图示悬臂梁受集度为q的满布均布荷载作用。 试列梁的剪力方程和弯矩方程。
A x B
l
解：以自由端为坐标原点，则可不求反力列剪 力方程和弯矩方程： M(x) Fy 0 x FS(x) F x qx0 x l

S
B
M
B
0
x qx 2 0 x l M x qx 2 2
FB
FS4 FB 2 F M 4 FB a 0 M 4 2Fa (顺 )
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第五章 弯曲内力
F
FA=3F 1 2 A1 2
1—1 -P -Pa
Me =3Fa FB =-2F 3 4 B 3 4 x
3—3 2P Pa 4—4 2P -2Pa
内力
2—2 2P -Pa
l
B
qx2 M x 2
FS
FS,max ql
ql2 8
x ql2 2
x 注意：
l/2
M max
ql 2
2
M 弯矩图中正的弯矩值绘在x轴的下方(即弯矩值绘在 弯曲时梁的受拉侧)。
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第五章 弯曲内力
例 图示简支梁受集度为q的满布荷载作用。试作梁的 剪力图和弯矩图。 q
梁——以弯曲为主要变形的杆件称为梁。
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第五章 弯曲内力
承受弯曲作用的杆，称为梁。
杆件：某一方向尺寸远大于其它方向尺寸的构件。 直杆：杆件的轴线为直线。 杆的可能变形为：
轴向拉压—内力为轴力。如拉、撑、活塞杆、钢缆、柱。 扭转 —内力为扭矩。如各种传动轴等。 (轴) 弯曲 —内力为弯矩。如桥梁、房梁、地板等。(梁)
A FA x B
l
FB
1、列剪力方程和弯矩方程 q
M(x)
FS(x)
A
FA
x
ql FS x FA qx qx 2 2 x qlx qx M x FA x qx 2 2 2
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第五章 弯曲内力
2、作剪力图和弯矩图 q
A
l
FS ql 2
ql FS x qx 2 B qlx qx2 M x 2 2
3、 静定梁和超静定梁
在竖直荷载作用下，图a，b，c所示梁的约束力均可由
平面力系的三个独立的平衡方程求出，称为静定梁。
图d，e所示梁及其约束力不能单独利用平衡方程确定，
称为超静定梁。
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第五章 弯曲内力
§5.3 剪力方程和弯矩方程、剪力图和弯矩图
5.3.1 梁的剪力和弯矩(梁的横截面上的两种内力) 图a所示跨度为l的简支梁其
M
从而有
M F a x FB l x 0
C
0
M F a x FB l x F a x F l a x l Fa l x l
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第五章 弯曲内力
梁的横截面上位于横截面 内的内力FS是与横截面左右两
故根据作用与反作用原理，m－m左边的梁段对于右边 梁段(图c)的作用力和作用力矩数值应与上式所示相同，但指 向和转向相反。这一点也可由m－m右边分离体的平衡条件加
以检验：
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第五章 弯曲内力
F
y
0, FS F FB 0
从而有 Fa F l a FS F FB F l l
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第五章 弯曲内力
剪力图和弯矩图 剪力方程
弯矩方程
FS FS ( x)
M M (x)
反映梁的横截面上的剪 力和弯矩随截面位置变 化的函数式
显示剪力和弯矩随截面位移的变化规律的图形则 分别称为剪力图和弯矩图。
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第五章 弯曲内力
例 图示悬臂梁受集度为q的满布均布荷载作用。试 作梁的剪力图和弯矩图。
侧的两段梁在与梁轴相垂直方
向的错动(剪切)相对应，故称 为剪力；梁的横截面上作用在 纵向平面内的内力偶矩是与梁 的弯曲相对应，故称为弯矩。
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第五章 弯曲内力
为使无论取横截面左边或右边为分离体，求得同一横
截面上的剪力和弯矩其正负号相同，剪力和弯矩的正负号
要以其所在横截面处梁的微段的变形情况确定，如下图。
b
B
FB
剪力方程无需分段： F x F M e 0 x l S A M(x) M(x) l A B x FS(x) FA FS(x) F
B
弯矩方程——两段： Me AC段： M x FA x x CB段：
0 x a l Me l x a x l M x FA x M e
A x B
l
解：1、以自由端为坐标原点，列剪力方程和 弯矩方程： M(x) x FS x qx0 x l FS(x)
B
x qx 2 0 x l M x qx 2 2
