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全品作业本-高中-数学-必修4-RJA(1-64)

全品作业本高中数学必修4新课标(RJA)目录课时作业第一章三角函数1.1 任意角和弧度制1.1.1 任意角1.1.2 弧度制1.2 任意角的三角函数1.2.1 任意角的三角函数第1课时任意角的三角函数第2课时三角函数线及其应用1.2.2 同角三角函数的基本关系1.3 三角函数的诱导公式►滚动习题(一)[范围1.1〜1.3]1.4 三角函数的图像与性质1.4.1 正弦函数、余弦函数的图像1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质1.4.3 正切函数的性质与图像1.5 函数y=A sin(ωx+φ)的图像第1课时函数y=A sin(ωx+φ)的图像第2课时函数y=A sin(ωx+φ)的性质1.6 三角函数模型的简单应用►滚动习题(二)[范围1.1~1.6]第二章平面向量2.1 平面向量的实际背景及基本概念2.1.1 向量的物理背景与概念2.1.2 向量的几何表示2.1.3 相等向量与共线向量2.2 平面向量的线性运算2.2.1 向量加法运算及其几何意义2.2.2 向量减法运算及其几何意义2.2.3 向量数乘运算及其几何意义2.3 平面向量的基本定理及坐标表示2.3.1 平面向量基本定理2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示2.3.3 平面向量的坐标运算2.3.4 平面向量共线的坐标表示2.4 平面向屋的数量积2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角2.5 平面向量应用举例2.5.1 平面几何中的向量方法2.5.2 向量在物理中的应用举例►滚动习题(三)[范围2.1~2.5]第三章三角恒等变换3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式3.1.1 两角差的余弦公式3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式►滚动习题(四)[范围3.1]3.2 简单的三角恒等变换第1课时三角函数式的化简与求值第2课时三角函数公式的应用►滚动习题(五)[范围3.1〜3.2]参考答案综合测评单元知识测评(一)[第一章]卷1单元知识测评(二)[第二章] 卷3单元知识测评(三)[第三章]卷5模块结业测评(一)卷7模块结业测评(二)卷9参考答案卷提分攻略(本部分另附单本)第一章三角函数1.1 任意角和弧度制1.1.1 任意角攻略1 判定角的终边所在象限的方法1.1.2 弧度制攻略2 弧度制下的扇形问题1.2 任意角的三角函数1.2.1 任意角的三角函数攻略3 三角函数线的巧用1.2.2 同角三角函数的基本关系攻略4 “平方关系”的应用方法1.3 三角函数的诱导公式攻略5 “诱导公式”的应用方法攻略6 三角函数的诱导公式面面观1.4 三角函数的图像与性质1.4.1 正弦函数、余弦函数的图像攻略7 含绝对值的三角函数的图像画法及应用1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质攻略8 三角函数性质的综合应用题型1.4.3 正切函数的性质与图像攻略9 正切函数的图像应用剖析1.5 函数y=A sin(ωx+φ)的图像攻略10 求函数y=A sin(ωx+φ)+k解析式中ω,φ的方法攻略11 三角函数图像的平移和伸缩1.6 三角函数模型的简单应用攻略12 三角函数的应用类型剖析第二章平面向量2.1 平面向量的实际背景及基本概念2.1.1 向量的物理背景与概念2.1.2 向量的几何表示2.1.3 相等向量与共线向量攻略13 平面向量入门易错点导析2.2 平面向量的线性运算2.2.1 向量加法运算及其几何意义攻略14 向量加法的多边形法则及应用2.2.2 向量减法运算及其几何意义攻略15 向量加减法法则的应用2.2.3 向量数乘运算及其几何意义攻略16 平面向量中三角形面积比问题的求解技巧2.3 平面向量的基本定理及坐标表示2.3.1 平面向量基本定理2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示攻略17 定理也玩“升级”2.3.3 平面向量的坐标运算攻略18 向量计算坐标化解题能力能升华2.3.4 平面向量共线的坐标表示攻略19 善用“x1y2-x2y1=0”巧解题2.4 平面向量的数量积2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角攻略20 “盘点”向量数量积应用类型攻略21 数量积应用易错“点击2.5 平面向量应用举例2.5.1 平面几何中的向量方法2.5.2 向量在物理中的应用举例攻略22 直线的方向向量和法向量的应用攻略23 向量在平面几何和物理中的应用第三章三角恒等变换3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式3.1.1 两角差的余弦公式攻略24 已知三角函数值求角3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式攻略25 三角函数问题中怎样“缩角”3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式攻略26 二倍角公式的“8种变化”3.2 简单的三角恒等变换攻略27 —道三角求值题的解法探索攻略28 三角变换的技巧与方法整合参考答案第一章三角函数1.1 任意角和弧度制1.1.1 任意角基础巩固1.不相等的角的终边()A.—定不同B.必定相同C.不一定不相同D.以上都不对【答案】C2.已知角α,β的终边相同,则α-β的终边在()A.x轴的非负半轴上B.y轴的非负半轴上C.x轴的非正半轴上D.y轴的非正半轴上【答案】A3.若α=k•180°+45°,k∈Z,则角α的终边在()A.第一或第三象限B.第一或第二象限C.第二或第四象限D.第三或第四象限【答案】A【解析】当2()k n n Z=∈时,36045,=︒+︒∈,α为第一象限角;当a n n Zk n n Z=+∈时,360225,21()=︒+︒∈,a为第三象限角.a n n Z4.已知α是锐角,那么2α是()A.第一象限角B.第二象限角C.小于180°的正角D.第一或第二象限角【答案】C【解析】由题意知090︒<<︒,所以02180a︒<<︒a5.若角α满足180°<α<360°,角5α与α的终边相同,则α=___270°_______.能力提升6.[2014·湖南五市十校期中]与1303°终边相同的角是()A.763°B.493°C.