平面向量一.向量的基本概念与基本运算1向量的概念：①向量：既有大小又有方向的量向量一般用a,b,c……来表示，或用有向线段的起点与终点的大写字母表示，如：AB几何表示法AB , a ；坐标表示法a =xi • yj (x, y).向量的大小即向量的模(长度)，记作| A B |即向量的大小，记作I 向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小.②零向量：长度为0的向量，记为0,其方向是任意的，0与任意向量平行零向量a = 0 =I a I = 0"由于0的方向是任意的，且规定0平行于任何向量，故在有关向量平行(共线) 的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件. (注意与0的区别)③单位向量：模为1个单位长度的向量向量a0为单位向量二I a0I = 1④平行向量(共线向量)：方向相同或相反的非零向量任意一组平行向量都可以移到同一直线上方向相同或相反的向量，称为平行向量.记作a // b ■由于向量可以进行任意的平移(即自由向量)，平行向量总可以平移到同一直线上，故平行向量也称为共线向量⑤相等向量：长度相等且方向相同的向量相等向量经过平移后总可以重合，记为亠％ =x2小相等，方向相同(x「yj = (x2, y2)=」y22向量加法求两个向量和的运算叫做向量的加法t―4 ―4设AB 二a, BC =b，贝y a + b =AB BC = AC(1)0 a a，0二a ；( 2)向量加法满足交换律与结合律；向量加法有“三角形法则”与“平行四边形法则”：(1)用平行四边形法则时，两个已知向量是要共始点的，和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线，而差向量是另一条对角线，方向是从减向量指向被减向量(2)三角形法则的特点是“首尾相接”，由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和；差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点当两个向量的起点公共时，用平行四边形法则；当两向量是首尾连接时，用三角形法则•向量加法的三角形法则可推广至多个向量相加：AB BC CD PQ • QR二AR，但这时必须“首尾相连” •3向量的减法①相反向量：与a长度相等、方向相反的向量，叫做a的相反向量记作-a,零向量的相反向量仍是零向量关于相反向量有：(i) -(-a)=a ； (ii) a+(-a)=( - a)+ a = 0 ； (iii) 若a、b是互为相反向量，则a=-b,b = -a,a + b=0②向量减法：向量a加上b的相反向量叫做a与b的差，记作：a - b二a • (-b)求两个向量差的运算，叫做向量的减法③作图法：a -b可以表示为从b的终点指向a的终点的向量(a、b有共同起点)4实数与向量的积：①实数入与向量a的积是一个向量，记作入a，它的长度与方向规定如下：(I) a a ；(n)当1* 0时，入a的方向与a的方向相同；当：0时，入a的方向与a的方向相反；当-0时，= 0，方向是任意的②数乘向量满足交换律、结合律与分配律5两个向量共线定理：向量b与非零向量a共线二有且只有一个实数，，使得b = a6平面向量的基本定理：如果e1, e＞是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数r,，2使：a「e …2e2，其中不共线的向量e i,e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底7特别注意：(1 )向量的加法与减法是互逆运算(2)相等向量与平行向量有区别，向量平行是向量相等的必要条件(3)向量平行与直线平行有区别，直线平行不包括共线(即重合) ，而向量平行则包括共线(重合)的情况(4 )向量的坐标与表示该向量的有向线条的始点、终点的具体位置无关，只与其相对位置有关二.