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第五章 弯曲内力
2、 作剪力图和弯矩图 A
ql
FS x qx
解：支反力为
M F
y
A
0
FB 2a 3Fa F a 0
FB 2 F ()
0
FB FA F
FA 3F ()
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第五章 弯曲内力
y
F a 1A2 1 2 FA 截面1—1 F 1 C1
Me =3Fa
3 4 3 4 B a
y
x FB
2a
FS1 F M1 F a 0 M1 C1 M 1 Fa ( 顺 ) 1 FS1 截面2—2 Fy 0 FS2 FA F 0 F FS2 FA F 2 F C2 2 M 2 FA 2 F MC2 0 M2 F a 0 S2 M 2 Fa ( 顺 )
在一段梁上，剪力和弯矩按一种函数规律变化，该 段梁的两个端截面称为控制面。控制面也是函数定义域
的两个端点。下列截面都可能为控制面：
(1) 集中力作用点两侧截面。 (2) 集中力偶作用点两侧截面。 (3) 分布载荷起点和终点处截面。
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第五章 弯曲内力
例5-1 求图示外伸梁在截面1—1、2—2、3—3和 4—4横截面上的剪力和弯矩。 y Me =3Fa F B 1A2 3 4 1 2 3 4 x a a FB FA 2a
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第五章 弯曲内力
梁的分类
F q
平面弯曲
简支梁 悬臂梁
梁的横截面
M
都有对称轴 外伸梁
纵向对称面
集中力，集中力偶，分布载荷
平面问题，梁受 三个约束，都是 静定梁。
梁有纵向对称面，且载荷均作用在 纵向对称面内，变形后梁的轴线仍 在该平面内，称为平面弯曲。
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第五章 弯曲内力
§5.2 梁的计算简图及分类
M(x) FS(x)
Fa a x l M(x) FS x FB l Fa l x M x FB (l x) FS(x) l a x l
Fb 0 x a FS x l Fb M x x0 x a l
第五章 弯曲内力
§5.1 弯曲变形的概念和工程实例
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第五章 弯曲内力
弯曲的概念 受力特点： 杆件受到垂直于杆轴线的外力（横向力）或外力 偶（其矢量垂直于杆轴）作用。 Me Me
A
F
B
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Me
Me
A
F
B
变形特点： 1、直杆的轴线在变形后变为曲线； 2、任意两横截面绕垂直于杆轴的轴作相对转动。
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第五章 弯曲内力
综上所述可知： (1) 横截面上的剪力——使截开部分梁产生顺时针方向 转动为正；产生逆时针方向转动为负。 (2) 横截面上的弯矩——作用在左侧面上使截开部分
逆时针方向转动，或者作用在右侧截面上使截开部分顺时
针方向转动者为正；反之为负。
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第五章 弯曲内力
Ⅱ.控制面
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第五章 弯曲内力
例5-4 图示简支梁受集度为q的均布荷载作用。试列 剪力方程和弯矩方程。 q A
FA
B x
l FB
解：1、求支反力
2、列剪力方程和弯矩方程 q M(x) F x F qx ql qx S A A
FA x
ql FA FB 2
2 x qlx qx2 FS(x) M x FA x qx 2 2 2
F 0 M 0
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第五章 弯曲内力
y F
a 1A2 1 2 FA
Me =3Fa
3 4 3 4 B a x FB
FS3 FA F 0
2a
3 M3 C3
截面3—3 F
FA 截面4—4
3F
S3
M4
FS4
4C4
4
FS3 FA F 2F M 3 F a FA a 0 M 3 Fa ( 逆 )
CB段 B FB
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第五章 弯曲内力
例5-6 图示简支梁在C点受矩为Me 的集中力偶作用。 试列剪力方程和弯矩方程。 a
A
Me
C
b
B
FA
解: 1、求支反力
l
FB
M
A
0
M e FA l 0
Me FB l
Me FA l
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第五章 弯曲内力
2、 列剪力方程和弯矩方程 a A C x FA l