-137°D.-47°【答案】C【解析】1303°= 360°+943°= 360°× 2 + 583°= 360°×3 + 223°= 360°× 4+(-137°)7.若A ={α|α=k ·360°,k ∈Z },B ={α|α=k ·180°,k ∈Z },C ={α|α=k ·90°,k ∈Z },则下列关系中正确的是( ) A .A =B =C B .A =B ∩C C .A ∪B =C D .A B C ⊆⊆【答案】D【解析】∵ 90,90,90C B A ︒∈︒∉︒∉, ∴选项 A ,C 错误.∵180,180,180C B A ︒∈︒∈︒∉,∴选项B 错误.8.[2015·深圳高级中学期中]如图1-1-1所示,终边落在阴影部分(含边界)的角的集合是( )A .{α|-45°≤α≤120°}B .{α|120°≤α≤315°}C .{α| k ·360°-45°≤α≤k ·360°+120°,k ∈Z }D .{α| k ·360°+120°≤α≤k ·360°+315°,k ∈Z } 【答案】C9.如果角2α的终边在x 轴的上方,那么α是( ) A .第一象限角 B .第一或第二象限角C .第一或第三象限角D .第一或第四象限角 【答案】C【解析】 根据题意,知3602360180,k a k k Z ︒<<︒+︒∈,∴18018090,k a k k Z ︒<<︒+︒∈.当2()k n n Z =∈时,36036090,n a n n Z ︒<<︒+︒∈,则α是第一象限角;当21()k n n Z =+∈时,360180360270,n a n n Z ︒+︒<<︒+︒∈,则 α是第三象限角.故α为第一或第三象限角.10.若角α与角β的终边关于y 轴对称,且在x 轴的上方,则α与β的关系是__________. 【答案】(21)180,a k k Z β=+︒-∈【解析】 当,(0,180)a β︒︒时,a +β=180°,即a =180°-β,所以当a ,β的终边均在x 轴的上方时,有a =k •360°+180°-β=(2k +1)•180°-β,k ∈Z .11.[2014·济南一中月考]在平面直角坐标系中,下列说法正确的是__________.(1)第一象限的角一定是锐角;(2)终边相同的角一定相等;(3)相等的角,终边一定相同;(4)小于90°的角一定是锐角;(5)钝角的终边在第二象限;(6)终边在直线3y x =上的角表示为k ×360°+60°,k ∈Z . 【答案】(3)(5)【解析】第一象限的角还可能是负角或大于90°的角,(1)错;终边相同的角相差360°的整数倍,(2)错;(3)正确;小于90°的角还可能是负角,(4)错;(5)正确;终边在直线y =上的角表示为k ×360°+60°,k ∈Z .或k ×360°+240°,k ∈Z ,(6)错.12.已知锐角α的10倍与它本身的终边相同,则角α=__________.【答案】40°或80°【解析】因为锐角α的10倍的终边与角α的终边相同,所以10a =a + k •360°, k ∈Z ,解得 a = k •40°, k ∈Z .又α为锐角,所以a =40°或80°.13.若角α的终边落在直线x +y =0上,求在[-360°,360°]内的所有满足条件的角α. 【答案】解:若角α的终边落在第二象限,则a =135°+ k ×360°,k ∈Z ; 若角α的终边落在第四象限,则a =315°+ k ×360°,k ∈Z . ∴终边落在直线x +y =0上的角α的集合为{}{}{}135360,315360,135180,a a k k Z a a k k Z a a k k Z =︒+⨯︒∈=︒+⨯︒∈==︒+⨯︒∈.令-360°≤135°+k ×180°≤360°,得{}2,1,0,1k ∈--,∴满足条件的α为-225°,-45°,135°,315°.14.[2014•沈阳铁路实验中学期末]已知α,β为锐角,且α+β的终边与-280°的终边相同,α-β的终边与670°的终边相同,求角α,β. 【答案】 解:由题意得a +β=-280°+k •360°=(k -1)•360°+80°(k ∈Z ),a -β=670°+ k •360°=(k +2)•360°-50°(k ∈Z ).又a ,β都为锐角,∴0°<a +β<180°, - 90°<a -β<90°, ∴a +β= 80°,a -β=-50°,∴a =15°,β= 65°. 难点突破15.已知A ={α|α=k ·360°+45°,k ∈Z },B ={β|β=k ·360°+135°,k ∈Z },则A ∪B =__________.【答案】 {}180(1)45,k a a k k Z=︒+-︒∈【解析】∵{}{}36045,218045,A a a k k Z a a k k Z ==︒+︒∈==︒+︒∈, {}{}360135,(21)18045,B k k Z k k Z ββββ==︒+︒∈==+︒-︒∈,∴{}180(1)45,k AB a a k k Z ==︒+-︒∈.16.[2014•嘉兴一中期中]若α是第三象限角,则3α是第几象限角? 【答案】解:α是第三象限角,∴k •360°+180°<a < k •360°+270°,k ∈Z ,∴1206012090,3ak k k Z ︒+︒<<︒+︒∈. ①当k = 3n ,n ∈Z 时,3606036090,3an n n Z ︒+︒<<︒+︒∈; ②当k =3n +1,n ∈Z 时, 360180360210,3an n n Z ︒+︒<<︒+︒∈; ③当k = 3n +2,n ∈Z 时,360300360330,3an n n Z ︒+︒<<︒+︒∈.∴3a是第一或第三或第四象限角. 1.2.2 弧度制 基础巩固 1.将-300°化为弧度是( ) A .4πrad 3- B .5πrad 3-C .7πrad 4-D .7πrad6- 【答案】B2.若扇形的半径变为原来的2倍,而弧长也变为原来的2倍,则( )A .扇形的面积不变B .扇形的圆心角不变C .扇形的面积变为原来的2倍D .扇形的圆心角变为原来的2倍 【答案】B3.已知集合A ={α| 2k π≤α≤(2k +1)π,k ∈Z },B ={α|-4≤α≤4},A ∩B 等于( ) A .∅B .{α|-4≤α≤π}C .{α| 0≤α≤π}D .{α|-4≤α≤-π或0≤α≤π} 【答案】D4.若三角形三内角的弧度数之比为4:5:6,则三内角的弧度数分别是__________. 【答案】 415π,3π,25π【解析】设三角形的三个内角的弧度数分别为4x ,5x ,6x ,则有 4x + 5x +6x = π,解得15x π=,∴三内角的弧度数分别为415π,3π,25π.5.