平面向量的坐标表示1平面向量的坐标表示：科彳在直角坐标系中，分别取与P轴、P轴方向相同的两个单位向量?, j作为基底由平面向量的基本定理知，该平面内的任一向量a可表示成a = xi • I，由于a与数对(P,P)是一一对应的，因此把(P,P)叫做向量a的坐标，记作a=(P,P)，其中P叫作a在P轴上的坐标，P 叫做在P轴上的坐标(1) 相等的向量坐标相同，坐标相同的向量是相等的向量(2) 向量的坐标与表示该向量的有向线段的始点、终点的具体位置无关，只与其相对位置有关2平面向量的坐标运算：」(1)若a 二x i,y i ,b = X2,y2 J a —b = X i —X2,y i -y?(2)若A X i, y i , B X2, y2 ，则AB 二x? -y? - y(3)若a=(P,P)，贝a=( ■ P, ■ P) 」(4)若a =：［%, % ,b =：i.x2,y2，则a//b= %y2- x2% =0(5)若a =屮,％ ,b 二X2,y2，则a b 二X i X2 5 y若a _ b，贝V x i x2y i y2二03向量的运算向量的加减法，数与向量的乘积，向量的数量(内积) 及其各运算的坐标表示和性质向 量 的减 法三角形法则 a*=(x-x^-粉a _b = a +( _b) T T OB —向 量 的 乘 法 Xa 是一个向量, 满足：九＞0时，入a 与a 同 向； --九＜0时，入a 与a 异 向；扎=0 时,ha = 0 *九a =(人x,hy)J 九岸a)=(九邑)a(X + P )a = A a + Pa 丸Q + b)=丸a +丸b a 〃 b = a= Z b向 量 的 数 量 积a *b 是一个数 a = 0或bq 寸,a*b =0a 式0且b 式0时， a *b 4a||b|co^a,b>4 4a ・b=X 1禺+%适a ・b = b ・aQa) *b =a ・(Ab) =k(a ・b) (a +b) •6 = a*6 + b *c一2 | _|2 |： 2 丄2a=〔 a| , |a»x +y 〔a 石三.平面向量的数量积 1两个向量的数量积：斗斗斗已知两个非零向量 a 与，它们的夹角为 二，则a • b = I a 丨•丨b I COST 叫做a 与b 的 数量积（或内积）规定0以=0 La b2向量的投影：I b I cos*驴 € R,称为向量b 在a 方向上的投影 投影的绝对值称|a|为射影斗斗3数量积的几何意义：a • b 等于a 的长度与b 在a 方向上的投影的乘积 4向量的模与平方的关系：a ：鳥2描|25乘法公式成立：耳a b j 法-b i=a 2 -b 2 2 2 2a _b i ； =a 2=2a b b 26平面向量数量积的运算律：① 交换律成立：a b =b a 」 」」② 对实数的结合律成立：■ a b a b =a • 'b ]i,匚R③ 分配律成立：a 二b c 二ac 二bC 二c ，a 二b特别注意：（1）结合律不成立：a ■ b c V ' | a b c ；4 4 4 呻呻（2） 消去律不成立 a b = a c 不能得到b = c •呻呻 * F 呻中 （3） a b =0不能得到a =0或b =022 IT b-2a b b 27两个向量的数量积的坐标运算：已知两个向量 a =(x 1,y 1),^ (x 2, y 2)，则 a • b = X 1X 28,向量的夹角： 已知两个非零向量a 与b ，作 (0° w < 1800)叫做向量a 与b 的夹角 cos 曲 cos 烏,b X *「xzyy|a|卡］叔2 +y 「十22+垃当且仅当两个非零向量 a 与b 同方向时，0 =0°,当且仅当a 与b 反方向时0 =180°,同时0与 其它任何非零向量之间不谈夹角这一问题 」」 一 - 4 "f cP 呻H 呻9垂直:如果a 与b 的夹角为90则称a 与b 垂直，记作a 丄b 10两个非零向量垂直的充要条件：a 丄b = a • b = O = x 1x 2%y 2=0.平面向量数量积的性质题型1.基本概念判断正误：(1 )共线向量就是在同一条直线上的向量若两个向量不相等，则它们的终点不可能是同一点 与已知向量共线的单位向量是唯一的 — 四边形ABCD 是平行四边形的条件是 AB 二CD • 若AB =CD ，则A 、B 、C D 四点构成平行四边形 (6 )因为向量就是有向线段，所以数轴是向量 . ⑺若a 与b 共线，b 与 c 共线，则a 与c 共线.