实用总结 1 / 11 有限元学习心得 吴清鸽车辆工程 短短八周的有限元课已经结束。关于有限元，我一直停留在一个很模糊的概念。我知道这是一个各个领域都必须涉及的点，只要有关于分析的，几乎都要涉及有限元。总体来说，这是一门非常重要又有点难度的课程。

有限元方法( ) 或有限元分析( )，是求取复杂微分方程近似解的一种非常有效的工具，是现代数字化科技的一种重要基础性原理。将它用于在科学研究中，可成为探究物质客观规律的先进手段。将它应用于工程技术中，可成为工程设计和分析的可靠工具。本课程教学基本内容有固体力学和结构力学简介。有限元法基础。桁架、梁、刚架、二维固体、板和壳、三维固体的有限元法。建模技术。热传导问题的有限元分析。软件的使用. 通过有限元分析课程学习使我了解和掌握了一些有限元知识： ．简要了解二维和三维固体以及桁架、梁和板结构的三组基本力学方程，即表示位移应变关系的几何方程，表示应力应变关系的本构方程和表示内力外力关系的平衡方程。 ．了解利用能量法形成有限元离散系统方程的基本原理，即哈密尔顿原理。掌握有限元分 析的基本方法及步骤，包括域的离散、位移插值、构造形函数、单元有限元方程的建立、坐标变换、整体有限元方程的组装、整体有限元方程的求解技术。 ．具体深入的了解并掌握桁架结构、梁结构、刚架结构、二维固体、板和壳结构、三维固体的有限元法分析技术，包括他们具体的形函数构造，应变矩阵，局部坐标系和整体坐标系中的单元矩阵。各种结构的实例研究。 ．了解并掌握建立高质量建模所涉及的各种关键技术。包括单元类型的选择，单元畸形的限制，不同阶数单元混用时网格的协调性问题，对称性的应用（平面对称、轴对称、旋转对称、重复对称），由多点约束方程形成刚域及应用（模拟偏移、不同自由度单元的连接、网格协调性的施加）等，以及多点约束方程的求解。以有限元通用软件为例了解一般商业有限元软件的组成及结构。掌握软件的基本使用。利用软件上机实践完成两个上机练习：刚架结构有限元分析和三维固体有限元分析。 课程的具体学习内容： 内容： 1. 三节点三角形单元：单元分析、总刚度矩阵组装、引入约束条件修正总刚度矩阵、载荷移置、方程求解。 2. 四边形单元分析、四节点四面体单元分析、八节点六面体单元分析。 3. 其他常用单元形函数、自由度。 实用总结 2 / 11 、三节点三角形单元 1.1. 单元分析 分析步骤 单元分析的任务是建立单元平衡方程，形成单元刚度矩阵。不失一般性，从图三角形离散结构中任取一个单元，设单元编号为，单元节点按右手法则顺序编号为 ,在定义的坐标系中，节点坐标分别为()，()，()，节点位移和节点力表示如图所示。

取结点位移作基本未知量。由结点位移求结点力： 其中，转换矩阵称为单元刚度矩阵。单元分析的主要目的就是要求出单元刚度矩阵。 单元分析的步骤可表示如下：

位移模式和形函数 对于平面问题，单元任意一点的位移可用位移分量, 描述，他们是坐标, 的函数。假定三节点单元的位移函数为, 的线性函数，六个节点位移只能确定六个多项式的系数，所以平面问题的结点三角形单元的位移函数如下：

所选用的这个位移函数，将单元内部任一点的位移定为座标的线性函数，位移模式很简单。

位移函数写成矩阵形式为： 将水平位移分量和结点坐写成矩阵： 代入位移函数第一式：

令则有 为三角形单元

[]的伴随矩阵为 实用总结 3 / 11 令则有 同样，将垂直位移分量与结点坐标代入位移插值公式：

最终确定六个待定系数 ：

令（下标，，轮换） []称为形态矩阵， 称为位移的形态函数

位移函数的收敛性 选择单元位移函数时，应当保证有限元法解答的收敛性，即当网格逐渐加密时，有限元法的解答应当收敛于问题的正确解答。因此，选用的位移模式应当满足下列两方面的条件： () 必须能反映单元的刚体位移和常量应变。 个参数 到 反映了三个刚体位移和三个常量应变。 () 必须保证相邻单元在公共边界处的位移连续性。 (线性函数的特性)