(1)若θ∈(0,π),且θ与7θ的终边相同,则θ=__________. (2)设α=-2,则α的终边在第__________象限.【答案】 (1)3π或23π(2)三 【解析】(1)由题意得7θ=2kπ+θ(k ∈Z ),∴()3k k Z πθ=∈.又(0,),3πθπθ∈=或23π. (2)-2=-2π+2π-2,∴322,2πππ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭,故α为第三象限角.能力提升6.与角π6-终边相同的角是( )A .5π6 B .π3C .11π6D .2π3 【答案】C7.[2015•福建清流一中模拟]半径为10cm ,面积为100cm 2的扇形中,弧所对的圆心角为( )A .2B .2°C .2πD .10 【答案】A【解析】设弧所对的圆心角为a ,由题知21(10)1002a ⨯=,解得a =2.8.集合ππππ,42k k k αα⎧⎫++∈⎨⎬⎩⎭Z ≤≤所表示的角的范围(用阴影表示)是( )【答案】C【解析】当k =2m ,m ∈Z 时,22,42m a m m Z ππππ+≤≤+∈;当k =2m +1,m ∈Z 时,5322,42m a m m Z ππππ+≤≤+∈.故选C . 9.[2014•西安一中期末]已知弧度数为2的圆心角所对的弦长也是2,则这个圆心角所对的弧长是( ) A .2 B .2sin1C .2sin1D .sin2 【答案】B【解析】由题知半径为1sin1,所以弧长为2sin1. 10.在直径为10厘米的轮子上有一长为6厘米的弦,P 为弦的中点,若轮子以每秒5弧度的角速度旋转,则经过5秒后P 转过的弧长为__________.【答案】100厘米 【解析】P 到圆心O 的距离22534OP -=(厘米),所以P 转过的弧长为25×4 = 100(厘米).11.[2014•盐城中学期末]已知扇形的周长是4cm ,则当扇形的面积最大时,扇形的圆心角的弧度数是__________.【答案】2【解析】设此扇形的圆心角为a ,半径为r ,弧长为l ,则2r +l =4,则扇形的面积2211(42)2(1)122S rl r r r r r ==-=-+=--+,•••当 r =l 时,S 最大,这时l = 4-2r =2,从而221l a r ===.12.[2014•九江外国语学校月考]一个半径大于2的扇形,其周长C =10,面积S =6,求这个扇形的半径r 和圆心角α的弧度数. 【答案】解:由 C =2r +ra =10,得102r a r -=,将上式代入2162S ar ==,得 r 2-5r +6 =0, ∴r =3(r =2舍去),∴10243r a r -==.13.若弓形的弧所对的圆心角为π3,弓形的弦长为2cm ,求弓形的面积. 【答案】解:如图所示,r =AB =2cm ,∴2343(cm )4OAB S ∆=⨯=,2212S 2(cm )233OAB ππ∆=⨯⨯=扇形,∴22=3(cm )3OABOAB S S S π∆∆-=-弓形扇形难点突破14.一个扇形OAB 的面积是1cm 2,它的周长是4cm ,则圆心角的弧度数为__________,弦长AB =__________ cm .【答案】2 2sin 1 【解析】设扇形的半径为r cm ,弧长为 l cm ,圆心角为a ,则11,224,lr l r ⎧=⎪⎨⎪+=⎩解得1,2,r l =⎧⎨=⎩∴圆心角2la r==. 如图所示,过点O 作OH ⊥AB 于点H ,则ZAOH =I , ∠AOH =1,∴AH =1·sin 1=sin 1 (cm ) , ∴ AB = 2sin 1 cm . 15.[2015.陕西兴平秦岭中学期中](1)已知扇形OAB 的圆心角α为120°,半径r =6,求弧长l 及扇形的面积S .(2)已知扇形的周长为20,当扇形的圆心角为多大时它有最大面积,最大面积是多少? 【答案】 解:(1)因为21203a π=︒=,所以2643l ar ππ==⨯=,11461222S lr ππ==⨯⨯=.(2)设弧长为l ,半径为r ,圆心角为a ,由题知l +2r =20,所以l = 20-2r ,所以202l ra r r-==, 所以扇形的面积2221120210(5)2522r S lr r r r r r-===-+=--+,故当r =5时,S 取得最大值,最大值为25,这时2022l r a r r-===.1.2 任意角的三角函数 1.2.1 任意角的三角函数 第1课时 任意角的三角函数 基础巩固1.角α的终边经过点P (-b ,4),且,则b 的值为( ) A .3 B .-3C .±3D .5 【答案】 A2.下列三角函数值的符号判断错误的是( ) A .sin165° >0 B .cos280°>0C .tan170°>0D .tan310°<0 【答案】 C3.点A (sin 2015°,cos 2015°)在直角坐标平面上位于( ) A .第一象限 B .第二象限C .第三象限D .第四象限 【答案】 C【解析】sin 2015°=sin 215°<0,cos 2015°=cos 215°<0,故选C .4.已知角θ的顶点与原点重合,始边与x 轴的非负半轴重合,终边在射线y = 2x (x ≤0)上,则 cos θ的值为( )A .B .C D 【答案】 A【解析】在角θ的终边上取点P ( -1, -2),则r OP ==cosθ=.5.已知角2α的顶点在原点,始边与x 轴的非负半轴重合,终边过点12⎛- ⎝⎭,2α∈[0,2π),则tan α= _ _________【解析】由题知角2a 的终边在第二象限,tan 2a =又2a ∈[0,2π],所以223a π=,得3a π=,所以tan a =能力提升6.[2014·浏阳一中模拟]若π02α-<<,则点(tan α,cos α)位于( ) A .第一象限 B .第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】 B【解析】α是第四象限的角,所以tanα<0,cosα>0,所以点(tanα, cosα)在第二象限.7.[2015·嘉兴一中期中]若3sin5α=,4cos5α=-,则在角α终边上的点是()A.(-4,3)B.(3,-4)C.(4,-3)D.(-3,4)【答案】 A【解析】由a的两个三角函数值,可知a的终边在第二象限,排除B,C.又3 sin5a=,4cos5a=-,故选A.8.已知角α的终边上一点的坐标为ππsin,cos66⎛⎫⎪⎝⎭,则角α的最小正值为()A.11π6B.5π6C.π3D.π6【答案】C【解析】cos62tan1sin62aππ===故角α的最小正值为3π.9.[2014·九江七校期中联考]已知角α的终边经过点P(-1,3),则2sinα+cosα=()ABC.D.