一、 计算1．四则混合运算繁分数⑴ 运算顺序 练习：1、 2、3、 4、5、6、(2+3.15+5.87) ×(3.15+5.87+7.32)-(2+3.15+5.87+7.32) ×(3.15+5.87)⑵ 分数、小数混合运算技巧一般而言：① 加减运算中，能化成有限小数的统一以小数形式； ② 乘除运算中，统一以分数形式。

练习：1、（559 －0.8＋249 ）×（7.6÷45 ＋225 ×1.25）2、 47 ×231213 ＋16×17 ＋17 ×413⑶带分数与假分数的互化 练习:1、(435 ×3.62+4.6×61350 )÷232、(12 +1112 )÷219÷(2-0.25)⑷繁分数的化简 2．简便计算⑴凑整思想 练习：1、99.6＋99.8＋99.9＋100+100.12、 1250×0.037＋0.125×160＋12.5×2.7⑵基准数思想 练习：1、1991+1995+2000+1989+2011+2005+1998+19932、888+999+777+6663、1796+1797+1798⑶裂项与拆分练习：1、110=112020+=()()11+=()()11+=()()11+=()()11+2、在自然数1～60中找出8个不同的数，使这8个数的倒数之和等于1。

3、4、111111223344556++++=⨯⨯⨯⨯⨯5、11111111612203042567290+++++++=6、111 123234789 +++⨯⨯⨯⨯⨯⨯L⑷提取公因数练习：1、1240×3.4＋1.24×2300＋12.4×4302、4.65×32－2.5×46.5－70×0.465⑸商不变性质⑹改变运算顺序①运算定律的综合运用②连减的性质③连除的性质练习：1、 8.376÷3.2÷2.52、 7.68÷2.5÷0.4④同级运算移项的性质练习：1、 4.27÷28.6×3.59÷42.7×2.86÷35.92、 3.56×4.32×1.28÷0.718÷0.64÷2.163、22.36+25.82+77.64-15.824、 25.43-2.85+74.57-7.15⑤ 增减括号的性质练习：1、（51×68×81）÷（17×34×13）2、（4.8×7.5×8.1）÷（2.4×2.5×2.7）3、（64×75×81）÷（32×25×27）4、 1.1÷（1.1÷1.2）÷（1.2÷1.3）÷（1.3÷1.4）⑥ 变式提取公因数，形如：1212......(......)n n a b a b a b a a a b ÷±÷±±÷=±±±÷练习：1、 1.999×2003－1.998×20042、 19.94×2010－19.93×20113、 9÷13+13÷9+11÷13+14÷9+6÷134、 11÷17+17÷19+20÷17+40÷19+3÷17 3．估算求某式的整数部分：扩缩法 练习：1、 8.01×1.24+8.02 ×1.23+8.03×1.22的整数部分是多少?2、 数1111110111219++++L 的整数部分是几?4．比较大小① 通分a. 通分母b. 通分子② 跟“中介”比 （1）与 1比较法 （2）半比法-与1/2比较法练习：如果两个分数的分子分别比各自的分母小相同的数，分子、分母稍大的那个分数比较大。

③利用倒数性质若111a b c>>，则c>b>a.。

形如：312123mm mn n n>>，则312123nn nm m m<<。

练习：1.比较下列各组分数的大小：5．定义新运算练习:1、对于非零自然数a和b，规定符号⊗的含义是：a⊗b＝2m a ba b⨯+⨯⨯（m是一个确定的整数）。

如果1⊗4＝2⊗3，那么3⊗4等于________。

2、对于任意的整数x与y定义新运算“△”：6=2x yx yx y⨯⨯∆+,求2△9。

3、若2△3＝2＋3＋4＝9，5△4＝5＋6＋7＋8＝26。

按此规律，5△5＝（）。

6．特殊数列求和运用相关公式：①()21321+=++nnnΛ②()()612121222++=+++nnnnΛ③()21na n n n n=+=+④()()412121222333+=++=+++nnnnΛΛ⑤131171001⨯⨯⨯=⨯=abcabcabcabc⑥()()bababa-+=-22⑦1+2+3+4…（n-1）+n+（n-1）+…4+3+2+1=n2练习：1、 2、二、数论1．奇偶性问题奇±奇=偶奇×奇=奇奇±偶=奇奇×偶=偶偶±偶=偶偶×偶=偶练习：1、A、B、C是三个连续偶数，它们的倒数和是37120，则A、B、C的和是（）。

2、下式的和是奇数还是偶数？1+2+3+4+…+1997+1998。

3、从四个3、三个5、两个7中选出5个数，使这5个数的和等于22？4、房间里有5盏灯，全部关着。

每次拉两盏灯的开关，这样做若干次后，有没有可能使5盏灯全部是亮的？2．位值原则形如：abc=100a+10b+c练习：1、把一个两位数的十位与个位上的数字加以交换，得到一个新的两位数．如果原来的两位数和交换后的新的两位数的差是45，试求这样的两位数中最大的是多少？3．数的整除特征：练习：1、37□5□能被72整除，这个数除以72的商是______.2、把33，51，65，77，85，91六个数分为两组，每组三个数，使两组的积相等，则这两组数之差为______．3、四位数7□4□能被55整除，求出所有这样的四位数。