应变矩阵和应力矩阵 利用几何方程、物理方程，实现用结点位移表示单元的应变和单元的应力。 用结点位移表示单元的应变的表达式为：

[]矩阵称为几何矩阵 实用总结

4 / 11 由物理方程，可以得到单元的应力表达式： 为应力矩阵

单元刚度矩阵 讨论单元内部的应力与单元的结点力的关系，导出用结点位移表示结点力的表达式。由应力推算结点力，需要利用平衡方程。用虚功方程表示出平衡方程。 考虑上图三角形单元的实际受力，任意虚设位移，节点位移结点力和内部应力为： 与内部应变为：

令实际受力状态在虚设位移上作虚功，外力虚功为

微小矩形的内力虚功为 根据虚功原理，得 这就是弹性平面问题的虚功方程，实质是外力与应力之间的平衡方程。 虚应变可以由结点虚位移求出： 代入虚功方程

接上式，将应力用结点位移表示出 有 令 则

建立了单元的结点力与结点位移之间的关系， 称为单元刚度矩阵。它是*矩阵，其元素表示该单元的各结点沿坐标方向发生单位位移时引起的结点力，它决定于该单元的形状、大小、方位和弹性常数，而与单元的位置无关，即不随单元或坐标轴的平行移动而改变。

总刚度矩阵组装

ivimU

jUiUmvjv

mj

*iv

i*mU

*jU

*iU

*mv

*jv

mj

ys*xy*y*x£¬£¬gee

xy

t

xs

(a)½áµãÁ¦¡¢ÄÚ²¿Ó¦Á¦(b)ÐéλÒÆ¡¢ÐéÓ¦±ä实用总结

5 / 11 整体刚度矩阵 是单元刚度矩阵 的集成。 、刚度集成法的物理概念： 刚度矩阵中的元素是刚度系数，即由单位结点位移引起的结点力。 、刚度矩阵的集成规则： 先对每个单元求出单元刚度矩阵 ，然后将其中的每个子块 送到结构刚度矩阵中的对应位置上去，进行迭加之后即得出结构刚度矩阵[]的子块，从而得出结构刚度矩阵[]。 关键是如何找出 中的子块在[]中的对应位置。这需要了解单元中的结点编码与结构中的结点编码之间的对应关系。 结构中的结点编码称为结点的总码，各个单元的三个结点又按逆时针方向编为,称为结点的局部码。 单元刚度矩阵中的子块是按结点的局部码排列的，而结构刚度矩阵中的子块是按结点的总码排列的。因此，在单元刚度矩阵中，把结点的局部码换成总码，并把其中的子块按照总码次序重新排列。

以单元②为例，局部码对应于总码，因此 中的子块按照总码重新排列后，得出扩大矩阵为上图所示： 用同样的方法可得出其他单元的扩大矩阵 将各单元的扩大矩阵迭加，即得出结构刚度矩阵[]：

集成规则包含搬家和迭加两个环节： 、将单元刚度矩阵 中的子块搬家，得出单元的扩大刚度矩阵 。 、将各单元的扩大刚度矩阵 迭加，得出结构刚度矩阵[]。

引入约束条件修正总刚度矩阵 整体刚度矩阵[]求出后，结构的结点力{}可表示为： 在无支杆的结点处，结点力就等于已知的结点载荷。在有支杆的结点处，则求结点力时，还应把未知的支杆反力考虑在内。如果用{}表示结点载荷和支杆反力组成的向量，则结点的平衡方程为

根据支承条件对平衡方程加以处理。先考虑结点有水平支杆的情况。与结点水平方向对应的平衡方程是第个方程，

根据支承情况，上式应换成，即在[]中，第行的对角线元素 应改为，该行全部非对角线元素应改为。在{}中，第个元素应改为。 此外，为了保持矩阵[]的对称性，则第列全部非对角线元素也改为。 同理，如果结点有竖向支杆，则平衡方程的第个方程应改为 ，为此，

)1(jj]K[)2(mm]K[)2(mi]K[)1(jm]K[)1(ji]K[

)2(jm]K[)4(ii]K[)4(mi]K[)4(ji]K[2m1j2m4i126543216543局部码总码321i,j,m431j,m,i432m,j,i321ijm1j431jmi432mji4i)1(mm]K[)2(jj]K[

)3(ii]K[

)1(mi]K[

)3(im]K[

)1(ii]K[

)3(mm]K[

)4(jj]K[

)2(ji]K[

)3(ij]K[

)3(mj]K[

)4(jm]K[

)2(ii]K[

)3(jj]K[

)4(mm]K[