【答案】A【解析】由三角函数的定义知sin a=cos a==所以2sin cosa a+10.给出下列三角函数:①sin(-1000°);②cos(-2200°);③tan(-10);④7πsin cosπ1017tanπ9.其中结果为负值的是()A.①B.②C.③D.④【答案】C【解析】sin (-1000°)=sin 80°>0;cos (-2200°)=cos 320°>0;tan (-10)<0;77sincos sin 10101717tan tan 99πππππ=-,易知7sin 010π>,17tan 09π<,故7sin 10017tan 9ππ->.故选C . 11.点P 从(1,0)出发,沿单位圆x 2+y 2=0逆时针方向运动π3到达Q 点,则Q 点的坐标为__________.【答案】12⎛ ⎝⎭【解析】根据题意得cos ,sin 33Q ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭,即12Q ⎛ ⎝⎭.12.(1)已知角α的终边经过点P (4, -3),求2sin α+cos α的值.(2)已知角α的终边经过点P (4a , -3a )(a ≠0),求2sin α+cos α的值. 【答案】解:⑴∵5r =,∴3sin 5y a r ==-,4cos 5x a r ==,∴6422sin cos 555a a +=-+=-.(2)∵5r a , 当a >0时,r =5a ,∴33sin 55a a a -==-,44cos 55a a a ==, ∴6422sin cos 555a a +=-+=-.当a <0时,r =-5a ,∴33sin 55a a a -==-,44cos 55a a a ==--, ∴6422sin cos 555a a +=-=-. 13.已知角α的终边经过点P (x,(x ≠0),且cos α=,求sin α,tan α的值 【答案】解:∵(,0)P x x ≠,∴P到原点的距离r =又cos a =,∴cos a x ==. ∵0x ≠,∴x =r =当x =P点的坐标为,∴sin a =tan a =;当x =P点的坐标为(,∴sin a =tan a =;难点突破14.[2014·巴东一中月考]若α为第三象限角,则sincos 22sincos22αααα+的值为( )A .0B .2C .-2D .2或-2 【答案】A【解析】∵α为第三象限角,∴2a为第二或第四象限角. 当2a 为第二象限角时,y =1-1=0;当2a为第四象限角时,y =-1+1=0. 15.已知sin α<0,tan α>0. (1)求角α的集合; (2)求2α终边所在的象限; (3)试判断tan sin cos 222ααα的符号.【答案】解:(1)由sin α<0,知角α的终边可能位于第三或第四象限,也可能与y 轴的非正半轴重合;由tan α>0,知角α的终边可能位于第一或第三象限.故角α的终边只能在第三象限,所以角α的集合为3(21)2,2a k a k k Z πππ⎧⎫+<<+∈⎨⎬⎩⎭. (2)由3(21)2,2k a k k Z πππ+<<+∈,得3,224a k k k Z ππππ+<<+∈,故2a的终边在第二或第四象限. (3)当2a 为第二象限角时,tan 02a <,sin 02a>,cos 02a <,所以tan sin cos 222a a a的符号为正.当2a 为第四象限角时,tan 02a <,sin 02a<,cos 02a >,所以tan sin cos 222a a a的符号为正.因此,tan sin cos 222a a a的符号为正.第2课时 三角函数线及其应用 基础巩固1.如图1-2-1所示,在单位圆中,角α的正弦线和正切线分别为( )A .PM ,A T ''B .MP ,A T ''C .MP ,ATD .PM ,AT 【答案】C2.在[0,2π]上,满足1sin 2x ≥的x 的取值范围为( )A .π0,6⎡⎤⎢⎥⎣⎦B .π5π,66⎡⎤⎢⎥⎣⎦C .π2π,63⎡⎤⎢⎥⎣⎦D .5π,π6⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 【答案】B3.已知α角(0<α<2π)的正弦线与余弦线的长度相等且符号相同,则α的值为( )A .π4或3π4 B .5π4或7π4C .π4或5π4 D .π4或7π4 【答案】C4.比较大小:sin1__________πsin 3.(填“>”或“<”)【答案】 < 【解析】由0132ππ<<<及单位圆中的三角函数线知,sin1sin3π=.5.不等式3tan 0α>的解集是__________. 【答案】 (,62a k a k k Z ππππ⎧⎫-<<+∈⎨⎬⎩⎭[解析]不等式的解集如图所示(阴影部分),∴(,62a k a k k Z ππππ⎧⎫-<<+∈⎨⎬⎩⎭.能力提升6.利用正弦线比较sin1,sin1.2,sin1.5的大小关系是( )A .sin1> sin1.2> sin1.5B .sin1>> sin1.2C .sin1.5> sin1.2> sin1D .sin1.2> sin1> sin1.5 【答案】C【解析】∵1,1.2,1.5 均在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭内,正弦线在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭内随a 的增大而逐渐增大,∴sin1.5>sin 1.2>sin 1,故选C .7.[2015·深圳高级中学期中]若ππ42θ<<,则下列不等式中成立的是( ) A .sin θ>cos θ>tan θB .cos θ> tan θ> sin θC .sin θ> tan θ> cos θD .tan θ> sin θ> cos θ 【答案】D【解析】 作出角θ的三角函数线(如图所示),易知 AT >MP >OM ,即 tanθ>sinθ>cosθ.8.依据三角函数线,作出如下判断:①π7πsin sin 66=;②ππcos cos 44⎛⎫-= ⎪⎝⎭;③π3πtan tan 85>;④3π4πsin sin55>. A .1个 B .2个C .3个D .4个 【答案】C【解析】6π的终边与单位圆的交点在第一象限,sin 06π>;76π的终边与单位圆的交点在第三象限,7sin 06π<,故①不正确. ,44ππ-的终边与单位圆的交点关于x 轴对称,故余弦值相等,故②正确. 8π的正切值大于0,35π的正切值小于0,故③正确.易知④正确.故正确的有3个.9.