12
12
∑ ∑ sis j = s2 cosθij = 0
j =1
j =1
12
所以，在空位扩散机制和面心立方格子中，下式中第二项为零。
n
n−1 n
∑ ∑ ∑ X
2 i
=
( s1
+
s2
+
+ sn )2 =
s2j + 2
s j sk
j =1
j=1 k = j+1
即 考虑到
n
∑ ( ) X
2 i
=
s1 + s2 +
9
空位机制
某个占有正常格点位置的原子跃迁到近邻的空位上，这个原子就可以说是空 位机制的扩散。空位机制的扩散也要克服一定的势垒。空位机制要求的畸变能并 不大，这种机制目前是在各种离子化合物和氧化物及合金中占有支配地位。
10
环形机制
两个最近邻的原子进行简单的位置交换而进行扩散的机制在1930年提出，由 于这种位置交换可能引起较大的局域畸变，并没有被多数人接受。到1950年， Zener指出，如果3个到4个原子作为一组进行旋转，这样引起的局部畸变将比简单 的两个原子的位置交换要小。人们把这种利用一组原子旋转来进行的扩散称作环 形扩散机制。
+∞ ⎧⎡ 1
−∞ ⎨⎩⎢⎣ 2π
+∞ −∞
ϕ
(ξ
)
cos
λξ
dξ
⎤ ⎥⎦
cos
λ
x
+
⎡ ⎢⎣
1
2π
+∞ −∞
ϕ
(ξ
)
sin
λξ
dξ
⎤ ⎥⎦
sin
λ
x
⎬⎫d ⎭
λ
得
∫ A = 1 +∞ϕ (ξ ) cos λξ dξ
2π −∞
∫ B = 1 +∞ϕ (ξ )sin λξ dξ
2π −∞ 29
代入通解并经过积分换元得
∂x 2
⎟ ⎠
=
0
的通解是
取各种不同值的线性叠加。即
∞
∑ Ｃ(x,t) = e−Dλ2t ( Acos λ x + B sin λ x) λ =−∞
由于在无限物体的情况下没有边界条件限制， λ 取值完全任意，所以可用
积分来代替求和。得
∫ Ｃ(x,t) = +∞ e−Dλ2t ( Acos λ x + B sin λ x)dλ −∞
28
为了确定A和B的值，我们利用初始条件C(x,0)=ψ(x)
∫ Ｃ(x,0) = ϕ ( x) = +∞ e−Dλ2 0 ( Acos λ x + B sin λ x)dλ −∞
∫ ∫ = +∞ Acos λ xdλ + +∞ B sin λ xdλ
−∞
−∞
将上式展开成傅立叶积分的形式：
∫ ∫ ∫ ϕ ( x) =
2 i
=
( s1
+
s2
+
+ sn )2 =
s2j + 2
s j sk
j =1
j=1 k = j+1
上式中，
s
2 j
不可能为零，所以n愈大，
X
2 i
愈大，即
X 2 的大小反映了布朗
运动的强弱。
5
设有 φ1 个原子具有X1的位移量， φ2个原子具有X2的位移量，……则平均平
方位移为：
X
2
=
φ1 X12
∫ ∫ ( ) ( ) Ｃ x,t = 1
2π
+∞ϕ ξ
−∞
⎡ ⎢⎣
+∞ −∞
e
−
Dλ
2t
iei
(ξ
−
x
)
λ
d
λ
⎤⎥⎦dξ
引用定积分公式
∫ λ e e d +∞ −Dλ2t i(ξ −x)λ = −∞
π (ξ −x)2 − e 4Dt
Dt
得
∫ Ｃ(x,t) = 1
( ) +∞
−(ξ −x)2
ϕ ξ e 4Dt dξ
−
∂ dx
⎛⎜⎝Ｄ∂∂Ｃx ⎞⎟⎠
dxdydz
22
于是得到
∂C ∂t
=
净流入量 dxdydz
=
−
∂ dx
⎛⎜⎝Ｄ∂∂Ｃx ⎞⎟⎠
当扩散系数为常数时有：
∂C ⎛ ∂2Ｃ⎞
∂t
=D ⎜ ⎝
∂x 2
⎟ ⎠
或
∂C ∂t
－D
⎛ ⎜ ⎝
∂ 2Ｃ⎞
∂x 2
⎟ ⎠
=
0
上式就是一维的扩散方程，又称菲克第二定律。
23
根据实验结果，在一维情况下，扩散强度J（单位时间里通过单位横截面的
原子或分子数）与浓度梯度 ∂C 存在如下关系： ∂X
J = −D ∂C ∂X
式中D为扩散系数，负号表示扩散转移的方向与浓度梯度相反。此方程称为菲克 第一定律。
21
