抽象函数解析式漫谈
摘要:抽象函数问题是高考的热点内容,近几年全国各地的高考试题及各地模拟试题中不断出现了一些与抽象函数有关的函数类好题,既有着力对函数的概念、图象及性质等基础知识进行考查的,又有突出对函数的综合运用能力、逻辑思维能力及抽象概括能力进行考查的试题。

但学生显得力不从心,不知所措。

综观2000年来的高考数学试题,我们发现对于抽象函数的考查尤为突出,这正体现了《考试说明》中以思维能力为核心的宗旨。

因此,适度地加强对抽象函数问题的教学也就十分必要。

本文结合教学实践,对这一问题做些探讨。

关键词:抽象函数教学教法创造
一、从一道数学题谈起
例1.若f(x)是定义在r上的函数,且f(0)=1,并且对于任意的实数x、y,总有f(x-y)=f(x)-y(2x-y+1),求f(x)的解析式。

解:(一)令x=0,则f(-y)=f(0)-y(-y+1)=y2-y+1,f(x)=x2+x+1,x ∈r
(二)令x=y,则
f(0)=f(x)-y(2x-y+1)=f(x)-x(x+1),f(x)=x2+x+1,x∈r
例2.若f(x)是定义在r上的函数,且 f(0)=1,并且对于任意的实数x,y,总有f(x+y)=f(x)+y(2x+y+1),求f(x)的解析式。

解:(一)令x=0,则f(y)=f(0)+y(y+1)=y2+y+1,f(x)=4x2+2x+1,x ∈r
(二)令x+y=0,则f(0)=f(x)+y=f(x)+(-2x),f(x)=2x+1,x∈r
两种方法解得的结果不一样。

二、抽象函数的重要性
函数是贯穿在中学数学中的一条主线,每年高考对函数问题的考查所占的比例都相当大,可以说是常考常新。

尤其是导数和向量进入了中学数学教材之后,给函数问题注入了生机与活力,开辟了许
多新的解题途径,拓宽了高考对函数问题的命题空间。

人们习惯于借助函数的图象或通过对函数解析式的操作演练,来解证有关函数的问题,抽象函数性质的运用又是函数的难点之一。

抽象函数是指没有给出具体的函数解析式或图象,但给出了函数满足的一部分性质或运算法则。

此类函数试题既能全面地考查学生对函数概念的理解及性质的代数推理和论证能力,又能综合考查学生对数学符号语言的理解和接受能力,以及对一般和特殊关系的认识。

因此备受命题者的青睐,在近几年的高考试题中不断地出现。

然而,由于这类问题本身的抽象性和其性质的隐蔽性,大多数学生在解决这类问题时,感到束手无策。

三、抽象函数窥探
f(y)-f(x)=(x-y)(ax+by+c)型抽象函数的解析式
首先证明f(x+ay)-f(x)=y(bx+cy+d)?圳
f(y)-f(x)=(x-y)(ax+by+c)
证明:充分性
令x+ay=s,x=t
f(x+ay)-f(x)=y(bx+cy+d)可化为
f(s)-f(t)=(bt+c+d)(s-t)(a1s+b1t+c1)
即f(y)-f(x)=(x-y)(ax+by+c)
必要性同理可证
对于满足条件f(x+ay)-f(x)=y(bx+cy+d),f(0)=m的抽象函数,有以下两种类型
类型一 ab=2c
(一)令x=0,则f(ay)-f(0)=y(cy+d)
f(x)=(c+d)+m=x2+x+m
(二)令x+ay=0,f(0)-f(x)=-(bx-c+d)
f(x)=(bx-c+d)+m=x2+x+m
类型二 ab≠2c
令x=0,则f(ay)-f(0)=y(cy+d)
f(x)=(c+d)+m
不适宜用上述类型题中的第二种方法。

总结:有关抽象函数问题中往往会给出函数所满足的等式或不等式,因此在解决有关问题时,首先应对所要证明或求解的式子作结构上的变化,使所要证明或求解的问题的结构与已知的相同,这些变形起了重要的作用,因为是这些变化创造了使用条件的机会,也创造了解决问题的捷径。

另外,有关抽象函数问题中所给的函数性质往往是对定义域内的一切实数都成立的,因此根据题意,将一般问题特殊化,选取适当的特值(如令x=1,y=0等),这是解决有关抽象
函数问题的非常重要的策略之一。

总之,抽象函数问题求解,用常规方法一般很难奏效,但我们如果能通过对题目的信息分析与研究,采用特殊的方法和手段求解,往往会收到事半功倍的效果,同时在运用这些策略时要做到密切配合,相得益彰。

参考文献:
[1]教材完全解读.中国青年出版社.
[2]高中数学优秀教案(必修)1.南方出版社.
[3]数学高1上/世纪金榜.全程学习方略.延边大学.
作者单位:湖北鹤峰县第一高级中学。