若α为第二象限角,则下列各式恒小于零的是( ) A .sin α+cos α B .tan α+sin α C .sin α-cos αD .sin α-tan α 【答案】B【解析】 如图所示,作出a 的三角函数线,sin α=MP ,tan α=AT ,由图易知 sin α+tan α<0.10.[2015·福建清流一中测试]已知|cos θ|=-cos θ且tan θ <0,则 lg (sin θ-cos θ)_________0.(填“>”或“<”)【答案】> 【解析】由cos cos θθ=-,得cosθ≤0.又 tanθ<0,∴角θ的终边在第二象限,∴sinθ>0,cosθ<0.又由三角函数线可知sinθ-cosθ>1,∴lg (sinθ-cosθ)>O .11.已知|cos θ|≤|sin θ|,则θ的取值范围是_________.【答案】3,,44k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦ [解析]若cos sin θθ=,则θ角的终边落在直线y =x 或y =-x 上,所以满足cos sin θθ≤的θ角的终边落在如图所示的阴影部分,所以3,44k k k Z πππθπ+≤≤+∈. 12.[2015•吉林普通高中期末]设θ是第二象限角,试比较sin 2θ,cos2θ,tan2θ的大小.【答案】.解: θ是第二象限角,即22()2k k k Z ππθππ+<<+∈,故()422k k k Z πθπππ+<<+∈.当22()422k k k Z πθπππ+<<+∈时,cossintan222θθθ<<;当5322()422k k k Z πθπππ+<<+∈时,sin cos tan 222θθθ<<.13.若π02α<<,证明: (1)sin α+cos α>1;(2)sin α<α<tan α.【答案】 证明:(1)在如图所示的单位圆中,∵02a π<<,1OP =,∴sin α=MP ,cosα=OM .又在△OPM 中,有1MP OM OP +>=,∴sin α+cos α>1.(2)如图所示,连接AP ,设AP 的长为l AP , ∵OAP OAP OAT S S S ∆∆∆<<扇形,∴111222AP OA MP l OA OA AT <<,∴AP MP l AT <<,即sin tan a a a <<.难点突破14.[2015•天水秦安二中期末]已知α∈(0,π),且sin α+cos α=m (0<m <1),则sin α-cos α的符号为_________(填“正”或“负”).【答案】 正 【解析】若02a π<<,则如图所示,在单位圆中,OM =cos α,MP =sin α.又在△OPM 中,有1MP OM OP +>=,∴sin cos 1a a +>. 若2a π=,则sin cos 1a a +=.又0<m <1,故,2a ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,sin cos 0a a ->.15.求函数()212cos ln sin f x x x ⎛=-- ⎝⎭的定义域. 【答案】解:由题意,自变量x 应满足不等式组12cos 0,sin 0,x x -≥⎧⎪⎨>⎪⎩即sin 21cos .2x x ⎧>⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩因为sin x 的解集为322,44x k x k k Z ππππ⎧⎫+<<+∈⎨⎬⎩⎭,1cos 2x ≤ 的解集为522,33x k x k k Z ππππ⎧⎫+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭,所以所求定义域为322,34x k x k k Z ππππ⎧⎫+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭. 1.2.2 同角三角函数的基本关系基础巩固1.[2014•广东中山五校联考]已知4cos 5α=-,且α为第二象限角,则tan α的值等于( ) A .43 B .43- C .34 D .34- 【答案】D2.已知sin α,cos α是方程3x 2-2x +a = 0的两根,则实数a 的值为( ) A .65 B .56- C .34 D .43 【答案】B3.已知sinθ·tan θ<0,那么角θ是( ) A .第一或第二象限角 B .第二或第三象限角C .第三或第四象限角D .第一或第四象限角 【答案】B【解析】2sin sin sin tan sin 0cos cos θθθθθθθ==<,即cos 0θ<,因此角θ是第二或第三象限角.4.若α是三角形的一个内角,且2sin cos 3αα+=,则这个三角形为 ( ) A .正三角形 B .直角三角形C .锐角三角形D .钝角三角形 【答案】D 【解析】由2sin cos 3a a +=,得412sin cos 9a a +=,∴52sin cos 9a a =-,∴α为钝角.故该三角形为钝角三角形.5.若2sin cos 13sin 2cos αααα+=-,则tan α的值为__________.【答案】3【解析】由2sin cos 2tan 113sin 2cos 3tan 2a a a a a a ++==--,解得 tan α=3.能力提升6.已知tan θ=2,则sin 2θ+sin θcos θ-2cos 2θ=( )A .43-B . 54C .34-D .45 【答案】D【解析】∵ tanθ=2,∴2222222222sin sin cos 2cos tan tan 22224sin sin cos 2cos sin cos tan 1215θθθθθθθθθθθθθ+-+-+-+-====+++.7.若3sin 5m m θ-=+,42cos 5m m θ-=+,其中π,π2θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,则m 的值为( )A .0B . 8C .0或8D . 无法确定 【答案】B【解析】因为 sin 2θ+cos 2θ=1,所以m 2-6m +9+16-16m +4m 2=m 2+10m +25,即m 2-8m =0,所以m =0 或m = 8.当 m =0时,3sin 5θ=-,与,2πθπ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦矛盾,故m =8.8.已知tan α=m ,α是第二或第三象限角,则sin α的值等于( )AB .C .D .【答案】D【解析】∵tan α=m ,∴222222cos sin 11tan 1cos cos a a a m a a ++===+,∴221cos =1a m +.