第3天 平面向量、解三角形
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1.掌握平面向量的概念及加减数乘数量积的运算. 1.综合运用正弦定理、余弦定理及边角关系解三角形； 一、选择题
1. 向量++++)()(化简后等于
（ ） A.
B.
C.
D.
2. 凸四边形OABC 中，(24)(21)OB AC ==-，，
，则该四边形的面积为
（ ）
B. C. 5
D. 10
3. 已知下列命题中：
（1）若k R ∈，且0kb =，则0k =或0b =， （2）若0a b ⋅=，则0a =或0b =
（3）若不平行的两个非零向量b a ,，满足||||b a =，则0)()(=-⋅+b a b a （4）若a 与b 平行，则a b a b ⋅=⋅其中真命题的个数是
（ ） A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
4. 已知向量()()1,3,sin ,cos a b αα==且//a b ，则tan α=
（ ）
A ．3
B ．-3
C ．1
3
D ．13
- 5. △ABC 中，若⋅=⋅，则△ABC 必为
（ ） A. 直角三角形 B. 钝角三角形
C. 锐角三角形
D. 等腰
三角形
6. 已知向量e =(－45，3
5
)，点O(0,0)和A(1,－2)在e 所在直线上的射影分别为O 1和A 1，则
11O A =λe ，则λ=
（ ）
A.115
B.－115
C.2
D.－2
7．若,a b 是非零向量且满足(2)a b a -⊥，(2)b a b -⊥ ，则a 与b 的夹角是
（ ） A.
6
π
B.
3π C. 32π D. 65π
8. 在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，设向量).3,1(),1,3(,,====b a b OB a OA 其中若
10,≤≤≤+=μλμλ且b a OC ，C 点所有可能的位置区域用阴影表示正确的是
（ ） 二、填空题
9．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .已知b －c ＝1
4a ，2sin B ＝3sin C ，
则cos A 的值为________． 10．已知单位向量12,e e 满足121
2
⋅=
e e ．若1212(54)()()k k -⊥+∈R e e e e ，则k =_______， 12k +=e e _______．
11．在直角坐标系xOy 中，已知点(2,0)A 和点(3,4)B -.若点C 在AOB ∠的平分线上且
||5OC =，则OC =______________.
12．边长为2的正三角形ABC 内(包括三边)有点P ，1PB PC ⋅=，求AP AB ⋅的范
围 . 三、解答题
13．如图12，在△ABC 中，∠B ＝π3，AB ＝8，点D 在BC 边上，且CD ＝2，cos ∠ADC ＝1
7.
(Ⅰ)求sin ∠BAD ；
(Ⅱ)求BD ，AC 的长．
图
12
14．已知△ABC 中，角A 为锐角，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ， b ，c .设向量m ＝(cos A ，sin A )，
n ＝(cos A ，－sin A )，且m 与n 的夹角为π
3
.
(Ⅰ)计算m ·n 的值并求角A 的大小； (Ⅱ)若a ＝7，c ＝3，求△ABC 的面积S .
15. 已知向量.1,4
3),1,1(-=⋅=n m m n m 且的夹角为与向量向量π
（Ⅰ）求向量n ；
（Ⅱ）设向量)sin ,,(cos ),0,1(x x b a ==向量，其中R x ∈，若0=⋅a n ，试求||b n +的取值范围.
16．在直角坐标系xOy 中，已知点A (1，1)，B (2，3)，C (3，2)，点P (x ， y )在△ABC 三边围成的区域(含 边界)上．
(Ⅰ)若PA →＋PB →＋PC →＝0，求|OP →
|；
(Ⅱ)设OP →＝mAB →＋nAC →
(m ，n ∈R )，用x ，y 表示m －n ，并求m －n 的最大值．
【链接高考】（2016年浙江高考）已知向量a 、b , ｜a ｜ =1，｜b ｜ =2，若对任意单位向量e ，均有
｜a ·e ｜+｜b ·e ｜≤
6 ,则a ·b 的最大值是 ．
第3天 平面向量、解三角形
1-8 ACCC, DDBA 9.
－14;10. 2;7 ;11. ()1,2;12. 35
[,35]2--
13．(1)sin ∠BAD ＝33
14
; (2) BD ＝3 ,AC ＝7 14．(1)m ·n ＝12,A ＝π6; (2) S ＝3.
15.（1）令⎩⎨⎧-==⎩⎨⎧=-=⇒⎪⎩
⎪
⎨⎧-=+⋅-=+=1001143cos 21
),(2
2y x y x y x y x y x n 或则π （2）)1,0(0
),0,1(-=∴=⋅=n a n a )1sin ,,(cos -=+x x b n
b
n +=()2
2cos sin 1x x +-=x sin 22-=)sin 1(2x -；
∵ ―1≤sinx ≤1, ∴ 0||2n b ≤+≤. 16． (1) ||＝22. (2)∵＝m ＋n ，
∴(x ，y )＝(m ＋2n ，2m ＋n )， ∴22x m n
y m n
=+⎧⎨
=+⎩
两式相减得，m －n ＝y －x ，令y －x ＝t ，由图知，当直线y ＝x ＋t 过点B (2，3)时，t 取得最大值1，故m －n 的最大值为1.
【链接高考】
12。