2019-2020学年江西省九江一中高一（上）第一次月考数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知集合A ={1,3,5,7}，B ={2,3,4,5}，则A ∩B =( )A. {3}B. {5}C. {3,5}D. {1,2,3,4,5,7} 2. 已知集合P = { 1,2 } ，Q = { 2,3 } ，全集U = { 1,2,3 } ，则∁U (P ∩Q)等于( )A. { 3 } B. { 2,3 } C. { 2 } D. { 1,3 } 3. 不等式2x3x−1>1的解为( )A. (13,12)B. (12,1)C. (13,1)D. (−13,12)4. 已知f (2x +1)=lgx ，则函数f (x )的解析式为( )A. f (x )=2x−1 B. f (x )=lg 2x−1 C. f (x )=lg (2x +1)D. f (x )=lg (x −1)5. 已知函数f(x)={(a −14)x,x ≥1,a x,x <1在R 上为减函数，则实数a 的取值范围是( )A. (0,1)B. (0,14)C. (−∞,14)D. (14,1)6. 已知函数f(x)的定义域为[ 0,2 ]，则f(2x)x的定义域为( )A. { x |0<x ≤4 }B. { x |0≤x ≤4 }C. { x |0≤x ≤1 }D. { x |0<x ≤1 }7. 下列给出函数f(x)与g(x)的各组中，是同一个关于x 的函数的是( )A. f(x)=x −1，g(x)=x 2x −1 B. f(x)=|x|，g(x)=(√x)2 C. f(x)=x ，g(x)=3x 3D. f(x)=1，g(x)=x 08. 设集合A ={1,2}，集合B ={1,2，3，4}，若A ∩C ≠⌀，C ⊆B ，则满足题意的集合C 的个数有( ) A. 3个 B. 8个 C. 9个 D. 12个9. 如图，在△AOB 中，点A(2,1),B(3,0)，点E 在射线OB 上自O 开始移动，设OE =x ，过E 作OB的垂线l ，记△AOB 在直线l 左边部分的面积S ，则函数S =f(x)的图象是( )A.B.C.D.10. 已知奇函数f(x)是定义在(−2,2)上的减函数，则不等式f(x3)+f(2x −1)>0的解集是( )A. (−∞,37)B. [−12,+∞)C. (−6,−12)D. (−12,37)11. 设集合A ={4,5，7，9}，B ={3,4，7，8，9}，全集U =A ∪B ，则集合∁U (A ∩B)的非空子集共有( ) A. 3个 B. 4个 C. 7个 D. 8个 12. 已知函数f(x)=ax −2a+1x(a >0)，若f(m 2+1)>f(m 2−m +3)，则实数m 的取值范围是( )A. (2,+∞)B. (−∞,2)C. (−2,+∞)D. (−∞,−2)二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 函数y =−2x 2+4x +3,x ∈[−1,4]的值域是 ________．14. 已知集合B ={x|2<x <9}，C ={x|a <x <2a +1}，若C ⊆B ，则实数a 的取值范围为____． 15. 若关于x 的不等式x 2−ax +2<0的解集是(1,2)，则a = ______ ．16. 若函数f(x)=ax−1x+1在(−∞,−1)上是减函数，则实数a 的取值范围是________．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 已知集合B ={x|x 2−ax +3a −5=0}，(1)若A ={x|x −2=0}，A ∩B =A ，求实数a 的值；(2)若A ={x|x 2−3x +2=0}，A ∪B =A ，求实数a 的取值范围．18. 已知a >b >0，函数f (x )=|x +a +1b |+|x −1a−b |．(1)若b =1，a =2，求函数f (x )的最小值； (2)证明：f (x )≥4．19.设U=R，集合P={y|y=x2−3x+1,x∈R}，Q={x|−2≤x<3}．(1)求P∩(∁R Q)，(∁R P)∩Q；(2)求(∁R P)∩(∁R Q)，∁R(P∩Q)．20.已知函数f(x)=√x−2√6−x 的定义域为集合A，集合B={x|x+6x−8≤−1}，C={x|a<x≤2a+1}．(1)求集合A和B；(2)若A∪C=A，求实数a的取值范围．21.