又α是第二或第三象限角,∴cos =a ,故21sin tan cos =()1a a a m m =-==+. 9.[2015·湖南师大附中月考]若角α的终边落在直线x +y =0上,则的值为( )A.2 B.-2 C.-2或2 D.0【答案】D【解析】∵角α的终边落在直线x+y=0上,∴角α为第二或第四象限角.sinsincos cosaaa a=+,∴当角α为第二象限角时,sin sin=0cos cosa aa a-+=原式;当角α为第四象限角时,sin sin=0cos cosa aa a-+=原式.故选D.10.[2015·重庆青木关中学月考]已知α为第二象限角,则cos sin=__________.【答案】0【解析】∵α是第二象限角,∴11 =cos sin sin cos sin0cos sina aa a==+=-原式11.若cos2sinαα+=,则tan =__________.【答案】2【解析】由22cos2sinsin cos1,a aa a⎧+=⎪⎨+=⎪⎩得sincosaa⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩12.化简下列各式:(1(2【答案】解:(1cos40===︒.(2)cos40sin40cos40sin401cos40sin40cos40sin40︒-︒︒-︒====︒-︒︒-︒13.已知1sin cos5ββ+=,且0<β<π.(1)求sinβ-cosβ的值;(2)求sinβ,cosβ,tanβ的值.【答案】解:(1)由1sin cos5ββ+=及sin2β+cos2β=1,知242sin cos25ββ=.又由0<β<π,知sinβ>0,∴cosβ<0,故7sin cos5ββ-==.(2)由1sin cos5ββ+=及7sin cos5ββ-=,得4sin5β=,3cos5β=-,∴sin4tancos3βββ==-.难点突破14.[2014·西安第一中学期末]已知关于x的方程)2210x x m-+=的两根分别为sinθ和cosθ,θ∈(0,2π),则m的值为__________,θ的值为__________.3π或6π【解析】由韦达定理知sin cossin cos2mθθθθ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,②,由①式可知1+2sin cos1θθ=+,∴sin cosθθ=2m=.∴m=当m=221)0x x-=.解得1x=,212x=.又∵θ∈(0,2π),∴sin1cos2θθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,或1sin2cosθθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,∴3πθ=或6π.15.[2015·重庆青木关中学月考]证明:(1)221cos sin cossin cossin cos tan1αααααααα-+-=+--;(2)(2-cos2α)(2+tan2α)=(1+2 tan2α)(2-sin2α).【答案】证明:(1)22222222222sin sin cos sin sin cos=sin sin cossin cos sin cos1cos cossin cos sin cossin cossin cos sin cos sin cosa a a a a aa a aa a a aa aa a a aa aa a a a a a++-=-=------==+=---左边右边∴原式成立.(2)∵左边=4+2tan2a-2cos2a-sin2a=2+2tan2a+2sin2a-sin2a=2+tan2a+sin2a,右边=(1+2tan2a)(1+cos2a)=1+2tan2a+cos2a+2sin2a=2+2tan2a+sin2a,∴左边=右边,故原式成立.1.3 三角函数的诱导公式 基础巩固1.[2014·衡水第十四中学期末]sin570°的值是( ) A .12 B . 12-C D . 【答案】B【解析】1sin570sin(360210)sin 210sin(18030)sin302︒=︒+︒=︒=︒+︒=-︒=-. 2.若()1cos π2α-=-,则cos (-2π-α)的值为( )A .12B .C .12-D . 12±【答案】A【解析】因为1cos()cos 2a a π-=-=-,所以1cos 2a =-,所以1cos(2)cos()cos 2a a a π--=-==. 3.已知f (x )= sin x ,下列式中成立的是( ) A . f (x+π)=sin x B . f (2π-x )= sin xC .πcos 2f x x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭D . f (π-x )=-f (x )【答案】C【解析】()sin()sin f x x x ππ+=+=-, (2)sin(2)sin f x x x ππ-=-=-,()sin()sin()cos 222f x x x x πππ-=-=--=-,()sin()sin ()f x x x f x ππ-=-==,故选C .4.已知πsin 4α⎛⎫+= ⎪⎝⎭,则3πsin 4α⎛⎫- ⎪⎝⎭的值为( )A .12 B .12-C D . 【答案】C【解析】3sin()sin ()sin()444a a a ππππ⎡⎤-=-+=+=⎢⎥⎣⎦. 5.已知5cos 13α=-,且α是第二象限角,则tan (2π-α)=__________. 【答案】125【解析】由α是第二象限角,得12sin 13a =,所以sin 12tan cos 5a a a ==-,所以12tan(2)tan 5a a π-=-=. 能力提升6. 给出下列三角函数:①4sin ππ3n ⎛⎫+ ⎪⎝⎭;②πcos 2π6n ⎛⎫+ ⎪⎝⎭;③πsin 2π3n ⎛⎫+ ⎪⎝⎭;④()πcos 21π6n ⎡⎤+-⎢⎥⎣⎦;⑤()πsin 21π3n ⎡⎤+-⎢⎥⎣⎦(n ∈Z )其中函数值与πsin3的值相同的是( ) A .①② B .①③④C .②③⑤D .①③⑤ 【答案】C 【解析】当n 为偶数时,4sin()sin 33n πππ+=-,∴①不对,故排除A ,B ,D ,故选C .7. [2015 •南昌二中月考] 已知f (cos x )=cos3x ,则f (sin30°)的值为( ) A .0 B .1C .-1 D【答案】C【解析】∵(cos )cos3f x x =,∴(sin30)(cos60)cos1801f f ︒=︒=︒=-. 8.[2014 •宁波效实中学期末]若α是第二象限角,且()1tan π2α-=,则3πcos 2α⎛⎫-= ⎪⎝⎭( )A B .C D .