(8) 若 ma ，则 a =b.(9)若 ma ‘na ，贝m 二巳.4(10) 若a 与b 不共线，则a 与 b 都不是零向量. (11) 若 a b =| a | | b |，则 a//b . (12) 若 | a • b |=| a 「b |，则 a _ b .题型2.向量的加减运算 彳 T 扌1. 设a 表示“向东走8km ” , b 表示"向北走6km” ,则| a - b |二 ____2. 化简(AB MB)」BO BC^OM 二3. 已知 £ |迄|OB ‘3,则| AB |的最大值和最小值分别为 才 、4. 已知AC 为AB 与AD 的和向量，且 AC 二a, BD =b ，则AB - _3_5. 已知点C 在线段AB 上,且AC AB ,则AC 二_ BC , AB -5题型3.向量的数乘运算 才彳 4耳 呻 1.计算：(1) 3(a b)-2(a b)= (2) 2(2a • 5b -£)-3(-2a 3b -2*)= 2.已知 a =(1,一4),； =(一3,8)，则 3a -丄：二2题型4.作图法球向量的和13*已知向量a,b ，如下图，请做出向量 3a b 和2a b .22题型5.根据图形由已知向量求未知向量 _1.已知在 ABC 中，D 是BC 的中点，请用向量 AB,AC 表示OA = a , OB =b ,贝AOBW(2) (3) (4) (5) ADBC .b|. 42.在平行四边形ABCD 中，已知尼=a,BD =b ，求题型6.向量的坐标运算1. 已知A^ (4,5)，A(2,3)，则点B 的坐标是2. 已知 PQ =( -3,3. 若物体受三个力F 1二(1,2) , F 2 = (-2,3) , F 3 = (-1, -4),则合力的坐标为4. 已知扌=(-3,4)，b =(5,2)，求 a b ，a-b ，3^ -2b .,P(3,7\，则点Q 的坐标是=(一3,4)，b =(5,2)，求 a b ，弐-b ，鱼5. 已知 A(1,2), B(3,2),向量 ^(x 2,^3^2)与 AB 相等，求 x, y 的值.T —I —46. 已知 AB=(2,3)，BC =(m, n)，CD =(-卑7. 已知0是坐标原点，A(2, -1), B(_4,8)，且AB 3BC = 0，求OC 的坐标.，则 DA =题型7.判断两个向量能否作为一组基底j 已知 q,e 2是平面内的一组基底，判断下列每组向量是否能构成一组基底：i1・A. e +佥和e — e?B. 3e )— 2e?和4e 2 — 6eC. G +3e 2和e 2 — 3G D . e 2和e 2 — e 叫护爲C W )D .i£5 55 5题型8.结合三角函数求向量坐标1. 已知O 是坐标原点，点 A 在第二象限，|0A|=2，xOA=150：，求2. 已知O 是原点，点A 在第一象限，|OA|=4j 3，xOA=60〃，求 题型9.求数量积1. 已知|a |=3,|b |=4，且a 与b 的夹角为60，求(1)1(3)(a b) b ，(4)(2a -b) (a 3b).22. 已知a 二.OA OA 的坐标. 的坐标.(a b)，■6),b ；(d,10)，求(1)|a|,|b|，( 2) (4)(2a-b) (a 3b).题型10.求向量的夹角 TT1. 已知 |；|=8,|b | = 3， a b =12，求 a 与 b 的夹角.2. 已知 a =C ：3,1),b =(-2 J 3,2)，3. 已知 A(1,0)，B(0,1)，C(2,5)，求 cos BAC . 题型11.求向量的模」1.已知|a | = 3,|b | = 4，且a 与b 的夹角为60，求(1) |a ■b|，(2) (2a b)，2.已知 a =(2, -6),b =(-8,10)，求(1)|a|,|b|，(5) |a b |，(6)|2a -3b |. .1 |a ^b |.3.已知 |a|=1,|b 1=2，|-2b R3，求 |3a题型12.求单位向量【与a平行的单位向量：e =彳】丄|a| 1.与a =(12,5)平行的单位向量是12.与m=(-1,—)平行的单位向量是2题型13.向量的平行与垂直1. 