当 x 0时
f ( x0 x) f ( x0 ) 0; x
根据函数f (x)在 x0可导的条件极限的保号性，便得到
f ( x0 ) ( x0 x) x
f ( x0 ) 0
f ( x0 )
f (
x0
)
lim
x0
f ( x0 x) x
f ( x0 ) 0
那末在(a, b)内至少有一点(a b)，使等式 f (b) f (a) f ' ()(b a) 成立.
注意 : 与罗尔定理相比条件中去掉了 f (a) f (b).
结论亦可写成f (b) f (a) f ( ).
ba
y
几何解释:
在曲线弧 AB 上至少有
一点 C ,在该点处的切
A
f ( x0 x) f ( x0 ) f ( x0 x) x (0 1).
也可写成 y f ( x0 x) x (0 1).
拉格朗日中值公式又称有限增量公式.
拉格朗日中值定理又称有限增量定理.
拉格朗日中值公式的几种表达形式
1) f (b) f (a) f ( )(b a) (在a与b之间)
F ( x) 满足罗尔定理的条件,
则在(a, b)内至少存在一点, 使得 F () 0.
即 f () f (b) f (a) 0 ba
或 f (b) f (a) f ()(b a).
注意:拉氏公式精确地表达了函数在一个区间上的增量与函 数在这区间内某点处的导数之间的关系.
设 f ( x)在 [a,b] 上连续，在 (a,b)内可导, x0 , x0 x (a, b), 则有
例1 证明方程 x5 5x 1 0 有且仅有一个小于 1 的正实根.
证 设 f ( x) x5 5x 1, 则 f ( x)在[0,1]连续,
且 f (0) 1, f (1) 3. 由介值定理 x0 (0,1), 使 f ( x0 ) 0. 即为方程的小于1的正实根. 设另有 x1 (0,1), x1 x0 ,使 f ( x1 ) 0. f ( x) 在 x0, x1 之间满足罗尔定理的条件,
所以 f ( x0 ) 0
罗尔（Rolle）定理 如果函数
(1) f ( x)在闭区间 [a, b]上连续, (2)在开区间(a, b)内可导, (3)且在区间端点的函数值相等，即 f (a) f (b),那末在 (a, b)内至少有一点(a b),使得函数 f ( x)在该点
的导数等于零，
C
y f (x)
M
B
N
D
线平行于弦 AB.
o a 1 x
2 b
x
证 分析: 条件中与罗尔定理相差 f (a) f (b).
弦AB方程为 y f (a) f (b) f (a) ( x a). ba
曲线 f ( x) 减去弦 AB,
所得曲线a, b两端点的函数值相等.
作辅助函数
F ( x) f ( x) [ f (a) f (b) f (a) ( x a)]. ba
f ( x) f () 0,
若 x 0, 则有 f ( x) f () 0; x
若 x 0, 则有 f ( x) f () 0; x
f()
lim
x 0
f ( x) x
f () 0;
f()
lim
x 0
f
(
x) x
f
()
0;
f ()存在,
f( ) f( ). 只有 f () 0.
第六章 微分学基本定理及其应用
6.1 中值定理
一、罗尔定理 二、拉格朗日中值定理 三、柯西中值定理
一、罗尔(Rolle)定理
费马引理 设函数f(x)在点 x0的某领域 u( x0 )内有定义，并且
在 x0处可导，如果对任意的 x u( x0 ) ，有
f ( x) f ( x0 ) (或f ( x) f ( x0 ))
点C , 在 该 点 处 的 切 线 是
水 平 的.
C y f (x)
o a 1
2 b x
证 f ( x) 在 [a,b] 连续, 必有最大值 M 和最小值 m.
(1) 若 M m. 则 f ( x) M .
由此得 f ( x) 0. (a, b), 都有 f () 0. (2) 若 M m. f (a) f (b), 最值不可能同时在端点取得. 设 M f (a), 则在 (a,b)内至少存在一点 使 f ( ) M . f ( x) f (),
至少存在一个 (在 x0, x1 之间),使得
f () 0. 但 f ( x) 5( x4 1) 0, ( x (0,1)) 矛盾, 为唯一实根.
二、拉格朗日(Lagrange)中值定理
拉格朗日（Lagrange）中值定理 如果函数 f(x) (1) 在闭区间[a, b]上连续; (2) 在开区间(a, b)内可导,
2) f ( ) f (b) f (a)
ba
(在a与b之间)
3) f (b) f (a) f [a (b a)](b a) (0 1)
那么 f ( x0 ) 0
证 不妨设x u( x0 ) 时，f ( x) f ( x0 )（如果 f ( x) f ( x0 )
可类似的证明）. 于是，对于 x0 x u( x0 ) ，有 f ( x0 x) f ( x0 )
从而当x 0时，
f ( x0 x) f ( x0 ) 0; x
关于罗尔定理的几点说明
1) 罗尔定理的三个条件对于结论的成立都是重要的. 2
例
f ( x) x 3 (1 x 1)
上例说明罗尔定理的条件是结论成立的充分条件, 但不
是必要条件.
例
sin x , 0 x
f ( x) 1 , x 0
2) 罗尔定理的结论中不是唯一的.
3) 将罗尔定理的条件1.2.换为[a,b]上可导,结论仍成立.
即 f '() 0
例如, f ( x) x2 2x 3 ( x 3)(x 1).
在[1,3]上连续, 在(1,3)上可导, 且 f (1) f (3) 0,
f ( x) 2( x 1),
取 1, (1 (1,3)) f () 0.
几何解释:
y
在 曲 线 弧AB上 至 少 有 一