第4讲 平面向量的应用 A 级 基础达标演练 (时间：40分钟 满分：60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．(2012·武汉质检)已知P 是△ABC 所在平面内一点，若CB →＝λP A →＋PB →，其中λ∈R ，则点P 一定在( )． A ．△ABC 的内部B ．AC 边所在直线上C ．AB 边所在直线上D ．BC 边所在直线上解析 由题意知：CB →－PB →＝λP A →，即CB →＋BP →＝λP A →， ∴CP →＝λP A →，即CP →与P A →共线，∴点P 在AC 边所在直线上． 答案 B2．△ABC 的三个内角成等差数列，且(AB →＋AC →)·BC →＝0，则△ABC 一定是( )．A ．等腰直角三角形B ．非等腰直角三角形C ．等边三角形D ．钝角三角形解析 △ABC 中BC 边的中线又是BC 边的高，故△ABC 为等腰三角形，又A ，B ，C 成等差数列，故B ＝π3. 答案 C3．(2011·湖南十二校联考(二))设△ABC 的三个内角为A ，B ，C ，向量m ＝(3sin A ，sin B )，n ＝(cos B ，3cos A )，若m ·n ＝1＋cos(A ＋B )，则C ＝( )． A.π6 B.π3 C.2π3 D.5π6解析 依题意得3sin A cos B ＋3cos A sin B ＝1＋cos(A ＋B )，3sin(A ＋B )＝1＋cos(A ＋B ), 3sin C ＋cos C ＝1，2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫C ＋π6＝1，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫C ＋π6＝12.又π6＜C ＋π6＜7π6，因此C ＋π6＝5π6，C ＝2π3. 答案 C4．(2011·济南模拟)已知点A (－2,0)、B (3,0)，动点P (x ，y )满足P A →·PB →＝x 2，则点P 的轨迹是( )． A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线解析 P A →＝(－2－x ，－y )，PB →＝(3－x ，－y )， ∴P A →·PB →＝(－2－x ，－y )·(3－x ，－y ) ＝(－2－x )(3－x )＋y 2＝x 2. 即y 2＝x ＋6. 答案 D5．(★)(2011·洛阳模拟)如图所示，已知点G 是△ABC 的重心，过G 作直线与AB ，AC 两边分别交于M ，N 两点，且AM →＝xAB →，AN →＝yAC →，则x ·yx ＋y的值为( )．A ．3 B.13C ．2D.12解析 (特例法)利用等边三角形，过重心作平行于底边BC 的直线，易得x ·y x ＋y ＝13. 答案 B【点评】 本题采用特殊点法，因为过点G 的直线有无数条，其中包含平行于底边BC 的直线，所以\f(xy,x ＋y )的值不随M 、N 的位置变化而变化. 二、填空题(每小题4分，共12分)6．在菱形ABCD 中，若AC ＝4，则CA →·AB →＝________.解析 设∠CAB ＝θ，AB ＝BC ＝a ，由余弦定理得：a 2＝16＋a 2－8a cos θ，∴a cos θ＝2. ∴CA →·CB →＝4×a ×cos(π－θ)＝－4a cos θ＝－8. 答案 －87．已知向量m ＝(cos ωx ＋sin ωx ，3cos ωx )，n ＝(cos ωx －sin ωx ，2sin ωx )，其中ω＞0.设函数f (x )＝m ·n ，且函数f (x )的最小正周期为π，则ω的值为________． 解析 ∵m ＝(cos ωx ＋sin ωx, 3cos ωx )， n ＝(cos ωx －sin ωx ，2sin ωx )，∴f (x )＝m ·n ＝cos 2ωx －sin 2ωx ＋23cos ωx sin ωx ＝cos 2ωx ＋3sin 2ωx ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π6.∴f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π6. ∵函数f (x )的最小正周期为π，∴T ＝2π2ω＝π，ω＝1. 答案 18．(2011·南京二模)已知平面向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2，a 与b 的夹角为π3.以a ，b 为邻边作平行四边形，则此平行四边形的两条对角线中较短的一条的长度为________．解析 ∵|a ＋b |2－|a －b |2＝4a ·b ＝4|a ||b |cos π3＝4＞0， ∴|a ＋b |＞|a －b |，又|a －b |2＝a 2＋b 2－2a ·b ＝3，∴|a －b |＝ 3. 答案3三、解答题(共23分)9．(11分)已知向量a ＝(sin θ， 3)，b ＝(1，cos θ)，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2.(1)若a ⊥b ，求θ的值； (2)求|a ＋b |的最大值．解 (1)∵a ⊥b ，∴a ·b ＝sin θ＋3cos θ＝0. 即tan θ＝－3，又θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，故θ＝－π3.(2)|a ＋b |2＝(sin θ＋1)2＋(3＋cos θ)2＝5＋4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3，故当θ＝π6时，|a ＋b |2的最大值为9，故|a ＋b |的最大值为3.10．(12分)(2011·杭州模拟)在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若AB →·AC →＝BA →·BC →＝k (k ∈R )． (1)判断△ABC 的形状； (2)若c ＝2，求k 的值．解 (1)∵AB →·AC →＝cb cos A ，BA →·BC →＝ca cos B ， 又AB →·AC →＝BA →·BC →，∴bc cos A ＝ac cos B ， ∴sin B cos A ＝sin A cos B ，即sin A cos B －sin B cos A ＝0，∴sin(A －B )＝0， ∵－π＜A －B ＜π，∴A ＝B ，即△ABC 为等腰三角形． (2)由(1)知，AB →·AC →＝bc cos A ＝bc ·b 2＋c 2－a 22bc ＝c 22＝k ， ∵c ＝2，∴k ＝1.B 级 综合创新备选 (时间：30分钟 满分：40分)一、选择题(每小题5分，共10分)1．(2011·厦门二检)已知点O ，N ，P 在△ABC 所在的平面内，且|OA →|＝|OB →|＝|OC →|，NA →＋NB →＋NC →＝0，P A →·PB →＝PB →·PC →＝PC →·P A →，则点O ，N ，P 依次是△ABC 的( )．A ．重心、外心、垂心B ．重心、外心、内心C ．外心、重心、垂心D ．