4、六位数175□62是13的倍数。

□中的数字是几？5、已知一个六位数□1993□能被55整除，求所有符合题意的六位数。

4．整除性质①如果c|a、c|b，那么c|(a b)。

②如果bc|a，那么b|a，c|a。

③如果b|a，c|a，且（b,c）=1,那么bc|a。

④如果c|b,b|a,那么c|a.⑤a个连续自然数中必恰有一个数能被a整除。

5．带余除法一般地，如果a是整数，b是整数（b≠0）,那么一定有另外两个整数q和r，0≤r＜b,使得a=b×q+r当r=0时，我们称a能被b整除。

当r≠0时，我们称a不能被b整除，r为a除以b的余数，q为a除以b的不完全商（亦简称为商）。

用带余数除式又可以表示为a÷b=q……r, 0≤r＜b a=b×q+r练习：1、1997个1除以7的余数6. 唯一分解定理：任何一个大于1的自然数n都可以写成质数的连乘积，即n= p11a×p22a×...×p k ak练习：求500的约数的个数。

7.约数个数与约数和定理：设自然数n的质因子分解式如n= p11a× p22a×...×p k ak那么：n的约数个数：d(n)=(a1+1)(a2+1)....(ak+1)n的所有约数和：（1+P1+P12+…p11a）（1+P2+P22+…p22a）…（1+Pk+Pk2+…pk ak）练习：1、求720所有约数的和。

2、数A﹦25×33×52×7有许多约数，其中最大的两位数约数是多少？3、有一个整数，个位是0，它共有8个约数，这个数最小是多少？8.同余定理①同余定义：若两个整数a，b被自然数m除有相同的余数，那么称a，b对于模m同余，用式子表示为a≡b(mod m)②若两个数a，b除以同一个数c得到的余数相同，则a，b的差一定能被c整除。

③两数的和除以m的余数等于这两个数分别除以m的余数和。

④两数的差除以m的余数等于这两个数分别除以m的余数差。

⑤两数的积除以m的余数等于这两个数分别除以m的余数积。

9．完全平方数性质①平方差： A2-B2=（A+B）（A-B），其中我们还得注意A+B， A-B同奇偶性。

②约数：约数个数为奇数个的是完全平方数。

约数个数为3的是质数的平方。

③质因数分解：把数字分解，使他满足积是平方数。

④平方和。

10．孙子定理（中国剩余定理）基本解法——层层推进法物品的个数满足除以3余2，除以5余3，除以7余2，则有物品多少个？余同取余，和同加和，差同减差，最小公倍数做周期（1）余同取余，最小公倍数做周期如果一个数除以几个不同的数，余数相同，则这个数可以表示成这几个除数的最小公倍数的倍数与余数相加的形式。

练习：一个数除以3余1，除以4余1，除以10余1。

则这个数可表示为60n+1（60为3、4、10的最小公倍数，n=0，1，2，…，下同）。

（2）和同加和，最小公倍数做周期如果一个数除以几个不同的数，除数与余数之和相同，则这个数可以表示成这几个除数的最小公倍数的倍数与该和（除数与余数之和）相加的形式。

练习：一个数除以5余4，除以6余3，除以8余1。

则这个数可表示为120n+9。

（3）差同减差，最小公倍数做周期如果一个数除以几个不同的数，除数与余数之差相同，则这个数可以表示成这几个除数的最小公倍数的倍数与该差（除数与余数之差）相减的形式。

练习：一个数除以3余1，除以4余2，除以10余8。

则这个数可表示为60n-2（n=1，2，…）。

11．辗转相除法练习：1、用一张长1072毫米、宽469毫米的长方形纸，剪成面积相等的正方形，并且最后没有剩余，这些正方形的边长最长是多少？2、用辗转相除法求568和1065的最大公因数。

12．数论解题的常用方法：枚举、归纳、反证、构造、配对、估计练习：1、三个质数的最小公倍数是1001,这三个质数是( )2、是2的倍数,有5的约数,有能被3整除的最大的三位数是( )3、小丽发现：小表妹和读初三哥哥的岁数是互质数，积是144，小表妹和读初三哥哥的岁数分别是多少岁？4、三个连续的自然数的最小公倍数是9828，这三个自然数的和等于________5、三个连续的自然数的最小公倍数是9828，这三个自然数的和等于________6、王阳是一名中学生，他代表学校去市里考试，他说我的名次、年龄和分数的乘积是4074，我的名次、年龄和成绩各是多少？三、几何图形1．平面图形⑴多边形的内角和N边形的内角和=(N-2)×180°⑵等积变形（位移、割补）①三角形内等底等高的三角形②平行线内等底等高的三角形练习：1、如图，一长方形被一条直线分成两个长方形，这两个长方形的宽的比为1∶3，若阴影三角形面积为1平方厘米，则原长方形面积为______平方厘米．③公共部分的传递性④极值原理（变与不变）练习：1、如图，在长方形ABCD中，AB=6厘米，BC=8厘米，四边形EFHG的面积是3平方厘米，阴影部分的面积和是______平方厘米．⑶三角形面积与底的正比关系S1︰S2 =a︰b ；S1︰S2=S4︰S3或者S1×S3=S2×S4⑷相似三角形性质（份数、比例）①a b c hA B C H===; S1︰S2=a2︰A2③S1︰S3︰S2︰S4= a2︰b2︰ab︰ab ;④S=（a+b）2⑸燕尾定理S△ABG：S△AGC＝S△BGES△BGA：S△BGC＝S△AGFS△AGC：S△BCG＝S△ADG⑹差不变原理知5-2=3，则圆点比方点多3。