
dv
m
R v m N dt
dv
m ma f t =====μμμ切向:
两边积分得:v
R t μ2=
3.4.7 注意事项:受力分析图
解:以地为参考系,隔离A,B,C ,受力及运动情况如图示,其中:f 1=μN 1=μm 1g ,f 2=μN 2=μm 2g ,T'=2T ,由于A 的位移加B 的位移除2等于C 的位移,所以(a 1+a 2)/2=a 3.
对A,B,C 分别在其加速度方向上应用牛顿第二定律:


①2/)(221332
22111a a m T g m a m g m T a m g m T +=-=-=-μμ
①,②,③联立,可求得:
g
m m m m m m m m a g m m m m m m m a g
m m m m m m m a ⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-++++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+++=μμμμμμ21321321321321312213213214)()1()(4)()1(24)()1(2
3.4.13解:以固定底座为参考系,设弯管的角速度为ω,小环受力及运动情况如图示:α为小环处切线与x 轴夹角,压力N 与切线垂直,加速度大小a=ω2x ,方向垂直指向y 轴。

在图示坐标下应用牛顿二定律的分量式:


mg N N x m N N ==-︒==-︒ααωααcos )90sin(sin )90cos(2
①/②得:tg α=ω2x/g ③;由数学知识:tg α=dy/dx=2a x ; 所以,ag ag g x ax 2,2,
/222===ωωω
若弯管为半径为R 的圆形,圆方程为:x 2 + (R-y)2 = R 2,即
2
22
/122
2
1
2/1222/122222/)2()
(/)(,)(,)(x
R x x x R dx dy tg x R R y x R y R x R y R -=-⋅--==--=-=--=--α
代入③中,得:222
2
2/,
//x R g g x x R x -==-ωω
3.4.5
解:
以相对地面向右作加速直线运动的斜面为参考系(非惯性系,设斜面相对地的加速度为a 2),取m 1为研究对象,其受力及运动情况如左图所示,其中N 1为斜面对人的支撑力,f *为惯性力,a'即人对斜面的加速度,方向显然沿斜面向下,选如图所示的坐标系o'-x'y',应用牛顿第二定律建立方程:
⎩⎨
⎧=+=+-)
2('cos sin )1(0sin cos 12112111Λ
Λa m a m g m a m g m N αααα
(这一步也可以用上课讲得方法)
再以地为参考系,取m 2为研究对象,其受力及运动情况如右图所示,选图示坐标o-xy,应用牛顿第二定律建立方程:
⎩⎨
⎧=--=)
4(0cos )3(sin 1222
21ΛΛααN g m N a m N (1)、(2)、(3)联立,即可求得:g m m m m a g
m m m m N α
α
α
α
21221212211sin sin )('sin cos ++=
+=
3.5.1 解:(1)以地为参考系(惯性系),小球受重力W 和线拉力T 的作用,加速度a 沿斜面向下,建立图示坐标o-xy,
应用牛顿第二定律:⎩⎨
⎧=-=
θα
θcos cos sin ma T mg ma T 解得 )sin /(cos
ααθa g a tg -=
(2)以小车为参考系(非惯性系),小球除受重力W 、拉力T 外,还受惯性力f *的作
用(见上图虚线表示的矢量),小球在三个力作用下静止,
据牛顿第二定律:


⎧=--=-0sin cos 0cos sin αθαθma T mg ma T 解得αα
θsin cos a g a tg -=
3.5.2 解:以升降机为参考系,隔离m 1,m 2,受力及运动情况如图示,T 为绳中张力,f 1*=m 1a,f 2*=m 2a, a 1'=a 2'=a'为m 1、m 2相对升降机的加速度.
以向下为正方向,由牛顿二定律,有:
⎩⎨
⎧=---=--''222111a m a m T g m a m a m T g m 解得:⎪⎩

⎨⎧+-=+-+-=)
/()(2)()('2121211221m m a g m m T m m g m m a m m a 设m 1、m 2的加速度分别为a 1、a 2,根据相对运动的加速度公式,
a a a a a a ρ
ρϖρρρ+=+=''2211 写成标量式:a a a a a a +=+-=','21,将a ’代入,求得:
⎪⎪⎩

⎪⎨
⎧+-+=+--=))(2)(2211212211221
m m g m m a m a m m g m m a m a
3.5.4 解:设摩托车在水平面内旋转的最小角速度为ω,以摩托车本身为参考系,车受力情况如图示,运动状态静止。

在竖直方向应用平衡条件,μ0N = mg ① 在水平方向应用平衡条件,N = m ω2 r ②
①/②得:r
g
r
g
02
0,μωωμ=
=
最小线速度 s m rg r v /76.0/8.90.3/0=⨯==
=μω
3.5.5解:⑴可把小盘当作质点,小盘相对雨伞做匀速圆周运动,与伞相对地的转向相反。

⑵因为小盘相对地面静止,在地面这个惯性系中只受
三个力的作用,小盘质点受5个力的作用:向下的重力W ,
与扇面垂直的支持力N ,沿伞面向上的静摩擦力f 0,所以N
⃗⃗ +f 0⃗⃗ +w ⃗⃗⃗ =0 以伞为参考系,小盘质点受5个力的作用:向下的重
力W ,与扇面垂直的支持力N ,沿伞面向上的静摩擦力f 0,此外还有离心惯性力f C *和科氏惯性力f k *,方向如图所示。

根据非惯性系的牛顿定律,小盘
N ⃗⃗ +f 0⃗⃗ +w ⃗⃗⃗ =0
所以由'
2'
2'
**2ma r mw ma r mw mvw ma f f k c ==-=+ρ
ρ
小盘正是在这个合力的作用下相对伞做角速度ω匀速圆周运动。

f C *。

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