已知函数f(x)的定义域为R，对任意实数m，n都有f(m+n)=f(m)⋅f(n)且当x>0时，0<f(x)<1．(1)证明f(0)=1，且x<0时，f(x)>1；(2)证明f(x)在R上单调递减．22. 画出函数y ={2x +3,x ≤0x +3,0<x ≤1−x +5,x >1的图象，并指出函数的最大值．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：【分析】本题考查集合的交集运算，属基础题．【解答】解：∵集合A={1,3,5,7}，B={2,3,4,5}，∴A∩B={3,5}．故选C．2.答案：D解析：【分析】本题考查交、并、补集的混合运算，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．【解答】解：∵全集U={1,2，3}，集合P={1,2}，Q={2,3}，∴P∩Q={2}，∴∁U(P∩Q)={1,3}．故选D．3.答案：C解析：解：由2x3x−1>1得，−x+13x−1>0，∴(3x−1)(x−1)<0，解得13<x<1，∴不等式的解集是(13,1)，故选C．先化简不等式，再等价转化为对应一元二次不等式，由一元二次不等式解法求出不等式的解集．本题考查了分式不等式的转化问题，以及一元二次不等式解法，考查转化思想．4.答案：B解析：解：∵函数f(2x+1)=lgx，令2x +1=t，(t≠1)，则x=2t−1，那么函数f(2x +1)=lgx，转化为g(t)=lg2t−1(t>1)．故得函数f(x)的解析式为：f (x )=lg 2x−1(x >1)． 故选B ．利用换元法求解函数f(x)的解析式，令2x +1=t ，(t ≠1)则x =2t−1，替换化简可得函数f(x)的解析式．本题考查了函数解析式的求法，利用了换元法，属于基础题． 5.答案：B解析： 【分析】本题考查分段函数的单调性，列出满足函数为减函数的条件，解方程组可得结果． 【解答】解：因为函数f(x)={(a −14)x,x ≥1,a x,x <1在R 上为减函数，所以{a −14<00<a <1a −14≤a 1，解得0<a <14． 故选B ． 6.答案：D解析： 【分析】本题考查函数的定义域，属于基础题． 【解答】∵函数f(x)的定义域为[ 0,2 ]∴f(2x)x的定义域满足{0≤2x ≤2x ≠0,∴0<x ≤1,∴f(2x)x 的定义域为{x |0<x ≤1}．7.答案：C解析：解：对于A ：f(x)=x −1的定义域为R ，而g(x)=x 2x−1的定义域为{x ∈R|x ≠0}，定义域不同，∴不是同一函数；对于B ：f(x)=|x|的定义域为R ，而g(x)=(√x)2的定义域为{x|x ≥0}，定义域不同，∴不是同一函数；对于C ：f(x)=x 的定义域为R ，g(x)=3x 3=x 的定义域为R 定义域相同，对应关系也相同，∴是同一函数；对于D ：f(x)=1的定义域为R ，g(x)=x 0的定义域为{x ∈R|x ≠0}，定义域不同，∴不是同一函数； 故选：C ．由题意：是同一个关于x 的函数，即它们是同一函数即可．根据两个函数的定义域相同，对应关系也相同判断即可．本题考查了判断两个函数是否为同一函数的问题，是基础题目． 8.答案：D解析： 【分析】本题主要考查集合的基本运算，利用集合的关系是解决本题的关键，属基础题． 根据条件C ⊆B ，A ∩C ≠⌀，列出子集即可． 【解答】解：∵A ∩C ≠⌀，C ⊆B ，∴C ={1}，{2}，{1,2}，{1,3}，{1,4}，{2,3}，{2,4}，{1,2，3}，{1,2，4}，{1,3，4}，{2,3，4}，{1,2，3，4}， 共12个． 故选D ．9.答案：D解析：解：当0≤x ≤2时，△OEF 的高EF =12x ， ∴S =12x ⋅12x =14x 2；当2<x ≤3时，△BEF 的高EF =3−x ，∴S =12×3×1−12(3−x)⋅(3−x)=−12x 2+3x −3； 当x >3时，S =32．∴S ={ 14x 2,(0≤x ≤2)12x 2+3x −3,(2<x <3)32,(x ≥3)，函数图象如图所示．故选：D ．根据三角形的面积公式结合分段函数的表达式关系进行表示即可得到结论．本题主要考查分段函数的表达式的求解，根据三角形的面积公式是解决本题的关键． 10.答案：D解析： 【分析】本题主要考查函数奇偶性和单调性的应用问题，解题时应注意定义域的限制．利用函数是奇函数，将不等式转化为f(x3)>−f(2x −1)=f(1−2x)，然后利用函数的单调性求解即可． 