在一维问题中，假设扩散只沿x方向进行，扩散流并不穿过前后和上下四 面，只穿过左右两面，如图所示。
+ sn 2 =
s
2 j
=
ns2
j =1
X 2 = 6Dt
可得到
D = ns2 6t
13
式中 n t
是单位时间内空位跃迁次数，它与空位相邻的可供跃迁的结点数z
以及原子跃迁到邻近空位的跃迁频率v有关，故有：
n = zv t
对于面心格子，z=12，s是跃迁距离，且有 s = 2 a ，a为晶胞参数。这 2
4
平均平方位移
各原子净位移，从统计观点看，由于有正有负，加起来为零。为了表征布 朗运动的强弱，特引入平均平方位移。
平均平方位移的计算方法为：把每个杂质原子净位移的平方加起来再除以 杂质原子总数。表示如下：
X2
=
X
2 1
+
X
2 2
+
N
+
X
2 N
每个杂质原子平方位移和每次跃迁的关系式为：
n
n−1 n
∑ ∑ ∑ X
扩散原理及技术介绍
袁泽锐 2011.01.17
主要内容
扩散的微观规律 扩散的宏观规律 扩散对电性能的影响 扩散对晶体缺陷的影响
2
一、扩散的微观规律
扩散和布朗运动 扩散机制 晶体中的扩散 晶格原子的扩散 影响扩散系数的因素
3
1.1 扩散和布朗运动
布朗运动又称热运动，不仅在气体和液体中有，在固体中也同样存在；在固体 中原子不断地从一个平衡位置跃迁到另一个平衡位置。例如，1223K时碳原子在 γ-Fe中每秒钟要跃迁1010次。
在晶格中原子每次跃迁的距离就是该方向上的原子间距a。一个原子经过多次 跃迁才出现一个净位移，如下图所示。但单位时间内原子跃迁的次数愈多造成较大 净位移的可能性愈大，或者说回到原来位置的可能性愈小。 所以可以认为单位时间内的净位移愈大，表征布朗运动愈 强烈。这种净位移的大小与浓度梯度的存在与否无关。没 有浓度梯度时原子的布朗运动照样存在，只是不出现定向 扩散流。
11
1.3 晶体中的扩散
晶体中原子的扩散涉及到具体的扩散机制以及晶体结构，因此需要对公式 X 2 = 6Dt 做一些修正。
以面心立方晶格的空位机制为例。如右图 所示，晶格中的空位A可能跃迁的有12个方向 矢量，这12个方向矢量是等价的，其跃迁的几 率相等。
对于某特定的跃迁矢量，必定有另一个方 向相反大小相等的跃迁矢量，所以有：
Ｃ(x,t) = X ( x)T (t ) = γ e−Dλ2t (α cos λ x + β sin λ x)
令 A = γα , B = γβ
Ｃ(x,t) = X ( x)T (t ) = e−Dλ2t ( Acos λ x + B sin λ x)
27
λ 偏微分方程
∂C ∂t
－D
⎛ ⎜ ⎝
∂ 2Ｃ⎞
19
二、扩散的宏观规律
扩散方程 在无限物体下扩散方程的通解 限定源扩散方程的解 恒定源扩散方程的解
20
2.1 扩散方程的建立
在较普遍的条件下，出现定向扩散流的条件是在煤质中存在化学位梯度，在 接近理想的情况下，扩散的驱动力是浓度梯度。本部分内容也只讨论以浓度梯度 为推动力的扩散方程。
X ∂T －D ∂2 X T = 0
∂t
∂x2
25
等式两边同时除以ＤＸＴ得：
∂T ∂2 X ∂t = ∂x2 DT X
令
1 DT
dT dt
= −λ2
1 X
d2X dx2
= −λ2
26
于是，方程一的解为： T=γ e−Dλ2t
方程二的解为： X= (α cos λ x + β sin λ x) 将上述两解代入 Ｃ(x,t) = X ( x)T (t ) 得：
2 π Dt −∞
30
∫ Ｃ(x,t) = 1
( ) +∞
−(ξ −x)2
ϕ ξ e 4Dt dξ
2 π Dt −∞
上式就是各向同性无限物体扩散方程之通解。利用此式可以求出在t时刻，x为某一
确定值的位置上的杂质浓度。显然这数值必与最初杂质沿x方向的分布 Ｃ(x,0) = ϕ ( x) 有关。这里两种若都用x表示容易引起混乱，故一个用 ξ ，一个用x表示。
X
2
=
C
(
x1
,
t
)
dxX
2 1
+
C
(
x2