【答案】D 【解析】 因为3cos()sin 02a a π-=-<,所以排除A ,C .由1tan()2a π-=,得1tan 2a =-,所以排除B ,故选D . 9.已知n 为整数,化简()()sin πcos πn n αα++所得的结果是( )A .tan nαB .-tan nαC .tan αD .-tan α 【答案】C【解析】 当n =2k (k ∈Z )时,sin(2)sin =tan cos(2)cos k a aa k a aππ+==+原式;当n =2k +1(k ∈Z )时,sin(2)sin()sin =tan cos(2)cos()cos k a a aa k a a aππππππ+++-==+++-原式.故选C .10.[2014 •西安第一中学期末] 25π25π25πsin cos tan 634⎛⎫++-= ⎪⎝⎭__________. 【答案】0 【解析】 25252511sincos tan()sin cos tan 1063463422ππππππ++-=+-=+-=. 11.已知π2cos 63α⎛⎫-= ⎪⎝⎭,则2πsin 3α⎛⎫-= ⎪⎝⎭__________.【答案】 23-【解析】 22sin sin sin cos 3262663a a a a ππππππ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=---=-+-=--=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦. 12.[2015•江西新余四中测试](1)已知角α的顶点在原点,始边与x 轴的非负半轴重合,终边经过点P (—3,4),求()πcos πcos 2αα⎛⎫-++ ⎪⎝⎭的值.(2)若tan β=3,求222sin 2sin cos 2sin cos βββββ++的值.【答案】 解:(1)由题意知4sin 5a =,3cos 5a =-,所以341cos()cos()cos sin 2555a a a a ππ-++=--=-=-.(2) 22222sin 2sin cos tan 2tan 96152sin cos 2tan 129119ββββββββ+++===++⨯+.13.[2014•盐城中学期末]已知△A 1B 1C 1,的三个内角A 1,B 1,C 1的余弦值分别等于△A 2B 2C 2的三个内角A 2,B 2,C 2的正弦值.(1)试判断△A 1B 1C 1,是否为锐角三角形;(2)试借助诱导公式证明△A 2B 2C 2中必有一个角为钝角.【答案】解:(1)由条件知△A 1B 1C 1的三个内角的余弦值均大于0,即cosA 1>0, cosB 1>0,cosC 1>0,所以△A 1B 1C 1一定是锐角三角形. (2)证明:由题意可知211sin cos sin()2A A A π==-,211sin cos sin()2B B B π==-,211sin cos sin()2C C C π==-.若A 2,B 2,C 2全为锐角,则2221111113()()()()22222A B C A B C A B C πππππ++=-+-+-=-++=,不合题意.又A 2,B 2,C 2均不可能为直角,且满足A 2+B 2+C 2=π, 所以△A 2B 2C 2中必有一个角为钝角. 难点突破14.[2015•湖北重点中学月考]已知角α的终边上一点的坐标为5π5πsin ,cos 66⎛⎫ ⎪⎝⎭,则角α的最小正值为( ) A .5π6 B .5π3C .11π6 D .2π3 【答案】B【解析】 因为51sinsin()sin 6662ππππ=-==,5coscos()cos 666ππππ=-=-=,所以点55sin ,cos 66ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭在第四象限.又5cos6tan 5sin6a ππ==53π. 15.已知()()()π3cos cos 2πsin π223sin πsin π2f αααααα⎛⎫⎛⎫+⋅-⋅-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=⎛⎫--+ ⎪⎝⎭.(1)化简f (α);(2)若α是第三象限角,且31cos π25α⎛⎫-= ⎪⎝⎭,求f (α)的值.【答案】 解:(1)sin cos()sin 2sin cos cos ()cos sin cos sin()sin 2a a a a a a f a a a a a a πππ⎡⎤⎛⎫---- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦===--⎛⎫++ ⎪⎝⎭.(2)由31cos 25a π⎛⎫-= ⎪⎝⎭,得1sin 5a -=,即1sin 5a =-.又α是第三象限角,所以cos a ==,所以()cos f a a =-滚动习题(一)[范围1.1~1.3] (时间:45分钟 分值:100分)一、选择题(本大题共7小题,每小题5分,共35分) 1.给出下列说法:①第二象限角大于第一象限角;②三角形的内角是第一象限角或第二象限角;③不论用角度制还是用弧度制度量一个角,它们与扇形所对半径的大小都无关; ④若sin α=sin β,则α与β的终边相同; ⑤若cos θ<0,则θ是第二或第三象限的角. 其中正确说法的个数是( ) A .1 B .2C .3D .4 【答案】 A2.sin2cos3tan4的值( ) A .小于0 B .大于0C .等于0D .不存在 【答案】 A【解析】∵sin 2>0,cos 3<0,tan 4>0,∴sin 2cos 3tan 4<0.3.若一扇形的圆心角为72°,半径为20cm ,则扇形的面积为( ) A .40πcm 2B .80πcm 2C .40cm 2D .80cm 2 【答案】 B【解析】2725π︒=,∴212=20=80()25S ππ⨯⨯2扇形cm .4.[2015•中山杨仙逸中学模拟]若A 为△ABC 的内角,则下列函数中一定取正值的是( )A .sin AB .cos AC .tan AD .1tan A【答案】 A【解析】△ABC 的内角的取值范围是(0,π),故一定取正值的是sinA . 5.[2015•山西大学附中月考]若sin αtan α<0,且cos 0tan αα<,则角α是 ( ) A .第一象限角 B .第二象限角 C .第三象限角D .第四象限角 【答案】 C【解析】由sin αtan α<0,知sin α,tan α异号,则α是第二或第三象限角;由cos 0tan aa<,知cos α,tan α异号,则α是第三或第四象限角.