【解答】解：f(x)是奇函数，所以不等式f(x3)+f(2x −1)>0等价于 f(x3)>−f(2x −1)=f(1−2x)， 又f(x)是定义在(−2,2)上的减函数，所以{−2<x3<2−2<1−2x <2x3<1−2x ，即{−6<x <6−12<x <32x <37，解得−12<x <37， 则不等式的解集为(−12,37). 故选：D ． 11.答案：C解析：解：∵集合A ={4,5，7，9}，B ={3,4，7，8，9}， ∴A ∪B ={3,4，5，7，8，9}， A ∩B ={4,7，9}∴C U (A ∩B)={3,5，8}∴C U (A ∩B)的真子集共有23−1=7 故选：C ．根据交集和补集含义写出A ∩B 和A ∪B ，再根据补集的含义求出C U (A ∩B)，最后由真子集公式得出答案．此题考查了交集、并集、补集及其运算，以及子集与真子集，其中解题时要注意若一个集合的元素有n 个，则此集合真子集的个数为(2n −1)个． 12.答案：A解析： 【分析】本题考查函数的单调性，属于中档题．先判断出函数的单调性，再结合单调性得m 2+1>m 2−m +3，解得m >2． 【解答】解：因为a >0，所以y =ax 与y =−2a+1x在(0,+∞)上都单调递增，所以f(x)在(0,+∞)上单调递增． 又m 2+1>0且m 2−m +3>0，所以由f(m 2+1)>f(m 2−m +3)，可得m 2+1>m 2−m +3，解得m>2．故选A．13.答案：[−13,5]解析：【分析】本题考查二次函数的性质，着重考查二次函数的单调性与最值，考查分析解决问题的能力，属于中档题．利用二次函数在x∈[−1,4]的单调性即可求得答案．【解答】解：∵f(x)=−2x2+4x+3=−2(x−1)2+5，∴其对称轴x=1在闭区间[−1,4]内，∴函数在x∈[−1,4]时，f(x)max=f(1)=5，f(x)min=f(4)=−2×32+5=−13，∴该函数的值域为[−13,5]．故答案为[−13,5]．14.答案：a≤−1或2≤a≤4解析：【分析】本题考查的知识点是集合的包含关系应用，集合关系中的参数问题，注意不要漏掉空集．【解答】解：∵C⊆B，∴①C=⌀，a≥2a+1，a≤−1；②C≠⌀，，2≤a≤4，由①②知：a≤−1或2≤a≤4．故答案为：a≤−1或2≤a≤4．15.答案：3解析：【分析】本题考查了一元二次不等式的解法、一元二次方程的根与系数的关系，属于基础题．由一元二次方程与不等式关系可知，不等式解集边界值就是对应的一元二次方程两根，进而由根与系数关系可以求得a．【解答】解：不等式x2−ax+2<0的解集是(1,2)，∴x2−ax+2=0有两个根1，2，∴1+2=a，∴a=3，故答案为：3．16.答案：(−∞,−1)解析：【分析】本题主要考查函数单调性的性质，属于基础题．根据题意可得−a+1x+1，在(−∞,−1)上是减函数，故a+1x+1，在(−∞,−1)上是增函数，可得a +1<0，由此求得a 的范围． 【解答】解： f(x)=ax−1x+1=a −a+1x+1．设x 1<x 2<−1， 则f(x 1)−f(x 2)=(a −a+1x1+1)−(a −a+1x 2+1)=a+1x 2+1−a+1x 1+1=(a+1)(x 1−x 2)(x 1+1)(x 2+1)．又函数f(x)在(−∞,−1)上是减函数， ∴f(x 1)−f(x 2)>0．∵x 1<x 2<−1，∴x 1−x 2<0，x 1+1<0，x 2+1<0， ∴a +1<0，即a <−1． 故实数a 的取值范围是(−∞,−1)．17.答案：解：(1)∵A ∩B =A ，∴A ⊆B ，∵A ={x|x −2=0}={2}， ∴2∈B ，∵B ={x|x 2−ax +3a −5=0}， ∴22−2a +3a −5=0， 解得a =1；(2)∵A ∪B =A ， ∴B ⊆A ，∵A ={x|x 2−3x +2=0}={1,2}，由x 2−ax +3a −5=0，知Δ=a 2−4(3a −5) =a 2−12a +20=(a −2)(a −10)， ①当2<a <10时，Δ<0，B =⌀⊆A ； ②当a ≤2或a ≥10时，Δ≥0，则B ≠⌀，若x =1，则1−a +3a −5=0，得a =2，此时B ={x|x 2−2x +1=0}={1}⊆A ； 若x =2，则4−2a +3a −5=0，得a =1，此时B ={2,−1}⊈A ， 综上所述，当2≤a <10时，均有A ∪B =A ．解析：本题考查利用集合的关系求参数的取值范围、集合的交集和并集的性质.