一种新的复合重心有理Hermite插值方法
本文用切触插值连分式对重心有理Hermite插值进行复合，构造出了一种新的复合重心有理Hermite插值方法。
与传统的切触插值连分式相比，该方法具有更好的灵活性。
标签：重心有理Hermite插值复合逼近
0 引言
有理插值和逼近是非线性逼近的一种典型方法，重心有理插值的研究始于lagrange插值多项式，把有理插值改为重心形式具有许多显著的优点，如无极点、数值稳定性好等等。
切触有理插值是Hermite插值的一种推广，1984年W.Werner 第一次给出了重心有理插值方法[1，3]，1991年C.Schneider和W.Werner 提出了重心有理Hermite插值方法[2]。
重心形式的有理插值方法的独有优点使得重心有理插值和重心有理Hermite插值成为当前插值问题中的一个研究热点[4-5]。
1 重心有理Hermite插值
设有理函数r（x）r（x）∈Rn，n，Rn，n为一有理函数集合，其元素是由分子和分母次数不超过n次的多项式构成。
给定重心有理Hermite插值公式如下：
对于有序实数对（xi，fi （j）），j=0，1，2…si-1，i=0，1，2…n，当i≠j时，xi≠xj。
2 一种新的复合重心有理Hermite插值方法
2.1 基于切触插值连分式的复合重心有理Hermite插值方法
设已知x0＜x1＜…＜xn，f （j）（xi）=fi （j），（j=0，1，…，si-1；i=0，1，…，n），为了构造满足插值条件的复合重心有理Hermite插值公式，我们首先介绍一下文献[6]中的切触插值连分式方法：
设x0＜x1＜…＜xn，f （k）（xi）=fi （k），（k=0，1，…，si-1；i=0，1，…，n），则Thiele型切触插值连分式
满足Ii(s -1)(k)(xi)=fi(k)，(k=0，1，…，si-1)。
其中ai0，ai1，…ai （s -1），（i=0，1，…n）可由Viscovatov算法确定，记cik=f （k）(xi)/k!，该算法可表示如下
ai0=ci0，ai1=1/ci1，aij=ci1 /ci1，（j=2，…，si-1），cik=-，（k=1，…，si-1），cik=c(j-2) -aijc(j-1) ，（k=1，…，si-1），（j=2，…，si-1）。
则基于切触插值连分式的复合重心有理Hermite插值可构造如下：
其中，节点x0，x1，…，xn对应的插值权wik（i=0，1，…，n；k=0，1，…，si-1）满足
下面，对公式(3)我们可以证明满足插值条件。
2.2 满足插值条件
定理1. 若wi，s -1≠0，则由(3)式得到的r(x)满足所有插值条件，即
证明我们先证明si=2的情形:
①首先证r(xi)=f(xi)由(3)式知
所以r(xi)=f(xi)。
同理可证，（i=0，1，…，n，j=1，2，…，si-1）。
3 结论
本文用切触插值连分式与重心有理Hermite插值进行复合构造出了一种新的复合重心有理Hermite插值函数，该方法既具有连分式所特有的循环、递归性质又承袭了重心有理Hermite插值所独有的算法特性，有利于程序的实现。
参考文献：
[1]Berrut J.-P.,Trefethen,L.N.,Barycentric Lagrange interpolation. SIAM Rev.46 (2004)501-517.
[2]C.Schneider and W.Werner,Hermite Interpolation:The Barycentric p.,46,35-51 (1991).
[3]C.Schneider and W.Werner,Some new aspects of rational interpolation,p.,47 (1986),no.175, 285-299.
[4]Luc Knockaert,Senior Member,A Simple accurate algorithm for barycentric rational interpolation,IEEE Signal processing letters,vol.15,2008:156-157.
[5]HT Nguyen,A Cuyt,OS Celis,Shape Control in Multivariate Barycentric Rational Interpolation.International Conference of Numerical Analysis and Applied Mathematics September 30,2010 V olume1281,pp.543-548.
[6]Herbert E.Salzer,Note on Oscuatory Rational Interpolation，
p.,V ol.16,No.80 (Oct.,1962),pp.486-491.
基金項目：本文得到国家自然科学基金(60973050,30570431，60873144)，安徽省教育厅自然科学基金项目(KJ2009A50，KJ2007B173)，安徽省优秀人才基金，教育部新世纪优秀人才支持计划(NCET-06-0555), 国家863高技术研究发展计划项目基金(2006AA01Z104) 资助。