所以α是第三象限角. 6.已知()()()()sin πcos 2πcos πtan f ααααα--=--,则31π3f ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值为( )A .12 B .13-C .12-D .13 【答案】C【解析】 因为sin cos sin ()cos cos tan tan a a af a a a a a===--,所以31311cos cos 10cos 3332f πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=-+=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.7.[2014•嘉峪关一中期中]若α∈[0,2π]sin cos αα=-,则α∈( )A .π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦B .π,π2⎡⎤⎢⎥⎣⎦C .3ππ,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦D .3π,2π2⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】B【解析】 sin cos sin cos a a a a +=-,所以sin α≥0,cos α≤0,所以,2a ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)8.[2014·西安第一中学期中]已知sin x =,则x 的集合为_________. 【答案】22,2,33x x k k Z x x k k Z ππππ⎧⎫⎧⎫=+∈=+∈⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭【解析】 当x 时第一象限角时,2,3x x x k k Z ππ⎧⎫∈=+∈⎨⎬⎩⎭;当x 是第二象限角时,22,3x x x k k Z ππ⎧⎫∈=+∈⎨⎬⎩⎭.所以满足sin x =的x 的集合为22,2,33x x k k Z x x k k Z ππππ⎧⎫⎧⎫=+∈=+∈⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭. 9.f (x )=a sin (πx +α)+ b cos (πx +β)+4(a ,b ,α,β均为非零实数),若f (2014)=6,则f (2015)=_________.【答案】2【解析】 (2014)sin(2014)cos(2014)4sin cos 46f a a b a a b ππββ=++++=++=,∴sin cos 2a b β+=,∴(2015)sin(2015)cos(2015)4sin cos 42f a a b a a b ππββ=++++=--+=.10.[2015·盐城中学月考]若()1cos π3α+=-,则πsin 6α⎛⎫-= ⎪⎝⎭_________.【答案】13【解析】由1cos()3a π+=-,得1cos 3a =,所以1sin()cos 23a a π-==.11.已知πcos 6α⎛⎫-= ⎪⎝⎭25πcos πsin 66αα⎛⎫⎛⎫+--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭_________.【答案】【解析】∵5cos cos cos 666a a a ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=--=--= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦,2212sin 1cos 16633a a ππ⎛⎫⎛⎫-=--=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,∴2==3原式.三、解答题(本大题共3小题,共45分)12.(15分)已知角α的终边经过点P (-3cos θ,4cos θ),其中π2π,2ππ2k k θ⎛⎫∈++ ⎪⎝⎭(k∈Z ),求角α的正弦、余弦和正切值.【答案】解:∵()2k ,2k k Z 2π⎛⎫θ∈π+π+π∈ ⎪⎝⎭,∴cosθ<0,∴点P 在第四象限.∵x=-3cosθ,y=4cosθ,∴r 5cos 5cos ==θ=-θ,∴434sin ,cos ,tan 553α=-α=α=-.13.(15分)是否存在ππ,22α⎛⎫∈- ⎪⎝⎭,β∈(0,π),使等式()πsin 3π2αβ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭,()()παβ-=+同时成立?若存在,求出α,β的值;若不存在,请说明理由.【答案】解:假设存在角,αβ满足条件,则由已知条件可得⎩⎨⎧==②①,cos 2cos 3,sin 2sin βαβα∴sin 2α+3cos 2α=2.∴21sin 2α=,∴sin α=.∵,22ππ⎛⎫α∈- ⎪⎝⎭,∴4πα=±当4πα=时,由②式知cos β=,又β∈(0,π),∴6πβ=,此时①式成立;当4πα=-时,由②式知cos β,又β∈(0,π),∴6πβ=,此时①式不成立,故舍去. ∴存在,46ππα=β=满足条件.14.(15分)[2015·深圳高级中学期中]已知tan α和cos α是关于x 的方程5x 2-mx +4=0的两根,且α是第二象限角. (1)求tan α及m 的值;(2)求2222sin sin cos 3cos 1sin ααααα-⋅++的值.【答案】解:(1)由已知,得tan αcos α=45,∴sin α=45.又α是第二象限角,∴3cos 5α=-,∴4tan 3α=-.又m 29tan cos 515α+α==-,∴29m 3=-.(2)由(1)得4tan 3α=-,∴222222sin sin cos 3cos 2tan tan 3711sin 2tan 141α-α⋅α+αα-α+==+αα+.1.4 三角函数的图像与性质1.4.1 正弦函数、余弦函数的图像 基础巩固1.用“五点法”作y =2sin 2x 的图像时,首先描出的五个点的横坐标是( ) A .0,π2,π,3π2,2π B .0,π4,π2,3π4,π C .0,π,2π,3π,4πD .0,π6,π3,π2,2π3【答案】B2.函数y =1-sin x ,x ∈[0,2π]的大致图像是( )【答案】B。

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