已知 a =(6,2), I =(；,m)，当 m 为何值时，(1) ^//b ? ( 2) I _b ?2. 已知a =(1,2) , b =(一3,2) , (1) k 为何值时，向量ka b 与1-35垂直? (2)k 为何值时，向量ka b 与1-3右平行？ 耳3. 已知a 是非零向量， a b=a c ，且 b ，求证：a 丄(& _c).题型14.三点共线问题1.已知 A(0, -2)，B(2,2)，C(3,4)，求证:A, B,C 三点共线.4. 已知A(1,-3)，B(8, -1)，若点C(2a-1,a 2)在直线AB 上，求a 的值.5. 已知四个点的坐标0(0,0)，A(3,4)， B(-1,2)，C(1,1)，是否存在常数t ，使 T T TOA tOB= 0(成立？题型 二 判断多边形的形状斗 _1.若AB=3e ，CD - -5e ，且|AD|=|BC|,则四边形的形状是 .2. 已知 A(1,0)，B(4,3)，C(2,4)，D(0, 2)，证明四边形 ABCD 是梯形.3. 已知 A(-2,1)，B(6, -3)，，C(0,5)，求证：ABC 是直角三角形.4. 在平面直角坐标系内， OA =(_1,8),OB =(_4,1),OC =(1,3),求证： ABC 是等腰直角 三角形.题型16.平面向量的综合应用 呻 呻 1. 已知a =(1,0)， b =(2,1)，当k 为何值时，向量ka -b 与a 3b 平行？ 2. 已知 a=(jj, j5)， 且a 丄b ， | b |= 2，求b 的坐标.4 4 4 4 493. 已知a 与b 同向，b =(1,2)，则a b =10，求a 的坐标.T 斗 4 4 4 43. 已知 a =(1,2)，b =(3,1)，c=(5,4)，则 C 二 ______ a _ b .4. 已知 a =(5,10)，：=：(-3,-4)，C =(5,0)，请将用向量 a,b 表示向量 C .5. 已知a=(m,3)，b=(2,-1)，( 1)若a 与b 的夹角为钝角，求 m 的范围； (2)若a 与b 的夹角为锐角，求m 的范围. 斗斗6. 已知 a =(6,2)，b =(-3,m) 的夹角为钝角？( 2)a 与b的夹角为锐角？7. 已知梯形 ABCD 的顶点坐标分别为A(-1,2)，B(3,4)， D(2,1)，且AB//DC ，AB 二2CD ，求点C 的坐标.8. 已知平行四边形 ABCD 的三个顶点的坐标分别为 A(2,1)，B(-1,3)，C(3,4)，求第四个 顶点D的坐标.A9. 一航船以5km/h 的速度向垂直于对岸方向行驶，航船实际航行方向与水流方向成 30角，求水流速度与船的实际速度 .10. 已知 ABC 三个顶点的坐标分别为 A(3,4)，B(0,0)，C(c,0)， (1 )若 AB -AC =0，求 c 的值；(2)若 c =5，求 si nA 的值. 【备用】41. 已知早戶ply 戶(J a ，求」a ；b|和向量a,b 的夹角*2. 已知［二a • b ，y =2a b ，且|即=| b^1，，a 〒b ，求x,y 的夹角的余弦. 1.已知 a =(1,刃,6 =(-2,*-1)，则(3a 2b) (2^5b^__4.已知两向量a =(3,4), b = (2, -1)，求当a xb 与a-b 垂直时的P 的值.2. 设AB 罕3. 已知 ABA B 、 (a 5b), BC = —2a 8b,CD =3(a -b)，求证： 「b, BC 一5； 6b, C D = 7^ 2b ，则一定共线的三点是D 三点共线.5.已知两向量a =(1,3),b 二(2, ■) , a 与b 的夹角v 为锐角，求 变式：若a =( .,2),b =(一3,5)，a 与b 的夹角二为钝角，求 选择、填空题的特殊方法： 1•代入验证法 4 4 4 4 例：已知向量 a =(1,1),b =(1,_1),c =(-1,-2)，则 c=() 3彳ib a b 2 2 TA 1 3 13 3 1A. a b B . a b e. — a b D .2 2 2 2 2 2例： A. 2.排除法 ABC 的重心则下列向量与_AB 共线的是() BC B. 3AM AC C. AB BC AC D. AM -的范围.的取值范围BM C M。