外心、重心、内心解析 因为|OA →|＝|OB →|＝|OC →|，所以点O 到三角形的三个顶点的距离相等，所以O 为三角形ABC 的外心；由NA →＋NB →＋NC →＝0，得NA →＋NB →＝－NC →＝CN →，由中线的性质可知点N 在三角形AB 边的中线上，同理可得点N 在其他边的中线上，所以点N 为三角形ABC 的重心；由P A →·PB →＝PB →·PC →＝PC →·P A →得，P A →·PB →－PB →·PC →＝PB →·CA →＝0，则点P 在AC 边的垂线上，同理可得点P 在其他边的垂线上，所以点P 为三角形ABC 的垂心． 答案 C2．设向量a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，其中0＜α＜β＜π，若|2a ＋b |＝|a －2b |，则β－α＝( )． A.π2B ．－π2C.π4D ．－π4解析 由|2a ＋b |＝|a －2b |得3|a |2－3|b |2＋8a ·b ＝0，而|a |＝|b |＝1，故a ·b ＝0，即cos(α－β)＝0，由于0＜α＜β＜π，故－π＜α－β＜0，故β－α＝π2. 答案 A二、填空题(每小题4分，共8分)3．已知向量a ＝(3sin θ，1)，b ＝(1，cos θ)，则a ·b 的最大值为________． 解析 a ·b ＝3sin θ＋cos θ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6≤2.答案 24．(★)(2011·太原模拟)若等边△ABC 的边长为23，平面内一点M 满足CM →＝16CB →＋23CA →，则MA →·MB →＝________.解析 (构造法)∵等边三角形的边长为23， ∴如图建立直角坐标系，∴CB →＝(3，－3)，CA →＝(－3，－3)，∴CM →＝16CB →＋23CA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－52.∴OM →＝OC →＋CM →＝(0,3)＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－52＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，12.∴MA →·MB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－12·⎝ ⎛⎭⎪⎫332，－12＝－2. 答案 －2【点评】 本题构造直角坐标系，通过坐标运算容易理解和运算． 三、解答题(共22分)5．(10分)(2011·淄博模拟)已知向量a ＝(cos x ，sin x )，b ＝(－cos x ，cos x )，c ＝(－1,0)．(1)若x ＝π6，求向量a 与c 的夹角；(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，9π8时，求函数f (x )＝2a ·b ＋1的最大值，并求此时x 的值．解 (1)设a 与c 夹角为θ，当x ＝π6时，a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12，cos θ＝a ·c|a ||c |＝32×(－1)＋12×0⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122×(－1)2＋02＝－32.∵θ∈[0，π]，∴θ＝5π6.(2)f (x )＝2a ·b ＋1＝2(－cos 2x ＋sin x cos x )＋1＝2sin x cos x －(2cos 2x －1)＝sin 2x －cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4，∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，9π8，∴2x －π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π4，2π， 故sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，22，∴当2x －π4＝3π4，即x ＝π2时，f (x )max ＝1.6．(12分)(2011·南通模拟)已知向量m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3sin x 4，1， n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x 4，cos 2 x 4.(1)若m ·n ＝1，求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－x 的值；(2)记f (x )＝m ·n ，在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且满足(2a －c )cos B ＝b cos C ，求函数f (A )的取值范围． 解 (1)m ·n ＝3sin x 4·cos x 4＋cos 2 x4 ＝32sin x 2＋1＋cos x22＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π6＋12，∵m ·n ＝1，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π6＝12.cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝1－2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π6＝12，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－x ＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝－12. (2)∵(2a －c )cos B ＝b cos C ，由正弦定理得(2sin A －sin C )cos B ＝sin B cos C ， ∴2sin A cos B －sin C cos B ＝sin B cos C . ∴2sin A cos B ＝sin(B ＋C )．∵A ＋B ＋C ＝π，∴sin(B ＋C )＝sin A ≠0. ∴cos B ＝12，∵0＜B ＜π，∴B ＝π3，∴0＜A ＜2π3.∴π6＜A 2＋π6＜π2，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＋π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1.又∵f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π6＋12.∴f (A )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＋π6＋12.故函数f (A )的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32.。