属于基础题． (1)化简集合A ，由A ∩B =A ，得出A ⊆B ，即2∈B ，即可求出结果；(2)由A∪B=A，得出B⊆A，根据判别式，讨论解得的情况，即可求出结果．18.答案：解：(1)当b=1，a=2，有f(x)=|x+3|+|x−1|={−2x−2,x<−3 4,−3≤x≤12x+2,x>1,作出f(x)的图象：由图象可知，函数f(x)的最小值为4．(2)证明：由a>b>0，故−a−1b <0,1a−b>0，f(x)={−2x−a−1b+1a−b,x<−a−1ba+1b+1a−b,−a−1b≤x≤1a−b2x+a+1b−1a−b,x>1a−b,故f(x)≥a+1b +1a−b，又a+1b +1a−b=a−b+b+1b+1a−b≥a−b+1a−b+b+1b≥2√(a−b)(1a−b)+2√b×1b=4．当且仅当a=2,b=1时等号成立，故f(x)≥4．解析：本题主要考查分段函数的最值以及利用基本不等式求证不等式，考查推理能力和计算能力，属于中档题．(1)代入a，b的值得到f(x)的分段函数的形式，利用函数图象即可得f(x)的最小值．(2)根据绝对值写出分段函数f(x)的形式，再结合基本不等式的性质证明即可．19.答案：解：因为P={y|y=x2−3x+1,x∈R}={y|y=(x−32)2−54,x∈R}={y|y≥−54}，所以∁R P ={x|x <−54}.又因为Q ={x|−2≤x <3}，所以∁R Q ={x|x <−2或x ≥3}．(1)P ∩(∁R Q)={x|x ≥−54}∩{x|x <−2或x ≥3}={x|x ≥3}， (∁R P)∩Q ={x|x <−54}∩{x|−2≤x <3}={x|−2≤x <−54}. (2)(∁R P)∩(∁R Q)={x|x <−54}∩{x|x <−2或x ≥3}={x|x <−2}． 因为P ∩Q ={x|x ≥−54}∩{x|−2≤x <3}={x|−54≤x <3}，所以∁R (P ∩Q)={x|x <−54或x ≥3}．解析：本题主要考查交、并、补集的混合运算，属于基础题．先化简集合，得到P ={y|y ≥−54}，∁R P ={x|x <−54}.∁R Q ={x|x <−2或x ≥3}．(1)根据交集的概念计算即可；(2)根据交集与补集的概念计算即可． 20.答案：解：(1)对于集合A:由{x −2≥06−x >0得：2≤x <6,∴A ={x |2≤x <6} ，对于集合B ，由{(x −8)(2x −2)≤0x −8≠0∴1≤x <8，所以 B ={x |1≤x <8} ; (2)由已知A ∪C =A 得C ⊂A ，①若C =⌀，则a ≥2a +1,∴a ≤−1，符合题意；②若C ≠⌀，则{a <2a +1a ≥22a +1<6，解得：2≤a <52 综上，实数a 的取值范围为a ≤−1或2≤a <52．解析：本题考查函数的定义域的求解及二次不等式的解法，同时考查集合关系中参数的取值范围．(1)由已知分别求出A ，B 即可;(2)由已知得B ⊆A ，然后分B 是否为空集讨论求解即可．21.答案：证明：(1)令m =1，n =0，代入f(m +n)=f(m)⋅f(n)中得：f(1+0)=f(1)⋅f(0)，即f(1)=f(1)⋅f(0)，∵1>0，∴0<f(1)<1，∴f(0)=1…2分当x <0时，−x >0，故得0<f(−x)<1，令m =x ，n =−x ，则m +n =0，代入f(m +n)=f(m)⋅f(n)中得：f(x)⋅f(−x)=f(0)=1，∴f(x)=1f(−x)>1…6分(2)设x1<x2，则x2−x1>0且0<f(x2−x1)<1，f(x1)>0，∴f(x2)−f(x1)=f(x2−x1+x1)−f(x1)=f(x2−x1)⋅f(x1)−f(x1)=f(x1)[f(x2−x1)−1]，∵x2−x1>0，∴f(x2−x1)<1，∴f(x2−x1)−1<0，∴f(x2)−f(x1)<0，∴f(x1)>f(x2)，∴f(x)在R上单调递减．解析：(1)令m=1，n=0，代入f(m+n)=f(m)⋅f(n)即可；(2)利用单调函数的定义，设x1<x2，判断f(x2)−f(x1)<0即可．本题考查抽象函数及其应用，考查函数单调性的判断与证明，着重考查单调函数的定义的应用，属于难题．22.答案：解：函数y={2x+3,x≤0x+3,0<x≤1−x+5,x>1的图象如图．当x≤0时，y=2x−3单调递增；当0<x≤1时，y=x+3单调递增；当x>1时，y=−x+5单调递减．∴当x=1时，函数的最大值为4．解析：先画出函数y=f(x)的图象，再结合函数的图象判断函数的单调性，得到函数的最大值．本题考查了分段函数的图象和最值，本题难度不大，属于基础题．。